七升八级暑期数学辅导

1、目录八年级数学上册课时分布第一讲与三角形有关的线段第二讲与三角形有关的角第三讲多边形及其内角和第四讲 全等三角形 第五讲 全等三角形的判定（一）第六讲全等三角形的判定（二）第七讲全等三角形的判定（三） 第八讲全等三角形的判定（四）第九讲全等三角形的判定综合 第十讲角的平分线的性质第十一讲 全等三角形复习测试卷 第十二讲轴对称 第十三讲等腰三角形 第十四讲等边三角形 第十五讲如何做几何证明题（1）- 2 - / 53第十六讲如何做几何证明题（2）第十七讲如何做几何证明题 (3)第十八讲如何做几何证明题 (4)第十九讲测试第二十讲试卷评讲及复习八年级（上）（ 62）第 11 章 三角形（ 8）11

2、.1 与三角形有关的线段（ 2）11.1.1三角形的边 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性 信息技术应用 画图找规律11.2 与三角形有关的角（ 3）11.2.1 三角形的内角 7.2.2 三角形的外角 阅读与思考 为什么要证明11.3 多边形及其内角和（ 2）11.3.1 多边形 11.3.2 多边形的内角和 数学活动 小结（ 1）第 12 章 全等三角形（ 11 ）12.1 全等三角形（ 1）12.2 三角形全等的判定（ 6） 信息技术应用 探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（ 2）数学活动小结（ 2）第 13 章 轴对称（ 14 ）13.1

3、轴对称（ 3）13.1.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形-3 - / 53实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动小结（2）第 14 章整式的乘法与因式分解（14）14.1 整式的乘法（6）14.1.1 同底数幕的乘法 14.1.2 幕的乘方14.1.3 积的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（3）14

4、.3.1 提公因式法14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解数学活动小结（2）第 15 章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1从分数到分式15.1.2分式的基本性质15.2 分式的运算（6）15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幕阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）数学活动小结（2）-4 - / 53第一讲全等三角形(一)知识要点1、全等三角形的有关概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起，重 合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。“全等”用“也

5、”表示，读作“全等 于”，如 ABCDEF。当两个三角形全 等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应 的位置上，如右图所示， ABC 和厶 DEF 全 等，点 A 与点 D，点 B 与点E,点 C 与点 F 是对应顶点，记作 ABC DEF。其中 AB与 DE , AC 与 DF, BC 与 EF 是对应边，/ A 角。规律方法小结： 在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然 后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。全等三角 形的面积一定相等，但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。(1) 平移型：

6、如下左图，若 ABCDEF，贝 U BC=EF。将 DEF 向左平移得到 F右图，则仍有 BC=EF，在右图中，若知 BC=EF，则可推出 BE=CF。与/ D，/ B 与/ E,ZC 与/ F 是对应BC EF-5 - / 53A2、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。知识延伸：(1)全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依 据；(2) 全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：(1 )全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2 )全等三角形对应边

7、所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3) 公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；(4) 全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角)。(二)典型例题例 1 :若把 ABC 绕 A 点顺时针旋转一定的角度，就得到厶 应边和对应角。规律方法： 全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上，同时，在书写对应 边时，直接(2)旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1;图 2 的旋转中心为点 0,有一对对顶角/旋转中心为点 A，有公共部分/(3)翻折型：如上右图， AB，图 2 中有公共角/ A。知识延伸： 熟悉这些基本图形， 有

8、利于我们寻找三角形全等的隐含条件, 的证明思路。两对三角形的全等属于翻折型，其中图启发我们ADE，请写出图中所有的对(1(2)-6 - / 53按照对应边来写，但书写对应角时，就必须特别注意结合图形，尤其是角的 表示。例 2 :如图，已知 ABDACE。试说明 BE=CD，/ DC0= / EB0。0C-7 - / 53A规律方法：全等三角形的性质不仅有：（1）全等三角形的对应边相等；（ 2）全等三 角形的对应角相等。同时，我们还发现：（3）全等三角形的周长相等；（4 ）全等三角形的面积相等；（5）全等三角形中，对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分 线也分别相等。例 3 :如图， ADF

9、 CBE，且点 E, B , D , F 在一条直线上，判断 AD 和 BC 的位置关系，并加以说明。例 4 :如图，在 ABC 中，D , E 分别是边 AC , BC 上的 点，若1525A、C、ADBEDBEDC，则/ C 的度数为（）2030例 5 :如图， ABE 和厶 ADC 是厶 ABC 分别沿 AB , AC 边翻折180形成的，若/ 1:72:73=28: 5: 3,则求/a的度数。例 6:如图，已知 ABE ACD,71 =72,7B=7C,指出其他的对应边和对应角。AEC-8 - / 53例 7:如图，已知 AB3ADBE AB 丄 CD DE 的延长线交 AC 于点 F

