方阵问题考试试题

1、方阵问题夯实基础1 ? 在一个正方形花坛的四周栽树，要求 4 个顶点各栽 1 棵，每边只栽 10 棵，共 栽 了（ ）棵树 .A. 36 B. 32 C. 48 D. 40【答案】 A【解析】试题分析：此题可以看做是空心方阵问题，四周点数二每边点数X4-4, 由此即 可解答.解： 10X4-4=36 （棵）， 答：一共栽了 36 棵树.故选： A.2?队学生围成一个正方形，每边站了 12 人（四个顶点都有人），共有（ ） 名学生 .A. 44 B. 48 C. 52 D. 40【答案】 A【解析】试题分析：因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数二每边 人 数 X4-4, 由此即

2、可解答 .解： 12X4-4,=48 - 4,=44 （人） ,答：共有 44 人.故选： A.3. 个正方形平顶天花板上每边耍装 20 盏彩灯，一共需要（）盏彩灯 .A. 40 B. 76 C. 44 D. 50 【答案】 B【解析】试题分析： 这个问题可以看做是空心方阵问题： 根据四周点数之和二每边点数 X4 ? 4 即可计算所需要的彩灯盏数 .解： 20X4 - 4=76 （盏） ,答：一共需要 76 盏灯 .故选： B.4?王大伯在正方形鱼塘的四周栽树，每边栽 5 棵，王大伯最少能栽 棵，最多能栽 棵 .【答案】 16, 20.【解析】 试题分析：要使植树的棵数最少，那么四个顶点都栽树

3、，则植树棵数二每边植树 棵 数 X4-4 ；要使植树的棵数最多， 那么四个顶点都不栽， 则栽树棵数二每边栽 树棵数 X4, 据此讣算即可解答 .解：植树的棵数最少是：5X4 - 4=20 ? 4=16 （棵）植树的棵数最多是：5X4=20 （棵）答：王大伯最少能栽 16 棵，最多能栽 20 棵 . 故答案为 : 16, 20.5. 在一个正方形操场的四周插上红旗， 4 个角上也插上红旗，如果每条边上插 15 而，那么四周一共插了 而红旗 .【答案】 56【解析】试题分析：每一边上都插了 15 面红旗，那么 15X4=60 （面），其中四个角的红 旗 重复加了一次，所以要减去，即可得出红旗的总面

4、数 .解： 15X4-4,=60 - 4,=56 （面） ,答：四周一共插了 56 面红旗 . 故答案为： 56.6. 36 个同学围成一个正方形，相邻两人之间的距离相等 . 每条边上站了 人.【答案】 10【解析】试题分析：因为围成一个封闭图形，所以间隔数等于总人数 36 个，因为是正方 形， 所以每边上有 364-4=9 个间隔，则每边上的人数等于间隔数加 1 即可解答 . 解： 364-4+1,二 9+1,=10 （个） ?答：每边上站了 10 人. 故答案为： 10.7. 一个正方形游泳池的四周要安装护栏，每边安装 10 根，每个顶点都要安装 共要安装多少根？【答案】 36 根解析】试

5、题分析：每个边上安装 10 根，一共是 4 个边，所以是 10X4 根，但是四个顶 点的 被计算了 2 次，所以再减去 4 就是一共要安装的根数 解： 10X4-4 =40-4=36 （根）答：一共要安装 36 根8. 在一块正方形场地四周种树，每边都种 25 棵，并但四个顶点都种有 1 棵树 , 问这 个场地四周共种树多少棵？【答案】 96 棵【解析】试题分析：根据题意，在一块正方形场地四周种树，每边都种25 棵，可知一共 是25X4 二 100 （棵），因为四个顶点都种有一棵树，顶点上的树，它是两条边的 交 点，在数树时，每个顶点上的树都重复数了一次，因此要减去4 就是所求的结 果.解：

6、25X4=100 （棵） ,因每个顶点上的树数重复了， 所以这个场地四周共种树是 : 100-4=96 （棵） ? 答：一共栽了 96 棵树 .9. 四年级 1 班 49 人排成一个方队 . 这个方队最外围一共有多少人？ 【答案】 24 人【解析】试题分析：先根据方阵总人数二每边人数 X 每边人数 , 求岀这个方阵的每边人数 , 再 利用方阵最外层四周人数二每边人数 X4 - 4 计算出最外层四周人数即可 .解：因为 7X7=49, 所以 49 人组成的方阵的每边人数是 7 人，7X4 - 4=28-4 =24 （人） ； 答：这个方队的最外围一共有 24 人.10?四年级同学参加广播操比赛，

