不等式知识结构与知识点

1、WORD格式不等式知识构造及知识点总结一知识构造二知识点1、不等式的根本性质对称性abba 传 递 性 ab,bcac可加性a bacbc 同 向 可 加 性 ab , cda cb d异向可减性ab, c dacbd可积性 ab, c0acbcab, c0acbc同向正数 可乘性 ab0, cd0ac bd异向正数 可除性ab0,0 cabddc平方法那么ab0a nbn ( nN, 且n1)开方法那么a b 0n an b(n N ,且 n 1)倒数法那么 ab011b 011a; aabb2、几个重要不等式 a2b22ab a，bR ,当且仅当ab 时取"" 号.变形

2、公式： aba2b2.专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式根本不等式ababa， bR,a b时取到等号.2当且仅当ab2aba b2变形公式：ab. 用根本不等式求最值时积定和最小，和定积2最大，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等 .三个正数的算术几何平均不等式ab c3abc (a、b、cR )3当且仅当 a b c时取到等号 . a2b2c2abbccaa， bR 当且仅当abc 时取到等号. a3b3c33abc( a0,b0,c0) 当且仅当abc 时取到等号.假设 ab0, 那么ba2 当仅当a=b时取等号假设 ab0,那么ba2 当仅当a=babab时取等号专业

3、资料整理WORD格式bbmaamanab 0，m0， n0) 规律：小于1同加那么变大， 大于11n其中 (abb专业资料整理WORD格式同加那么变小 .当 a0时，xax2a2xa或 xa;xax2a2axa.专业资料整理WORD格式绝对值三角不等式ababab .3、几个著名不等式平均不等式：a 12ababa2b2a， bR ,当且仅b 122当 a b 时取"" 号.即调和平均几何平均算术平均平方平均 .ab2a2b2(ab)2变形公式： ab;a2b2.222幂平均不等式： a12a22.an21 ( a1a2.an ) 2.n二维形式的三角不等式：x12y12x

4、22y22( x1x2 )2( y1 y2 ) 2( x1 , y1 , x2 , y2R).二维形式的柯西不等式( a2b2 )(c2d 2 )( acbd )2 (a,b, c, dR). 当且仅当ad bc时，等号成立 .三维形式的柯西不等式：( a12a22a32 )(b12b22b32 )(a1b1a2 b2a3b3 )2 .一般形式的柯西不等式：(a12a22.an2 )(b12b22.bn2 )(a1b1a2b2.anbn ) 2 .专业资料整理WORD格式向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，那么, 当且仅当是零向量，或存在实数k ，使k时，等号成立 .排序不等式排序原理：设

5、a1a2.an ,b1b2.bn为两组实数. c1 , c2 ,., cn是 b1 ,b2 ,., bn的任一排列，那么a1bna2bn 1.an b1a1c1a2c2.an cna1b1a2b2.anbn. 反序和乱序和顺序和 当且仅当 aa. a 或 bb .b 时，反序和等于顺序和.12n12n琴生不等式 : 特例 : 凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f ( x) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1x2 ),有f (x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )或f ( x1x2)f ( x1 )f ( x2 ).那么称f(x)为凸或2222凹函数 .4、不等式证明的几

6、种常用方法常用方法有： 比较法作差， 作商法、综合法、 分析法； 其它方法有： 换元法、 反证法、放缩法、构造法，函数单调性法， 数学归纳法 等 . 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如( a1) 23(a1)2 ;242将分子或分母放大缩小，如11112212(),k 2,k2,kk( k 1)k (k 1)2 kkkkk 112(k N * , k 1) 等.kkk15、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0) (a0,b24ac0) 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根

7、据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿奇穿偶切，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.f ( x)0f ( x)g ( x)07、分式不等式的解法： 先移项通分 标准化， 那么g( x)“或时f ( x)0f (x) g( x)0g( x)g( x)0专业资料整理WORD格式同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f ( x)a(a0)f ( x)0f (x)f (x)0f ( x)a(a 0)a2a2f (x)f (x)0f (

8、 x)0 f (x)0f ( x)g( x)g(x) 0或f (x) g ( x)g ( x)0g( x)0f (x) g(x)2f (x) g( x)2f ( x)0f ( x)g( x)g ( x)0f ( x)g ( x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当 a 1时,af (x)a g( x)f ( x) g( x) 当0 a1时,a f ( x)ag ( x)f (x) g ( x)规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当 a1时 ,f ( x)0当0 a1时,logaf (x) log a g (x)g ( x