10、,那么 DF 丄 AC 吗? 说明理由.例 8:如图，已知 ABEAACD 且 AB =AC,求证:(1)/ BAD= / CAE (2)BD= CE.（三）反馈练习1.如图， ABCADCB 若/ I 与/ 2 是一组对 应角，则其他的对应角有，对应边 有，。2._ 如图， ABCAAB C,且点 B, B, C, C在同一直线上，则 BB =_若/ A=80o 则/ A = o，/ B DC=o3.如图，把 ABC 沿直线 BC 翻折 180o,得到 DBC 则厶 AB C 与厶 DBC 的关系是4.如图，把 ABC 绕点 A 旋转一定的角度得到 AED 那么 ABCXAED 其中对应边

11、有， ，对应角有 ，。5.(南通)已知：如图，OADAOBC 且/ O=70o / C =25o,则/ AEB=。BC C-9 - / 53DC6.如图， ABDAACD AB=AC 贝 BAD 玄,BD=，/ ADB=gB D C7.如图，若 ABCAEDC 且/ B=58o CD=2cm 点 B, C, E 在同一直线上，则/ E=,BC=cm.B C E&若 ABCADEF DEF 的周长为 32cm, DE= 9cm,EF= 12cm，贝 U AB=cm,BC=_cm , AC=cm.9.如图，直角 ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到 DEF 则下列结论中错误的 是

12、（）A.ABCADEF B./DEF= 90oC. AC =DF D. EC= CFE C10.下列说法，（1）形状相同的两个三角形是全等三角形；（2）面积相等的两个三角形是全等三角形；（3）全等三角形的周长相等，面积相等；（4）若厶 ABCADEF 则/ A=/D, AB =EF.其中正确的个数有（）A.l 个 B.2 个 C. 3 个 D . 4 个11 .如图所示， ABCAAEF,AB=AE / B=/ E,则下列结论： AC=AF / FAB=/EABEF =BG / EAB=/ FAC.其中正确结论的个数是（）A.l 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个RFC12.如图，在 AB

13、C 中，D E 分别是边 AC BC 上的 点，若 ADBAEDBAEDC 贝卩 /C 的度数为（）A . 15o B . 20oC . 25o D . 30o-10 - / 5313.如图， ABCACDA 下列各组边中，不是对应边的是（）A . AB 与 DC B.AC 与 CAC.AD 与 CB D.AD 与 DCA&14.如图，AABCAADE 点 B 的对应点是点 D.若/ BAD= 100o / CAE= 40c,求/ 的度数.BAERECA-11 - / 53（一） 知识要点第二讲 全等三角形的判定（一）1、三角形全等的判定方法一：SSS三边对应相等的两个三角形全等（可以

14、简写成“边边边”或SSS”）。书写格式：在厶 ABC 和厶 AB C 冲，AB =ABAC = ACBC =BC-ABCA ( SSS)规律方法小结：（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设 或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题 的一种思想方法。（二） 典型例题例 1在 ABC 中，AB=AC , AD 是三角形的中线求证： ABD ACDBC-12 - / 53例 2 .已知：如图， A、C、F、D 在同一直线上， AF = DC, AB= DE , BC= EF

15、 ,例 3.如图，点 A, B, C, D 在同一直线上，且 AD =BC AE =BF , CE= DF.求证:DF/CE.例 4.如图，已知 ABEAACD 求证：/ l= / 2.例 5.如图，点 A, C, B, D 在同一条直线上，且AC=BD AM= CN BM= DN.求证:AIM/ CN BM/ DN求证： ABCDEF .E-13 - / 53-14 - / 53例 6.已知：如图，四边形 ABCD 中, AB= CB, AD= CD,求证：/ A=ZC.（三）练习：1如图，若 AB =AC, BD= CD / B =62o，则/ BAC=度.2.如图，已知 AB= CD,

16、AD= CE,还有条件，可判定厶 ABCACDA 其依据是.3.如图，在 ABD 和厶 ACE 中，已知 AB =AC, BD = CE, AD =AE,若/ l= 20o，则/ 2=.4.如图，在四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 0,且 AO= BQ CO =DQ AD= BC,则图中 全等三角形有对.5.如图，已知 AB=BC AD=CDZABC=8Oo / ADC= 50q 则/ A=o,ZC=o.BC= ED CF=FD AC=AD 求证：/ BAF= / EAF.D-15-/53Co (3)AD平分/ BAC (4) AD 丄 BC.其中正确的个数是()A . 1 个

