09-2017年全国初中数学联赛决赛试卷B

1、2017 年全国初中数学联赛决赛试卷B(3 月 26 日 上午 8:4511:15 )一、选择题(本题满分 42 分，每小题 7 分)本题共有 6 小题，每题均给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题号的括号内，每小题选对得7 分；不选、错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得 0 分。1、 若 q 是质数，且 q +1 是完全平方数，就称 q 为 P 型质数，则 P 型质数的个数是()A、0B、1C、2D、无数个k.2、已知 k 为正实数，一次函数 y=kx+1 与反比例函数 y=-的图象交于 A(X1, y，B(x2，X

2、y2)两点，若|X1-X2|= ,5,则 k 的值是()A、 1B、 2 C、 ,3D、 2EF 53、已知 AD、BE、CF 为锐角 ABC 三边上的高，若 AB=26，BC=后，贝VBE 的长度是( )A、10B、12C、13D、244、在梯形 ABCD 中，AB/ CD，/ ABC=90 E 是腰 AD 的中点，若 EC=锁,AB+BC+CD=2 .26,贝打 BCE=()A、 30 B、 45C、 60D、 755、 若实数 k 使得关于 x 的方程(x2-)(kx2-x -8)=0 恰有三个不同的实数根，则称 k 为“好数”， 则“好数” k 的个数是(C、36、记正整数 m 的各位

3、数字之和为 S(m)，比如S(2017)=2+0+1+7=10，现从 1 , 2 ,3,2016,2017 这 2017 个正整数中，任意取出 n 个不同的数，都能在这 n 个数中找到ai, a2，a7， a8,使得 S(a = S(a2)= = S(a7)= S(a8)，则正整数 n 的最小值是()A、 185B、 187C、 189D、 191二、 填空题(本大题满分 28 分，每小题 7 分)本题共有 4 小题，要求直接将答案写在横线上-2x117、 若 x/3 42,则-Xq-宁(|X|+1+帝)的值是_8、 在平面直角坐标系中，点O (0,0)、A (0,6)、B (-3,2)、C

4、(-2,9),点 P 为线段 OA (含端点)上任意一点，贝VPB+PC 的最小值是_9、 有 4 只杯口全朝上的茶杯，现在每次翻转3 只，翻动的茶杯允许再翻，经过n 次翻动后，使得杯口全朝下，则正整数n 的最小值是 _(注：所谓一只茶杯的一次翻转是指将该茶杯的杯口朝上(下)翻为杯口朝下(上)10、设 A、B 为抛物线 y= x2上两点，该两点在 y 轴两侧，满足 AB=4,记厶 AOB 的面积为 S,其中 O 为坐标原点，则 S 的最大值是_三、 解答题(本题满分 20 分)11、设 a、b、c 是任意三个互不相等的有理数，证明：匕+匕+& 是(a -b)(b -c)(c -a)有理

5、数四、解答题（本题满分 25 分）12、如图，正方形 ABCD 绕 A 点逆时针旋转到正方形 APQR,连接 CQ,延长 BP 交 CQ 于点 E.求证：E 是线段 CQ 的中点;Bp若 CP 丄 BE,求PE的比值A五、解答题（本题满分 25 分） 13、如图，以直角厶 ABC（其中/ C=90的三边 CA、CB、AB 向外分别作正方形 CADE、BCFG、ABHI，记边 CB、CA 的长分别为 a、b;凸六边形 DEFGHI 的面积为 S.问:是否在正整数 a、b 使得 S=2016?若存在，请求出所有的正整数 a、b,若不存在，请说明理由IH2017年全国初中数学联介竞赛试题参考答案及评

6、分标准说明*评何试卷时.请依撫 4评兮标准邊斤題和填空旳只设 7 分 wo 分两档* trnn. 请严格按科本评分标准规定的评分档次给分不要再增加其他中间档次.如果考生的解齐力 法如衣解答不同只隻思路合理步驟正确.圧评栓时请够照本评分标准划分的档次给十相 应的分数一. 选挣 18（本邑満分 42 分.毎小 E 7 分）L B2. A3. D4. B5. D6.A二. 填空赳（本逍満分 28 分.毎小超 7 分）7、8、5 + VTJ9、410、8三.解答題（本題満分 20 分）1K站恥足任倉三个邸相有理飲呦,仙需占足自理故.tfWh 令 x = Wx) )c#0- II 丄 + 丄 + 丄=0

7、. 5 分x y 2十是少+忙二 x=0 （10分）从而-+- +- r(a-by(b_e) (e-a) *=x+ 厂+二=(x +y + :)2- 2(xy+ 齐 h)= (x + y +二)：.（15分）=+- * - 是 h 理数. a bb_c ca（20分）2017 勺乞国杓陀説堂 0 诀&$*及评分加応M 1 ill R 3 ii）12. talM. iF 方彫仏 O 绕4 .占迪时忡険转到 iF 方形.iPQR. mtCQ.址长 BP 交 C0 于点（I）求 if$段 CQ 的中点$（2）杵 CP 一 BE.求需的比值.1）谨结才 C.AQ. AE.正方形.IBCDA时什

8、険转列正方形APQR.ACAQ.厶 B 心 ZG4Q 所以BAPCAQ.所以乙 IBP-厶 4C0（5 分）li|）Z.15ACE.所以儿B、C三四点妹:乌 所以二OiUO180 即冇*丄（70 又因为ACAQ.所以 E 是枚段CQ 的中恵.（10分）2）iZl:由 1A. B.C、E 四点共 M 可如.ZCP-ZCfl=ZC=45%所以所以PEC （15分）从而 C = V2P （20分）故4匹=密=樂BP BP BP（25分法 2：由（1） J.B. C.四点共卯可知.ZCPZC2UZC45=450.出以 MJC.IRfiP 中 4 lAM.WJtliABiP.rwM丄丄BP.由ZAMBM

9、BPCM.（15分）BMM-ZPBC口口ZPCB. AB二二BC 所以所以MBPC.BP 2BM7EPCQ0 分）25分）13. ttltL其中 ZC 9(T)的三边 C.CB.川刃向外分别作正方形CADE. BCFG、ABH1.记边 CB Q 的长分别为 a. 6：凸兀边形凸兀边形DEFGHI的曲的曲枳为 S.何，是否是否存任正矗救 a.b.便得 S = 2016?若任.请求出所升的正整故 a.bi若不讷说明理由解：如用.延长必至厅便BA -= AB .ii7C.则峪址 VCmMQ.从而= S4C= Sxac5 分 同理* S 乂 b=EMC= StyaG 则 S 4xab + 2(a+F) 2(a+b 4ab)f?设存任正廉 tSd.b.便得 S=2016 即瑚+b + ab) = 2016 于a2bab24x32x7 由 2 a+ab + X 知 a 上均为tt ( (15分)不妨设xy.W32X73X故 x2ll.注x.y 为正 Cft.则 x = 1.23.4.当 x = lH 有 y】 + y = 6