同济版高等数学 11-1 课件

1、一、概念与性质一、概念与性质oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分近似近似求曲线形构件的质量求曲线形构件的质量对弧长的曲线积分的定义对弧长的曲线积分的定义,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任

2、意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件

3、的质量.),( LdsyxM 存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲曲线线积积分分记记为为上上对对弧弧长长的的在在闭闭曲曲线线函函数数对弧长的曲线积分的性质对弧

4、长的曲线积分的性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf.),(),(),()2(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL .,是常数是常数 Lds.1. 1 计计算算曲曲线线积积分分例例 Lniisds10lim1.解解. l .),(),(),(),()3( LLdsyxgdsyxfyxgyxfL则则上上有有设设在在.| ),(|),( LLdsyxfdsyxf特特别别地地，有有二、对弧长曲线积分的计算二、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttt

5、tytxLLyxfL则则上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(. 2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyx

6、fdcL )(dc 例例2).(,sin,cos:,象限象限第第圆圆 taytaxLxydsIL解解dttatatataI2220)cos()sin(sincos dttta 203cossin 23a 0 I ,sin,cos:,taytaxLxydsIL圆圆例例3.)1 , 1()0 , 0(,:,2一段一段到到从从其中其中求求BOxyLdsyIL 解解dxxxI21041 )155(121 例例4)20(.,sin,cos:,)(222 的一段的一段其中其中求求kzayaxdszyxI解解.)43(3222222kaka dkaka22222)( 20I例例5 . 0,22222zyxa

7、zyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx.,22 LyLxdsxIdsyI 曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标., LLLLdsdsyydsdsxx 设设螺螺旋旋形形弹弹簧簧一一圈圈的的方方程程为为taxcos , ,taysin , , ktz , ,其其中中 20t, ,它它的的线线密密度度 222),(zyxzyx , ,求求: :它它关关于于Z轴轴的的转转动动ZI惯惯量量. . 例例7解

8、解 LzdszyxyxI)(22222 20222222)(dtkatkaa)43(32222222 kakaa 小结小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用习题习题11-1 1， 3（2）（）（4）（）（5）（）（7）, 5 一一、 填填空空题题: :1 1、 已已知知曲曲线线形形构构件件L的的线线密密度度为为),(yx , ,则则L的的质质量量M= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 Lds= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

9、 _ _ _ _ _；3 3、 对对_ _ _ _ _ _ _ _ _的的曲曲线线积积分分与与曲曲线线的的方方向向无无关关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中中 要要求求 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 计算下列求弧长的曲线积分计算下列求弧长的曲线积分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L为圆周为圆周222ayx , ,直线直线xy 及及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 练习题练习题 Ldsyx),( 的弧长的弧长L弧长弧长 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线A

10、BCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它关于、它关于Z轴的转动轴的转动ZI惯惯量量； 2 2、它的重心、它的重心 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的弧长的弧长