17、B . 2 个 C.3 个 D.4 个形全等.其中正确说法的个数是()A.4 个 B . 3 个 C . 2 个 D . 1 个&下列命题中正确的是()A 有两条边对应相等的两个三角形全等B 两个等边三角形全等C 两个等腰直角三角形全等D 三边对应相等的两个三角形的对应角也相等,10.如图，在 ABC 中，AB =AC,点 D E 分别是 BC 的三等分点，且 AD=AE 求证： ABD ACE.AB =AC,点 D 为 BC 的中点，下列结论:(2)/B=Z(1)周长相等的两个等边三角形全等;形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等;(2)有三个角对应相等的两个三角(4)有底和腰

18、对应相等的两个等腰三角AB=AC,ABDEC-16 - / 53E11.如图 16,在厶 ABCn DCB 中, AB=DC AC=DB AC 与 DB 交于点 M.（1） 求证： ABCADCB（2） 过点 C 作 CN/ BD 过点 B 作 BN /AC , CN 与 BN 交于点 N,试判断线段/ NBC 和 / NCB数量关系并证明你的结论.第三讲 全等三角形的判定（二）（一）知识要点1、三角形全等的判定方法二：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或 “SAS”）。书写格式：在厶 ABC 和厶 AB C 冲，AB二AB NA =AAC = AC ABC

19、也厶 A ( SAS)知识延伸：“SAS”中的“ A”必须是两个“ S”所夹的角。/V图 16-17 - / 53E例 1如图所示，直线求证：AB=DEAD、BE 相交于点 C, AC=DC , BC=EC.-18 - / 53般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第SSS或“ SAS来证明两个三角形全等；例 3 :如图，C 为 BE 上一点，点BC=ED。求证：AC=CD例 4 .如图，已知 AB =AC, AD =AE,Z仁/ 2.求证：CE =BD例 2 :如图,AD 丄 AE , AB 丄 AC , AD=AE , AB=ACB规律方法：证明三角形全等时, 三对边或这两对边的夹角，

20、利用“A , D 分别在 BE 的两侧， AB / ED , AB=CE ,-19 - / 53例 5:如图，点 E, F 在 BC 上，BE=CF, AB=DC, / B= / C. 求证：/ A= / D点，且 CQ=AB 求证：APIAQ.（三）练习1 如图，已知/ 1= / 2, AD =AC,则厶_也，其依据是2.如图，/ 1= / 2, AB =AC, AE=AD 则厶 AB 医，依据是，由此还可得BD=。3._ 如图，AC=AB AD 平分/ CAB 点 E 在 AD 上，则图中全等的三角形有 _ 对，它们是例 6.如图,BE CF 分别是 ABC 的高.P 是 BE 上一点。且

21、BP =AC, Q 是 CF 延长线上一-20 - / 53。-21 - / 534（天门）如图，已知 AE=CF / A=ZC,要使 ADFACBE 还需添加一个条件:5小明为了测量池塘对岸 A，B 两点间的距离，作了如下的操作（如图）：取一能够 到达 A, B两点的点 D。连接 AD 并延长 AD 于点 E,使 AD= ED.连接 BD 并延长 BD 至 C,使 BD= CD连接CE.那么要知道 AB 的长度，应测量线段的长度.6.如图，已知 AD 丄 BC 于点 D, BD=CD 点 E 在 AD 上;则图中全等三角形共有（）A.l 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对7.如图有下列四

22、个条件： BC =BC;AC=A C;/ A CA=ZB CB;AB =AB其中任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是A个 B。2 个 C.3 个 D.4 个&下列命题中错误的是（）A .有两边对应相等的两个等腰三角形全等B .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C .有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等（只需写一-22 - / 53D .有一边对应相等的两个等边三角形全等9.下列条件中，可以判定 ABC 和厶 A B C全等的是（）A.BC= BA,BC=B A，/B=ZBB . / A=/ B，AC =A B，AB =B CC. / A=/

23、A ,AB= B C ,AC=A C-23-/53D.BC=BC ,AC =AB ,/B=ZC10.如图，已知 AB/ CDAB= CD BE =DF,则图中全等三角形的对数有（）A . 3 对 B . 4 对 C . 5 对 D.6 对11.如图，点 A, E, B, D 在同一直线上，在 ABC 与厶 DEF 中，AB= DE,AC =DF,A/ DF.求证： ABCADEF（2）你还可以得到的结论是（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其 他字母）.CD/ BE,且 CD=BE 求证：/ D=ZE.第四讲全等三角形的判定（三）（一）知识要点1 三角形全等的判定三、四：ASA 及

