高一数学必修一311方程的根与函数的零点

1、求下列方程的根：求下列方程的根：(1)2x-1=0 ； (2)x2-2x-3=0.方程方程x-x4=0的根怎么求？的根怎么求？回顾旧知，发现问题回顾旧知，发现问题:问题问题1问题问题23.1.1 方程的根方程的根与函数的零点与函数的零点 下列一元二次方程及其相应的二次函数图下列一元二次方程及其相应的二次函数图象有什么关系？象有什么关系？2y = x -2x-32x -2x-3 = 0与函数与函数（1）（2）2y = x - 2x +12x - 2x +1 = 0与函数与函数2y = x - 2x + 32x - 2x + 3 = 0与函数与函数（3）探究探究1 函数的图象函数的图象与与x x轴

2、交点轴交点方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x2-2x-3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x2-2x+3 对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？探究探究2动脑思考一下动脑思考一下方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函

3、数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=f(x),使使f(x)=0的实数的实数x叫做叫做函数函数y=f(x)的零点的零点.零点指的是一个实数零点指的是一个实数.零点是一个点吗零点是一个点吗?知识要点知识要点注意：注意：二次函数的图象与二次函数的图象与x轴的交点与相应的一轴的交点

4、与相应的一元二次方程的根有什么关系元二次方程的根有什么关系?2:y = ax +bx+c(a0)即即 函函数数的零点即为方程的零点即为方程2ax +bx+c = 0(a0)的根的根2y = ax + bx + c(a0)函函数数的图像与的图像与x轴轴的的02ax + bx + c = 0(a)的根的根交点的横坐标即为方程交点的横坐标即为方程知识要点知识要点方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点代数法代数法图像法图像法 或几何法或几何法1.通过求方程的根来找出函数的零点通过求方程的根来找出函数的零点2.利用函数图

5、像的性质找出函数的零点利用函数图像的性质找出函数的零点 1.前面问题前面问题2：方程：方程-x-x4=0的根怎么求？的根怎么求？解：令解：令f(x)= -x-x4，做出函数，做出函数f(x)的图像，如下：的图像，如下：o12-1-2246-2-4可知函数图像与可知函数图像与x轴有轴有交点，所以说方程的交点，所以说方程的-x-x4=0的根是的根是x=1.例例题题0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy观察观察1观察二次函数观察二次函数 的图像的图像2f(x) = x -2x-31. 在区间在区间 2,1上上_(有有/无无)零点；零点；f(-2)f(1)_0（或）（或）有有2. 在区

6、间在区间2,4上上_（有（有/无）零点；无）零点；f(2) f(4)_0()或或有有 下面函数下面函数y = f(x)的图象的图象 1 在区间在区间,ba上上_(有有/无无)零点；零点；)(af)(bf_0（或）（或）,cb上上_(有有/无无)零点；零点；)(bf)(cf_0（或）（或）2 在区间在区间,da上上_(有有/无无)零点；零点；)(af)(df_0（或）（或）3在区间在区间有有有有有有观察观察2 若函数若函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线断的一条曲线,且且f(a)f(b)0,则函数则函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点.

7、 即存在即存在c(a,b),使得使得f(c)=0,这个这个c就是方程就是方程f(x)=0的根的根.知识要点知识要点定理定理思考思考（1）若只给条件）若只给条件f(a)f(b)0，是否在，是否在(a,b)内内函数就没有零点？函数就没有零点？看以下图像看以下图像abxy0ab0yxab0yxab0yx由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13） 4 1.30691.0986 3

8、.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例题例题1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数的零点个数。123456789x0246105y241086121487643219问题9：为什么上个问题中只有一个零点呢？说一说理由？。）是增函数，请证明它，在（函数0)(xf 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。 函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线：断的一条曲线：（2）函数）函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点 f

9、(a)f(b)0.结论结论（1） f(a)f(b) 0)3y = f(x) ( )1A.,1 ,(1,e)e1,1(1,e)e1,1(1,e)e1,1(1,e)e（）（）,1 1. .（ 2 20 00 09 9 天天 津津 ） 设设 函函 数数在在 区区 间间内内 均均 有有 零零 点点B B. .在在 区区 间间内内 均均 无无 零零 点点C C. .在在 区区 间间 （） 内内 有有 零零 点点 , ,内内 无无 零零 点点D D. .在在 区区 间间 （） 内内 无无 零零 点点 , ,内内 有有 零零 点点则则答答案案D D解解析析：本本题题考考查查连连续续函函数数的的零零点点定定理

