圆锥曲线解题技巧和方法综合全

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x1, y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。2 2如：(1)笃笃=1(a b 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(Xo,yo)，则有a b卑卑k=0。a b2 2(2) 笃-每=1(a0,b0)与直线I相交于A B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有a bI相交于A、B设弦AB中点为M(X0,y0),则有2yk=2p,即yok=p.2给定双曲线x2-1。过A(2，1)的直线与双

2、曲线交于两点R及F2，2求线段F1P2的中点F的轨迹方程。(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆xy22=1上任一点，F1（-c,0）,F2（C,0）为焦点,PF1F2二-，PF2R =:。Xoayo=02（3）y =2 px（p0）与直典型例题(2)求|PFPFJ3的最值。(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆

3、的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2=p(x 1) (p 0)，直线xy=：t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函 数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式

4、”或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想”最值问题的处理思路：1、 建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求x、y的范围；2、 数形结合，用化曲为直的转化思想；3、 利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、 借助均值不等式求最值。典型例题(1)求证离心率sin（G十 P）sin a +sin P 已知抛物线y2=2px(p0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB

5、|0),求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。(6)存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线， 求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)y =4xm，椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直问题y1 y2圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用ki k212二-1来处理或用向量的坐标x1 x2典型例题已知椭圆C的方程=1，试确定m的取值范围，使得对于直线运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P（-2,0），抛物线C:y2= 4（x 1），直线I与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

6、（1）求k的取值范围；（2） 直线I的倾斜角二为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代 数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线3x 4y m = 0与圆x2 y2 x - 2y =0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP_OQ，求m的值。（2）充分利用韦达定理

7、及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y = x 1相交于P、Q两点，且OP_OQ,|PQ|二0，求此椭圆方程。2（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。2 2 2 2典型例题求经过两已知圆C1: x y -4x 2y = 0和C2: x y -2y-4 =0的 交点，且圆心在直线丨：2x 4y 0上的圆的方程。(4)(4)充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这

8、 也是我们常说的三角代换法。2 2典型例题P为椭圆 笃占=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四a b边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。(5)(5)线段长的几种简便计算方法1充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y=kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2bx，c = 0的方程，方程的两根设为xA,xB，判别式为,则|AB卜1 k2|xA-xB|= k2一，若直接用结论，能减少配方、开方等运算|a|过程。例 求直线x - y 1 =0被椭圆x24y2二16所截得的线段AB的长。2结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥

9、曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2 2例F1、F2是椭圆-y1的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|=8，求值259| F2AI |F2B|3禾U用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A(3,2)为定点，点F是抛物线y2二4x的焦点，点P在抛物线y2= 4x上移动，若|PA|TPF|取得最小值，求点P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备:1.1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2) 与直线相关的重要内容1倾斜角与斜率k二tan三0,二)2点到直线的

10、距离d =A第Byo啟夹角公式：JA2+B2tan屮2-匕|仆2人|(3) 弦长公式直线y =kx +b上两点A(X|, yj, B(x2, y2)间的距离：AB| =Ji + k21 -x2=J(i + k2)(xi+X2)24x1X2或AB= Ji * I % - y2(4) 两条直线的位置关系h _ 12二环2=-1=-1hl2二kk2且 d =b22 2、圆锥曲线方程及性质(1)(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程：=1(m 0, n 0且mn)m n距离式方程：、(x c)2y2.(x-c)2y2= 2a参数方程：x =acos, y =bsin日(2)(2)

11、 、双曲线的方程的形式有两种标准方程：2 2xy1(m n：0)m n距离式方程:| (x c)2y2_ . (x c)2y2|=2a(3)(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2paa(4)(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？2 2已知印F2是椭圆- 仝=1的两个焦点，平面内一个动点M M 满43足MFMF?=2则动点 M M 的轨迹是( )A A、双曲线；B B、双曲线的一支；C C、两条射线；D D、一条射线(5)(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，SFPF=b2tan$0 P 在双曲线上时，S爭PF二 b2cot -(其中F,PF2- dcosv -

12、IPFLI IPFLI空，PF,PF2=|PF,| PF2|COS)| PF,| | PF2|(6)(6)、记住焦 半 径公式： (1 1)椭圆焦点在 x 轴上时为 a_exo；焦点在 y 轴上时为 a 一 ey，可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在 x 轴上时为 e|x0|_a(3)抛物线焦点在 x 轴上时为| x,号,焦点在 y 轴上时为| y1L-p如:(6)(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _第二、方法储备1 1、点差法(中点弦问题)2 2设AXi，y,、Bxzy，M a,b为椭圆乞丄=1的弦AB中点则有43=1Xi- X2XiXyi- y25 23a二=kAB