24、 AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。书写格式：在厶 ABC 和厶 AB C 中,12.如图 13,点 C 是 AB 的中点,-24-/53A A/ AB = ABB = B-25-/53ABCA C （ASA ）知识延伸：“ASA ”中的“ S”必须是两个“ A”所夹的边。两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）。书写格式：在厶 ABC 和厶 A C中，.A = . A %B ZBAC二AC ABC 也厶 A C (AAS )知识延伸：“ AAS ”可以看成是“ ASA ”的推论。规律方法小结：由“

25、角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。（二）例题讲解：例 1如图所示，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC, / B= / C. 求证：AD=AE例 2如图，AB 丄 BC, AD 丄 DC, / 1= / 2.求证：AB=AD练习：如图所示，点 B F、C、E 在同一条直线上,相等吗？请说明理由AB/ DF, AC/ DE AC=DE FC 与 BE-26 - / 53ABCAB C AD , AD 分别是厶 ABC 和厶 A C的边 BC 和BC上的高。求证：AD=A D（三）练习1.如图，已知 AB=

26、DC, AD =BC, E, F 是 DB 上的两点，且 BE=DF 若/AEB=100o /ADB=30o.则/ BCF=。例 3已知：如图,AB=AC, BD_AC, CE_AB，垂足分另 U 为D、E, BD、CE 相交于点F，求证：BE=CDE 在 AC 上，/仁/2,/ 3=Z4.试证明 BE= DE.例 4:如图，已知-27 - / 532.如图，已知CDL ABBE AC 垂足分别为点 D,E,BE,CD 相交于点O,/仁/2,则图中的全等三角形共有对.3.如图，AC 与 BD 相交于点 O,/仁/ 4,/ 2= / 3.AABC 的周长为 25cm,AAOD 的周 长为17cm

27、,则 AB=.4.（海南）在厶 ABC 和厶A.B.G 中，AB =A,B,，/ A= / A1，要使 ABCA1B1C1, 还需添加一个条件，这个条件可以是.5 .如图，/ E =F= / 90o./ B= / C, AE= AF.给出下列结论：/1= / 2 :BE= CF。3厶 ACN6 .下列结论：（1） 一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；（3）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有（）A . 1 个 B . 2 个 C.3 个 D.4 个7.（成都）如图，在 ABC 与厶 D

28、EF 中，已知 AB=DE 要使 ABCADEF 不能添加的 一组条件是（）A.B= EtBC = EFB.BC = EF,AC = DFC. rA 或乙0、AB =乙 ED. 三=&下列条件中，能判定两个三角形全等的是（）A .有两边及一角对应相等ABMCD= DN 其中正确的结论是（注： 将你认为正确的结论都填上）-28 - / 53B 有三个角对应相等C .有两角及一边对应相等D .有两条边对应相等9.如图，已知 ABC 的面积为 36，将 ABC 沿 BC 平移可得到AB C,点 B和 C 重合，连接AC交A C于。，则厶CCDC 的面积为()AO= BQ CO =DO 连接

29、AD, BC 交于点 P.有下列结论 AQDABQC厶 APCABPD点 P 在/ AQB 的平分线上.其中正确的是 ()A .只有 B .只有C . D .11.如图，已知点 E、C 在线段 BF 上, BE= CF,AB/ DE,/ ACB=Z F .求证： ABCADEF.12 D . 1810.如图所示，在 LAOB 的两边上截取12.如图所示，/ l= / 2,/ D=/ C,求证;AC=BD.-29 - / 53第五讲 全等三角形的判定（四）（一）知识要点1 直角三角形全等的判定方法：HL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”）AB =

30、ABBC =BC Rt ABC 也 Rt A ( HL )规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法SSS, SAS, ASA , AAS 以外，还有一个特殊的证明方法： HL （斜边、直角边），从表 面上看，SSS, SAS , ASA , AAS 都是三个条件，其实， HL 也是三个条件，除了直角 边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在Rt ”中才能用这种方法。（二）经典例题例 1:如图，在 Rt ABC 中，/ A=90,点 D 为斜边作 BC 的垂线，交 AC 于点 E。求证：AE=ED例 2 :已知：BE 丄 CD, BE= DE , BC= DA

31、 , 求证：厶BECDAE ;2DF 丄 BC.书写格式:在 Rt ABC 和 Rt A 中,D-30 - / 53例 3 .如图，CD AB 于点 D,BE AC 于点 E,BECD 交于点 0,且 A0 平分/ BAC 求证:0B= 0C.例 5.如图，AD ABC 的高，E 为 AC 上的一点， BE 交 AD 于 F,且有 BF =AC, FD= CD求证：BEXAC（2）若把条件 BF =AC 和结论 BE!AC 互换，那么这个命题成立吗？证明你的论断.（三）练习1.如图，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D,再添加一个条件（只需填一个），就可以判定ABDAACD.AC=AD 点