7、要排列成每行 8人，共 8 行方阵。排列这个方 共需要多少名同学？【答案】 64 名阵少名【解析】 试题分析：这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方 中布点的总数。排列成每行 8人点，共 8行，就是有 8个 8点。求方阵里有多 同学，就是求 8个 8人是多少人？解： 8X8=64 （人） 答：排列这个方阵，共需要 64 名同学。11 ?同学们排成一个方阵做早操，每行 9人，这个方阵一共有多少人？【答案】 81 人【解析】试题分析：这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少人，就是求实心方阵中 点的总数。解： 9X9=81 （人）答：这个方阵一共有 81 人。12?棋子若干粒

8、，恰好可排成每边 8 粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外 有多少粒？【答案】棋子共有 64粒，最外层有 28 粒【解析】试题分析 : 棋子排成每边 8 粒的正方形，即每排八粒，共八排，可见棋子总数是 8 个 8 粒，即 8X8 二 64 粒, 最外层的棋子数可按公式 : 一周总点数二每边 粒数 X 4-4 求得 .解:8 X 8=64 （粒）8 X 4-4=32-4=28 （粒）答: 棋子共有 64 粒，最外层有 28 粒.拓展提高1? 有杨树和柳树以隔株相间的种法， 种成 7 行 7 列的方阵， 问这个方阵最外一层 有 杨树和柳树各多少棵 ?方阵中共有杨树，柳树各多少棵？【答案】在两种方

9、法中，方阵最外层都有杨树 12 棵，柳树 12 棵，方阵中总共有 杨 树 25 棵，柳树 24 棵，或者有杨树 24 棵，柳树 25 棵【解析】 试题分析：根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示 杨树，白 点表示柳树观察图 （1）（ 2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树 种在方 阵最外层的角上，方阵屮除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因 而杨 树和柳树的棵数相等。即最外层杨、柳树分别为 . （7-1） X4 宁 2 二 12 （棵）。otoeoeooeoeoeo?oeoeoe?oeoeoooeoeoeooeoAoeooeoeoAooeoeoeo?oeoeoo?oeo

10、eoooeoeoAoa (1)当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树 ; 当杨树种在方阵最外层 的 角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差 1 棵。解: （1）最外层杨柳树的棵数分别为 : （7-1） X4F2 二 12 （棵） （2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多 1 棵：杨树： （7X7+1 ） 4-2=25 （棵） 柳树 : 7X7-25=24 （棵）（ 3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多 1 树柳树（ 7X7+1 ） 4-2=25 （棵）杨树 7X7-25=24 （棵）答：在两种方法中，方阵最外层都有杨树 12 棵，柳树 12 棵，方阵中总共有

11、杨 树 25 棵，柳树 24 棵，或者有杨树 24 棵，柳树 25 棵。2. 四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为 20 人， 请 问：方阵最外层每边的人数是多少 ?这个方阵共有多少人？【答案】方阵最外层每边的人数是 6 人，整个方阵共有 36 人【解析】 试题分析：根据四周人数与每边人数的关系可知： 每边人数二四周人数十 4+1,可以求岀这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。解：（ 1）方阵最外层每边的人数： 204-4+1=5+1=6 （人）（2）整个方阵共有学生人数： 6X6=36 （人）3. 小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子 1

12、00 枚，最外边的一层共多少枚棋 子？【答案】 10 枚【解析】解：这要用到方阵的公式逆运算， 100 必然是一个数的平方数。因为 10X10=100 （枚），并且是实心的方阵，所以最外层有 10 枚。4. 学校学牛排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学牛多少人 ? 【答案】 256 人解析】解：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可知 : 每 边人数二四周人数十 4+1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的 总人 数就可以求了。方阵最外层每边人数： 604-4+1=16（人）整个方阵共有学生人数： 16X16=256（ 人）。5. 有若

13、干盆鲜花摆成一个中空方阵， 最外层共摆 48盆，最内层共摆 24盆，请问： 共 摆了多少盆鲜花？【答案】 144 盆【解析】解：由于方阵屮相邻两个正方形每边相差 8,因此第二层应摆鲜花 48-8 = 40盆， 第三 层有花 40-8 = 32 盆，第四层有花 32-8 = 24 盆。这样通过枚举方法求出一 共有四层 花，及中间两层花的总数。因此一共摆了 48+40 + 32+24=144盆。答：一共摆了 144 盆。6. 运动员入场式要求排成一个 9行 9列的正方形方阵，如果去掉 2 行 2 列，要减 少 多少运动员？【答案】 32 人【解析】解：9X9 = 81 （人）（9-2） X （9-