13、一乓2 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程，使用判别式.-0，以及根与系数的关系，代入弦 长公式，设曲线上的两点A（X!, yi）, B（X2, y2），将这两点代入曲线方 程得到两个式子，然后 - -，整体消元.,若有两个字母未知数，贝 S 要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A A、B B、F F 共线解决之。若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线 为y = kX b，就意味着 k k 存在

14、。例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三个顶点均在椭圆4x25y2=80上，且点 A A是椭圆短轴的一个端点（点 A A 在 y y 轴正半轴上）. .（1 1） 若三角形 ABCABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BCBC 的方程; ;（2 2） 若角 A A 为900, ADAD 垂直 BCBC 于 D D，试求点 D D 的轨迹方程. .分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦 BCBC 的斜率，从而写出直线 BCBC 的方程。第二问抓住角 A A 为90可得 出 ABAB 丄 ACAC,从而得W2 y”2-14（力 y2） 16 =0，然后利用联立消元法

15、及交轨法求出点 D D 的轨迹方程；解：（1 1）设 B B （X1, ,y1） ,C,C（X2, ,y2）,BC,BC 中点为（x, y）,F,F（2,02,0）则有2 2Xiyy432X24 4 警= =1 1；两式相减得专匚气 L L。22 2 2生+比=么丄2016 -，2016F(2,0)F(2,0)为三角形重心，所以由X1空=2，得Xo=3，由y1 y2 4= 0得33yo - -2，代入(1)得k =5直线 BCBC 的方程为6x-5y-28=02)2)由 ABAB 丄 ACAC 得x1x2y1y2-14(y1y2) 1 0( 2 2)设直线 BCBC 方程为y = kx b,代

16、入 4x2 5y2= 80, 得(4 5k2)x210bkx 5b2-80 =0-10kb5b280 x1 x2_ 4 5k2，x1x2_ 4 . 5k22 29y 9x -32y-16=0所以所求点 D D 的轨迹方程是x2（y-16）2=（垒）2（y = 4）994 4、设而不求法 例 2 2、如图，已知梯形 ABCDABCD 中AB-2CD，点 E E 分有向线段AC所成的比为,双曲线过 c c、D D、E E 三点，且以A、B B 为焦点当討 W 时， 求双曲线离心率e的取值范围。两式作差有(捲*2)(洛-X2)(yi- y2)(yiy?)20 16xoyok-J-54(1(18ky1

17、y2 =24 5k,y1y24b2-80k224 5k代入（2 2）式得29b -32b -1624 5k2=0,解得b =4(舍)或b9直线过定点（0 0 ,冷，设 D D（x x，y y）,分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念程得和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设 C CC,h，代入笃爲=1，求得h二川,12丿a b2进而求得x|l|,y|l,再代入笃a2b-1，建立目标函数f (a,b,c, ) =0，整理f(e, J-0，此运算量可见是难上加难 我们对h可 米取设而不求的解题策略，建立目标函数f (a.b.c,

18、 ) =0，整理f(ej)=0, ,化繁为简. .解法一：如图，以 ABAB 为垂直平分线为y轴，直线 ABAB 为x轴,建立直角坐标系xOy,则 CDCD 丄y轴因为双曲线经过点 C C、D D，且以 A A、B B 为焦点，由双曲线的对称性知 C C、D D 关于y轴对称依题意，记 A A-c, 0, C C|,h, E EXo, yo，其中c=*|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得-Cj -2cX。01 2 12 2设双曲线的方程为冷-与=1,a b由点 C C、E E 在双曲线上，将点C C、E E 的坐标和 e e，代入双曲线方ae2b2e2由式得=2 k2

19、1将式代入式，整理得24_4：2，4故 =1 _ J-21由题设.拦得，？叮_亠迄3343e2+2 4解得.7 e,10所以双曲线的离心率的取值范围为1.7 , JO 1分析：考虑|AE , AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE , AC用E,C的横坐 标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，| AE =-（a + e ）, AC| = a + ex：,设3八4得，討-兀诗解得.7 10所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , J015 5、判别式法例 3 3 已知双曲线c工工=1，直线I过点A . 2,0，斜率为k，当0 k : 12 2时，双曲线的上支上有且仅有一