32、E 是 AB 上任意一点.求证:CE= DE.AB-31 - / 533 .已知- - (: -V( AB =5,BC =4,AC =3,是，面积是，斜边上的高为_.4.如图，在 WUw 八忍灯分别过 B, C 作经过BD, CE.若 BD =3cm. CE =4cm,则 DE=。&下列命题中，正确的有()1两直角边对应相等的两个直角三角形全等；2两锐角对应相等的两个直角三角形全等；3斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；4一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；AE BC 于 E , DF 丄 BC 于 F.若 BE= CF,则厶 ABE，其依据是A 点的直线的垂线有两个

33、长度相等的滑梯(即 BC=EF,左边滑梯的高度 DF 相等，则/ ABC+ZDFE=。6.两个直角三角形全等的条件是A .一锐角对应相等C .两锐角对应相等AC 与右边滑梯的水7 .如图,()已知 AB= CD AE 丄 BD 于 E,()B .一条边对应相等D .两条边对应相等CF 丄 BD 于 F, AE= CF,则图中全等的三角形有5.如图所示,平方向的长度C . 3 对 D . 4 对-32 - / 535一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等.A. 5 个 B . 4 个 C . 3 个 D . 2 个9 .如图所示，/ C= 90o, DEL AB 于点 D, BD=BC 如果

34、AC =6cm,则 AE +DE=()A . 4cm B . 5cm C . 6cm D . 7cm810.如图所示，已知 AC 丄 BC, BD 丄 AD, AC BD 相交于 0,如果 AC= BD,那么下列结论:AD=BC/ ABC=/ BAD/ DAQ =CBD0C= 0D 其中正确的是（）.A .B .C .D .11.如图，AB: CDDELAC, BF 丄 AC, E, F 分别是垂足， DE BF.求证：(1)AF=CE; (2)AB/CD .12.如图 15 所示，ACLCF 于点 C, DFLCF 于点 F, AB 与 DE 交于点 D,且 EC=BFAB=DE 求证：AE

35、=BD.第六讲 全等三角形的判定综合一、经典例题例 1:如图，已知 AB / CD , OA=OD , AE=DF。 求证：EB / CF-25 - / 53ABAn图 150-34 - / 53例 2.如图,已知。CD AB,于 D,BE 丄 AC 于 E,BE、CD 交于点 0,且 AO 平分/ BAC求 证:0B=0C.求证：(1) AB3 DEF;(2)ZCBF 玄 FEC.例 4:在直角三角形 ABC 中,AC=BC, / C=90 ,D 是 AB 边上任一点,AE 丄 CD 于 E,BF 丄 CD 交 CD的延长线于 F,CH 丄 AB 于 H,交 AE 于 G,求证:BD=CG.

36、例 3 .如图,A、F、C、D 四点在同一直线上,AF=CD , AB/ DE，且 AB=DE.D-35 - / 53例 5.如图.已知 AB=DC, / A=ZD,求证：/ ABC2DCB.课后练习:1 如图，在 ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD , DE 丄 AB、DF 丄2、已知：如图 12，AB = CD，DE 丄 AC，BF 丄 AC，E，F 是垂足，DE=BF。 求证：（1） AB/ CD （ 2） AE=CF。（7 分）AC，垂足为 E、F,求证：EB=FCCC-36 - / 53第七讲角的平分线的性质3、如图，已知： ABC 中，AB=AC，/ BAC=90 ，

37、分别过 B, C 向经过点 A的直线 EF 作垂线，垂足为 E, F。（1） 证明：EF 与斜边 BC 不相交时，则有 EF=BE+CF （如图 1）。（2） 如图 2，EF 与斜边 BC 相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请 给出证明。（8 分）AOB（一）知识要点1 角的平分线的性质及其推导 角的平分线上的点到角的两边距离相等。已知 0C 是/ AOB 的角平分线，点 P 是 0C 上一点，PD 丄 OA 于点 D, PE 丄 OB 于E,如右图所示， 贝 U PD=PE。角的平分线的性质的推导：已知，如上右图， 0C 是/ AOB 的角平分线，点 P 是 0C 上一点，PD 丄 0

38、A 于点D, PE 丄 0B 于 E,求证：PD=PE。证明： PD 丄 0A , PE 丄 0B （已知） / 0DP= / 0EP=9O（垂直的定义） 又 0C平分/ A0B （已知） / A0C= / B0C （角的平分线定义） 在 Rt D0P 和 Rt E0P 中A0C二B0C奁0DP =N0EP0P =0P Rt D0P 也 Rt E0P (AAS ) PD=PE （全等三角形的对应边相等）知识延伸：角平分线的性质可直接推导与角的平分线有关的两条线段相等，但在推 导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系 时，可直接得到垂线段相等，不必再证两个三角形