10、理1111及及其其应应用用. .由由于于f( )=+1 0f( )=+1 0e3ee3e1111f(1)= 0,f(e)=e-1 0,f(e)=e-1 0,所所以以33331 1函函数数y =(x)y =(x)在在区区间间（,1,1）内内无无零零点点，e e在在区区间间（1 1，e e）内内有有零零点点. .故故选选D Dx x2 2-x+20-x+20； (2)y=x(2)y=x3 3-2x-2x2 2 -x+2.-x+2.1.求下列函数的零点求下列函数的零点:求函数零点的步骤：求函数零点的步骤： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)写出零点写出零点解：解：（1

11、）令令 x2-x+20=0，则解得方程的根，则解得方程的根 为为x=-5,x=4,所以此函数的有两个零点所以此函数的有两个零点 是是x=-5,x=4.（2）令）令x3-2x2 -x+2=0，则解得方程的根为，则解得方程的根为 x=2,x=1,x=-1,所以此函数有三个零点所以此函数有三个零点 分别是分别是x=2,x=1,x=-1.(3)y=lg(x-1)解：令解：令lg(x-1)=0,这个方程的根为这个方程的根为 x=2，所以说此函数的零点是，所以说此函数的零点是x=2.2.函数函数y= f(x)在区间在区间a, b上的图象是连续上的图象是连续不断的曲线，且不断的曲线，且f(a) f(b)0，

12、则函数，则函数y=f(x)在区间（在区间（a,b）内）内 （ ） A.至少有一个零点至少有一个零点 B.至多有一个零点至多有一个零点 C.只有一个零点只有一个零点 D.有两个零点有两个零点A2210axx 0,1a3若方程若方程在在内恰内恰的取值范围（的取值范围（ ）有一解，则有一解，则A. a1 C. -1a1 D. 0a1B2( )21f xaxx0,1(0)(1)0ff分析：令分析：令在在内恰有一解，则内恰有一解，则 4.函数函数f(xf(x)=lnx-2/x)=lnx-2/x的零点所在的大致区的零点所在的大致区间（间（ ）A. (1,2) B. (2,3)C. (1,1/e)和和(3,

13、4) D. (e,+)B 分析：判断区间（分析：判断区间（a,b）是否为）是否为f(x)零点所在的零点所在的区间，只要判断区间，只要判断f(a).f(b)0是否成立是否成立.经代入计算得经代入计算得f(2)=ln2 -10所以所以f(2).f(3)0， f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是，则下列命题正确的是 （ ） A.函数函数f(x)在区间（在区间（0，1）内有零点）内有零点 B.函数函数f(x)在区间（在区间（1，2）内有零点）内有零点 C.函数函数f(x)在区间（在区间（0，2）内有零点）内有零点 D.函数函数f(x)在区间（在区间（0，4）内有零点）内有零点D6. 若二次函

14、数若二次函数y= +kx-(k-8)与与x轴至多有一轴至多有一个交点个交点,求求k的取值范围的取值范围?7.函数函数y=| log2|x|-1|有几个零点有几个零点?解：令解：令| log| log2 2|x|-1|=0|x|-1|=0，则方程有几个根，则方程有几个根就有几个零点由此得到方程有两个根分就有几个零点由此得到方程有两个根分别是别是x=+2x=+2，x=-2,x=-2,所以函数有两个零点所以函数有两个零点. .2 22 22 2解解：令令x x + + k kx x - -( (k k - - 8 8) )= = 0 0, , 由由题题目目可可以以知知道道方方程程要要么么有有一一个个根根，要要么么没没有有根根，即即k k + + 4 4( (k k - - 8 8) )= = 0 0或或k k + + 4 4( (k k - - 8 8) ) 0 0, ,所所以以- -8 8 k k 4 4. .2x6. 若二次函数若二次函数y= +kx-(k-8)与与x轴至多有一轴至多有一个交点个交点,求求k的取值范围的取值范围?2x2x6. 若二次函数若二次函数y= +kx-(k-