20、点 B B 到直线I的距离为2，试求k的值及此时点 B B 的坐标。分析 1 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此， 数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. .从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B B 作与I平行的直线，必 与双曲线 C C相切. .而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式c_cx=_2_Ei 21（九一2匕又lAE=，|AC -，代入整理一壬，由题0.由此出发，可设计如下解题思路:I: y=k(x .2)0 : k :：: 1直线 I在 I 的上方且到直线 I 的距离为.2解得 k 的值解题过程略. .分析 2 2:如果从代数推理的

21、角度去思考，就应当把距离用代数式 表达，即所谓“有且仅有一点 B B 到直线I的距离为42”，相当于化归 的方程有唯一解. .据此设计出如下解题思路：问题ftkx-p2+x2-2k1 L关于x的方程-_丄=2(0 Ck 1 )有唯一j转化为一元二次方程根的问题求解y,令判别式厶二0=2 k2 1kx -l2 x2- 2k0 : k : 1简解：设点M(x, 2 x2)为双曲线 C C 上支上任一点，则点 M M 到直线I的距离为:于是，问题即可转化为如上关于x的方程. .由于0：k：1，所以2 x2x kx，从而有kx_J2 +x2-J2k = _kx + J2 + x2+ J2k.于是关于x

22、的方程-kx 2 x22k二2(k21)匕.2 x2彳=(2(k21) - . 2k kx)2,|-J2(k21) - .2k kx 0 _ _ _ ,_ 2二*2_1 x2+2kC2(k2+1)_、；2k x +Q2(k2+1) _2 =0,x29k 427k 6 9k2-5捲 _ -9k2、9k2-529k 418kX2_ = = 1 1 _ _- = = 1 19k 2.9k2-59k 2、9k2-59 2 9-185k2所以-1 _1在于不是关于 g 的对称关系式. .原因找到后解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于XX2的对称关系式. .简解 2 2：设直线I的方程为：y=k

23、x3，代入椭圆方程，消去y得9k24 x254kx 45 = 0（* *）4529k 4XiX2-54k9k24x1x2令鱼一，则，丄324k2.x2-45k - 20在（* *）中，由判别式0,可得k25，9324k0, n0)将A(-2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入椭圆E的方程，得4m =1,i i9解得m= , n =-. .二椭圆E的方程+=1.m n =14343I. 41(H)|FH| = 2，设ADFH边上的高为SDFH=1I h=h(H)由-DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大= DFH面积最大值为3D为椭圆短轴端点得出D点坐标为当

24、点D在椭圆的上顶点时，h最大为-.3，所以S.DFH的最大值为壮.设ADFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值 6 6.所以，S.DFHR 6所以R的最大值为 彳.所以内切圆圆心的坐标为(o,f)点石成金：1S的内切圆=27 .0.点石成金：C,D都在以B为圆心的圆上二 BCBC 二 BD=BD= BEBE 丄 CD;CD;例 1111、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆点到焦点距离的最大值为 3 3,最小值为 1 1.(I)求椭圆C的标准方程；(II) 若直线i：y=k=kx+ +m与椭圆C相交于A、B两点(A、左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.直线l过定点

25、，并求出该定点的坐标.思维流程：2 2解: (I)由题意设椭圆的标准方程为二 追1(a b 0),a b由已知得：a c=3, a-c=1,(II(II )设A(x1, yj, Bg y2).得(3 4k2)x28mkx 4(m2-3) = 0，则込=64m2k216(3 +4k2)(m2) 0,即 3+4k2m20,2iiI2乂y1y (kx1m)(kx2m) = kXM2mk(x1x2) mC上的B不是求证:a 2, c=1,椭圆的标准方程为二ac2 2 1.43刘亠 X2 = -8mk3 4kX1X24(m23)3 4k23(m2-4k2)3 4k20.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD =_1，即 =_1. .-y1y2X1X2-2(x1x2) 4% 2 x2_2如24 .42-?）.举-0. 7m216mk 4k0.3 4k23 4k23 4k2解得：g = -2k, m2= - #，且均满足3 4k2 m2. 0.当m -2k时，I的方程y二k（x一2），直线过点（2,0），与已知矛盾;当m2=-牛时，I的方程为y=k一2，直线过定点I,.所以直线1过定点定点坐标为7-点石