39、全等而走弯路。2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。如右图，点 P 在/ A0B 内部的一条射线 0C 上，并且 PD 丄 0A 于点 D , PE 丄 0B 于 E, PD=PE，则射线 0C 是/ A0B 的平分线。规律方法小结：（1 ）角平分线的性质及其逆用的关性质-性质的逆用点到角的两边距离相等（2）对于角的平分线的性质及其逆用，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“性质的逆用”恰好是条件和结论的交换，在应用时不要混淆，性质是证两 条线段相等的依据，性质的逆用是证两角相等的依据。角的平分线的判定的推导：已知：如右上图，点 P

40、在/ A0B 内部的一条射线 0C 上，并且 PD 丄 0A 于点 D,-29 - / 53系：点在角的平分线上-38 - / 53PE 丄 OB 于 E, PD=PE。求证：射线 OC 是/ AOB 的平分线。证明： PD 丄 OA , PE 丄 OB （已知）/ ODP= / OEP=900（垂直的定义）在 Rt DOP 和 Rt EOP 中,OP=OPPD =PE Rt DOP 也 Rt EOP ( HL )/ DOP= / EOP (全等三角形的对应角相等) 即射线 OC 平分/ AOB知识延伸： 逆用角平分线的性质可帮助我们证明角相等，使证明过程简化，需要注到角相等，而不必再去证明三

41、角形全等了。（二）典型例题例 1 :在厶 ABC 中，/ C=90, AD 是/ BAC 的平分线，若DC=6，贝 U D 点到 AB 的距离是_。例 2 :如图，已知OE 平分/ AOB ,BC 丄 OA , AD 丄 OB。求证：EA=EB例 3.如图，在 ABC 中，/ A=90oBC=10cm 求厶 EDC 的周长.AC=AB BD 是/ ABC 的平分线，DEI BC 于点 E,已知意的是：在推导过程中应注意垂直关系的书写，指明垂直线段，并由垂线段相等直接得-39 - / 53例 4 :如图，已知 CD 丄 AB 于 D, BE 丄 AC 于 E, CD , BE 相交于点 O, 0

42、B=0C。规律方法：数形结合思想，是将“数”与“形”结合在一起探索研究，进一步解决冋题的一种思想方法。例 5:如图所示，已知 0D平分/A0B，在0A,且 PM丄BD ,PN 丄AD。求证：PM=PN规律方法： 运用脚平分线的性质解题时，应注意两点:1 ）应注意交代清楚角平分线及角平分线上的点到角两边的距离这两个方面，既不允许心里想到而不书写其过程,更不允许在条件不具备时而得到线段相等的结论；（2）运用角平分线时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段相等，以免走回头路。例 6 :如图，AD 是厶 ABC 中/ BAC 的平分线， DE , DF 分别是 ABD 和厶 ACD 的 高，

43、那么EF 与 AD 有何特殊的位置关系？试证明你的结论。-40 - / 53例 7:如图， 在四边形 ABCD 中, 求证：/ A+ / C=180。解题策略：解与角平分线的性质和识别方法的综合题时，应注意分析题目特点，通过适 当添加辅助线，挖掘其中隐含的条件，获得问题的答案。解题方法及技巧小结：在运用角平分线的性质时若缺少垂直条件可适当作出垂线段。(三)练习1.如图，在 ABC 中，已知/ C=90o AD 平分/ CAB BC= 8cm, BD= 5cm,那么点 D 到 直线 AB的距离是 cm2._ 如图， 已知/ BAC 与/ ACD 的平分线交于点 D.OELAC 于点 E,且 OE

44、=2cm,则点 D 到 AB, CD 的距离之和是.3.如图，已知点 C 是/ AOB 平分线上的一点，点P, P分别在 OA OB 上，若要得到OP= OP，需要添加以下条件 (1) / OCP=/ OCP ; (2) / OPC2OP Co(3)PC=P G (4)PP 丄 OC中的某一个即可，请你写出所有可能的结果序号：.4.如图，已知点 P 到 BE, BD. AC 的距离都相等，则点P 的位置：(1)在/ B 的平分线上；(2)在/ DAC 的平分线上；(3)在/ ECA 的平分线上；(4)恰是/ B,ZDAC / ECA 三BCBA , AD=DC , BD 平分/ ABC。-41