9、)0f ( x)g( x)f ( x)0log a f ( x)loga g( x)g (x)0 .f ( x)g( x)规律：根据对数函数的性质转化.11 、 含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 ：定 义 法 ：aa(a0 )a(a.平方法：0 )f (x)g (x)f 2 ( x) g 2 ( x).同解变形法，其同解定理有： xaa xa(a0); x axa或xa(a0);f (x)g( x)g(x)f ( x)g( x) ( g( x)0)f ( x)g (x )f ( x)g( x) 或 f ( x)g (x ) ( g (x )0)专业资料整理WORD格式规律：关键是去掉绝对

10、值的符号.专业资料整理WORD格式12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如 ax2bxc 0 且含参数的不等式时，要对参数进展分类讨论，分类讨论的标准有：讨论 a与0的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小 .14、恒成立问题不等 式 ax2bxc 0 的 解 集 是 全体 实 数 或 恒 成 立 的 条 件 是 ：当 a0 时b0, c0; 当 a 0 时a 0不等式 ax2bxc0 的解集是全0.体实数或恒成立的条件是：当a0 时b 0, c 0; 当 a0 时a 00.f (x

11、)a 恒成立f (x)maxa;f ( x)a 恒成立f ( x)maxa;f (x)a 恒成立f (x)mina;f ( x)a 恒成立f ( x) mina.15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线AxByC0 的同一侧的所有点的坐标代入AxByC 后所得的实数的符号一样.所以，在实际判断时， 往往只需在直线某一侧任取一特殊点如原点，由Ax0By0 C的正负即可判断出 Ax By C0 ( 或0) 表( x0 , y0 )示直线哪一侧的平面区域 .即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二： 根据 AxByC0 ( 或0) ，观察B的符号

12、与不等式开口的符号，假设同号，Ax By C0 ( 或0)表示直线上方的区域；假设异号，那么表示直线上方的区域. 即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共局部.利用线性规划求目标函数zAxBy ( A, B 为常数的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxBy x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标的最值存在，那么这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值专业资料整理WORD格式法二：画移定求：l0 :

13、AxBy 0第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线线 l0据可行域，将直线 l0平行移动确定最优解；第三步，求出最优解( x, y)将最优解 ( x, y)代入目标函数 z Ax By 即可求出最大值或最小值.，平移直；第四步，专业资料整理WORD格式第二步中 最优解确实定方法：利用 z 的几何意义：yA xz ,z为直线的纵截距 .BBB假设 B 0, 那么使目标函数zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；假设 B 0, 那么使目标函数zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的

14、角点处，z 取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距型： z Ax By;“斜率型： zy 或zyb ;xxa“距离型：zx2y2或z x2y2 ;z (x a)2( y b)2或z( x a) 2( yb)2 .专业资料整理WORD格式在求该 “三型 的目标函数的最值时，题简单化 .可结合线性规划与代数式的几何意义 求解，从而使问专业资料整理WORD格式16. 利用均值不等式：a b2a2b 22ab a， b R ； a b 2 ab； ab求最值时，你是否注2意到“ a， b R 且“等号成立时的条件，积(ab)或和 (ab) 其中之一为定 值？一正、二定、三相等a2b2a b2ab，注

15、意如下结论：22aba b Ra b当且仅当 ab时等号成立。a2b 2c2abbcca a，b R当且仅当 abc时取等号。a b 0，m0， nbbmana0，那么a1bnbam如：假设 x0 ， 23x4 的最大值为x设 y23x42212243x当且仅当 3x4，又 x0， x2 3时， y max243x3专业资料整理WORD格式又如： x2y1，那么 2 x4y的最小值为2x22 y2 2x 2y2 21，最小值为2217.不等式证明的根本方法都掌握了吗？比较法、分析法、综合法、数学归纳法等并注意简单放缩法的应用。如：证明 111122232,n2111,1111,12232n2n

16、 1 n122311111,11223n 1n122n18 .解分式不等式f (x)a a0 的一般步骤是什么？g( x)移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。 19.用“穿轴法解高次不等式“奇穿，偶切，从最大根的右上方开场23如： x 1 x 1 x 2020. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分 a1或 0a1讨论21. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。专业资料整理WORD格式例如：解不等式| x3| x11 解集为x|x1专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式22、会用不等式| a | b | | ab | | a | b | 证明较简单的不等问题专业资料整理WORD格式如：设f (x )x2x13，实数 a满足 | xa|1求证：f ( x)f (a)2(|a| 1)专业资料整理WORD格式|( xa)( xa1)| (|xa| 1)证明：|f (x)f ( a)|( x2x13213|xa|xa1| |xa1|) ( aa)|x|a|1又|x| |a| |xa|1， |x|a| 1 f ( x)f (a)2|a|