45、 - / 53条角平分线的交点，则上述结论中，正确的有 _ 个.-42 - / 535.如图，点 P 是/ BAC 的平分线 AD 上的一点，PELAC于点 E,已知 PE =3，则点 P 到AB 的距离是()A . 3 B . 4 C . 5 D . 66 .如图所示，点 P 是/ BAC 的平分线上一点.PMLAB 于 M PNLAC 于 N,则下列结论(1)PM=PN。(2)AM -AN =0 . (3) APM 和厶 APN 的面积相等；确的个数有()C.3 个 D . 4 个7如图所示， ABC 中，AB =AC, AD 平分/ BAC DE 四个结论(1)BD= CD 且 AD =

46、BG (2)/ BDEW CDF。(3) AD 上任意一点到线段 BC 两端点距离相等；(4)AD 上任意一点到 AB, AC 的距离相等.其中正确的有A . 0 个 B . 1 个 C . 2 个 D . 3 个& 如图，AB= AD, / ABC= ADC= 90o 则AC 平分/ BADCA 平分/ BCDAC 平分BD,BD 平分/ ADC 中，正确的结论有()A . B .C . D .只有9.如图， ABC 中，AB =AC, M 为 BC 的中点，MDL AB 于 D, MEL AC 于 E 求证：MD= ME./ PAN+ / APM =90o 中，正丄 AB 于 E，

47、DF 丄 AC 于 F,则下列-43 - / 53BM-44 - / 53第八讲全等三角形复习测试卷一、填空题.(30 分)1 下列条件能确定 ABC 的形状和大小的是()A.AB =4,BC =5,/ C= 60o B.AB =6,/ C= 60o, / B =70o。C. / C =60o, / B =70o, / A =50o D.AB =4,BC =5,AC =102 .(无锡)如图， OAB 绕点 O 逆时针旋转 80o 得到AOCD 已知/ AOB =45q 则/ AOD=()A . 55o B . 45o C . 40o D . 35oD3.如图，AD 是厶 ABC 的中线，E,

48、 F 分别是 AD 和 AD 延长线上的点，且 DE= DF.连接BF, CE 下列说法 CE=BF; (2) ABD 和厶 ACD 的面积相等；(3)BF / CE(4) BD 磴 CDE 中正确的有()A.l 个 B.2 个 C.3 个 D . 4 个4.现有长为 3cm,4cm, 6cm, 8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和 4cm 的木条各一根，要使两人所取的三根木条能组成三角形且组成的两个三角形全等，则他俩取 的第三根木条应为()A .一个人取 6cm 的木条，一个人取 8cm 的木条 B .两人都取 6cm 的木条C .两人都取 8cm 的木条 D.B 、C 两种取

49、法都可以5 .如图，已知/ 1= / 2, AC =AD,有下列条件：AB =AEBC= ED/C=ZD :/ B=ZE，添加其中一个能使 ARC2AAED 的条件有()A.4 个 B . 3 个 C . 2 个 D . 1 个-45 - / 536.如图，AB =AC, BE丄 AC于点 E, CF丄 AB于点 F, BE, CF交于点 D,则(1) AB參 ACF (2) BDFACDE (3)点 D 在/ BAC 的角平分线上.其中正确的结论有()7下列条件不一定能使两个三角形全等的是（）A .两边一角对应相等B .两角及其中一角的对边对应相等C .三边对应相等 D .两边及其夹角对应相

50、等&如图， ABC 中 BC 边上的高为 h1, DEF 中 DE 边上的高为 h2，下列结论正确的是（）A.h2B. /tj h2C = /tjD无法确定9.如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 CD BC 边上，且 BF= CE,连接 BE AF 相交 于 G,则下列结论错误的是（）A.BE =AF B. ZDAF=/BEC C./AFB+ZBEC =90o D.AG 丄 BE10.如图，D 为 BC 的中点，DEIDF, E, F 分别在 AB AC 边上，贝 U BE+ CF（）A.大于 EF B .小于 EF C .等于 EF D .与 EF 的大小无法比较二、填空

51、题.（每小题 3 分，共 24 分）11.如图，已知点 D 为线段 AC BD, EF 的中点，图中有对全等三角形.A.(1)B.(2)C.(1)与D.(1) (2)(3)-46 - / 5312.已知在 ABC 和厶AB C中，AB =A B,ZA=ZA,要使 ABCAABC,还需添加一个条件，这个条件可以是 _。-47 - / 5313.如图，BD 是/ ABC 的平分线，DELAB于点 E, SBC=36cm2, AB=18cm BC=12cm,14.如图所示，在三角形纸片ABC 中，AB= 10cm, BC =7cm, AC=6cm,若沿过点 B 的直线折叠这个三角形纸片，使顶点C 落

52、在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD,则 AED 的周长为_ cm.15.如图，AD A D分别是锐角 ABC 和厶 A B C中的边 BC, B C上的高，且 AB =A B, AD=A D，若要使厶 ABC 姿厶AB C,还需添加条件16.如图所示，BF, CF 是厶 ABC的两个外角的平分线，交点为F,若/ A =50o，则/ BFC的度数是17 .如图所示是一个平分角的仪器，其中AB= AD, BC= CD 将点 A 放在/ MPN 的顶点 P处，调整仪器，使 AB, AD 分别与 PM PN 重合，这时，沿 AC 作射线 PE 贝 U PE 即为/ MPN 勺角平分线，其依据是.

53、18.如图， ABC 的两边 AB =5. AC =3,则第三边 BC 上的中线 m 的取值范围是则 DE=E1-48 - / 53A-49 - / 53三、解答题（共66 分）19.如图，点 D, E 分别在 OC OB 上，BD, CE 交于点 A,/ B= / C, AB =AC.求证: BOD COE20. 如图，AC 交 BD 于点 D,请你从（1）0A =0C。（2）OB=ODb （3）AB / CD 中选出两个作为条 件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明.21.如图，点 B,E,C,F 在同一直线上，AB/DE且 AB=DE,/ A=/D,BF =10cm.BE=2cm

54、,求 EC 的长.B E C F22.请先阅读下面的题目与证明，然后回答问题，如图，在 ABC 中，/ ABC= / ACB D, E 分别是 AB AC 上两点，且 BD= CE, BE, CD 相交于点 D.求证 BOD2 COE.证明：在厶 DBCD ECB 中BD= CE,/ ABC= / ACB,BC= CBDBCA ECB ( SAS)-50 - / 53DBC-A BOC= ECB - BOC.即厶 BODA COE.-51 - / 53上述证明是否有错误，若没有错误，请在右边空白处写上“正确”二字；若有错误，请 指出从哪一步开始出现错误，并从这步开始，在下边空白处写上正确的证明

55、.23.如图， 在四边形 ABCD 中， AD/ BQ EA 丄 AD, M 是 AE 上的一点， / BAE= / MCE / MBE=45o.24.如图，点 B ,F,C,E 在同一直线上， AC,DF相交于点 GAB 丄 BE,垂足为B,DE丄 BE,垂足为 E,且 AB= DE. BF= CE.求证： ABCADEFGF= GC.25.个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图是由它抽象出的几何 图形，母)(2)求证：BE= ME.求 MC 的长.B , C, E 在同一条直线上，连结 DC CE.请找出图中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字证明：DC! B

56、E-52 - / 5326.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在厶 ABC中，AB =AC, P 是 AABC 内任意一点，将 AP 绕点 A 顺时针旋转至 AQ 使/ QAP/ =BAC连结 BQ CP 求证 BQ=CP小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图 得BQ= CP 之后，他将点 P 移到等腰三角形 CP依然成立，请你就图（2）给出证明.的分析，证明了厶 ABQ2AACP 从而证ABC 之外，原题中其他条件不变，发现“ BQ=-53 - / 53第九讲轴对称（一） 知识要点1、轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合

57、，这个 图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直 线（或轴）对称。如下左图， ABC 是轴对称图形。轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫 做对称点。如上右图， ABC 与厶 ABC关于直线 I 对称，I 叫做对称轴，A 和 A, B 和 B C 和 C是对称点。规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关 系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么 它就是一个轴对称图形。2、线段的垂直

58、平分线线段垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线 段的垂直平分线（也称为线段的中垂线）。如下左图，直线 I 经过线段 AB 的中点 0,并且垂直于线段 AB，则直线 I 就是线段 AB 的垂直平分线。IPA0BA1线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如上右图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的点，贝 U PA=PB。线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上。-54 - / 533、 轴对称和轴对称图形的性质两个图形成轴对称（或轴对称图形），则对应线段（对折后重合的线段）相等，对 应角（

59、对折后重合的角）相等。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。判断：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图 形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？4、 成轴对称的两个图形的对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因 此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个 图形的对称轴。（二） 典型例题例 1:如图，已知 ABC 和直线 MN，求作 ABC使厶 ACHAABC 关于直线 MN 对称。例 2

60、:如图，有一块三角形的土地，AB=AC=10m，作 AB 的垂直平分线 ED 交 AC 于D，交 AB 于 E,量得 BDC 的周长为 17,请你替测量人员计算 BC 的长。MCN-55 - / 53例 3:数的运算中会有一些有趣的对称形式，按照等式（否成立。(1)12 231 =132 21;(2)12汉462 =X(3)18汉891 =X;(4)24x231 =X。例 4:画出右图正方形 ABCD 的对称轴。（三）中考链接例 5:（ 08 武汉）如图，六边形 ABCDEF 是轴 对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若/AFC+ / BCF=150，则/ AFE+ / BCD 的大小是（）0 0 0 0A、150B、300 C、210 D、330解题方