14、2） =49 （人）81-49=32 （人）答：要减少 32 名运动员。7?在一个正方形的每条边上放 8 枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆 多少 枚？（用O表示棋子）【答案】oo ooo ° oo ooo Oo O OOOOOpto aoo oo o【解析】试题分析：四个角都不放吋，需要的花盆数最多，利用每边盆数X4计算即可;四个角都放时，需要的花盆数最少，根据每边盆数X4-4即可解答;解：如图:o ° °°° °° °<>oo oo o ° oo ooo °'o o

15、 °7°°P°P so8X4=32 （枚）8X4 - 4=28 (枚)，答：最多需要32枚，最少需要28枚.8.个实心方阵，最外层共有44人.请问：(1) 这个方阵共有多少人？(2) 要让这个方阵减少一半，一共减少了多少人【答案】(1) 144人；(2)减少了 108人.解析】 试题分析：（ 1）因为方阵的四个角上都是重复的， 方阵的四个角上都是重复了一 次， 所以计算时要减去， 算每边人数时，先用总数加上 4,所以每边上有（44+4） 4-4=12 人； （2）减少一半就是由原来的 12 行 12 列，减少到 6 行 6 列，6 行 6 列就是 6X6

16、 二36 人，进而算出减少的即可 .解：（ 1） （ 44+4） 4-4=12 （人）12X12=144 （人） 答：这个方阵共有 144 人 .（ 2）减少一半就是 6 行 6 列，144 ? 6X6二 144 - 36二 108 （人） 答：一共减少了 108 人.9?有 100 个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？【答案】 方阵的最外层共 36 人，从外向里算起的第二层有 28 人，从里向外算起 的 第三层有 20 人【解析】试题分析：（1）由题意，100个人站成一个实心方阵，10X10=100,所以最外层 每

17、 边有 10 人，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数二（每边的人数-1 ） X4”解答；（ 2） 由于方阵相邻两层每边相差 2 人，相邻两层人数相差 8 人，所以用最外层 的 人数减去 8 即得从外向里算起的第二层有多少人；（ 3） 这个实心方阵的最里层有 4 人，用 4+8+8 即得从里向外算起的第三层有多 少 人.解：（ 1 ）最外层：（ 10- 1 ） X4 二 36 （人），（ 2）从外向里算起的第二层：36 - 8=28 （人），(3) 从里向外算起的第三层： 4+8+8 二 20 (人)， 答：这个方阵的最外层共 36 人，从外向里算起的第二层有 28 人，从里向外算起 的

18、第三层有 20 人.10.解放军进行排队表演，组成一个外层有 48 人，内层有 16 人的多层中空方阵 , 这 个方阵有几层？ 一共有多少人？【答案】 5 层，160 人【解析】解： (48-16) 8+1=5 (层)(48+16) X5 2 = 160 (人) 答：这个方阵有 5层，一共有 160 人。11.解放军战士排成一个每边 12 人的中空方阵，共四层，求总人数？ 【答案】 128 A【解析】解法 1： 这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。(1) 中实方阵总人数 : 12X12=144 (人) (2)第四层每边人数 : 12-2X (4-1) =6 (人)(

19、3) 空心方阵人数： (6-2) X (6-2) =16( 人) (4)中空方阵人数 : 144-16=128 (人)小结：中空方阵总人数二外边人数 X外边人数-(内边人数-2) X (内边人数-2)解法2: 这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。(1) 每个长方形的长二外边人数 - 层数，12-4二 8 ( 人) ；(2)每个长方形的宽是 层数： 4人；(3)总人数： 8X4X4=128 ( 人)12?队学牛站成 20行 20列方阵，如果去掉 4行 4列，那么要减少多少人 ? 【答案】 144 人解析】解：我们还可以这样想：原来是一个 7 行 7 列的方阵，若去掉 4 行 4 列后，仍剩

20、下 一个小正方形方阵， 因此去掉 4 行 4 列的总人数 =原正方形方阵每边人数一 4, 即去掉 的总人数 =20X20- （20-4） X （20-4）= 400-256=144 （ 人 ）13?同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6 人，这个方阵共有多 少人？【答案】 84 人【解析】 试题分析要求出这个方阵有多少人，就要先求出这个方阵最外层每边多少。已 知最 内层每边有 6 人，又知道这个空心方阵有 3 层，根据方阵问题应用题特点 , 可以求 岀这个方阵最外层每边有 6+（3-1） X2 人，即 10 人。又根据方阵问题应 用题数量关 系：空心阵总人数二 （ 外边人数 - 层数

21、 ）X 层数 X4, 即可求出这个方 阵共有多少人。 解： 6+ （3-1） X2-3 X3X4=84 （ 人 ） 答：这个方阵共有 84 人。巅峰突破1.参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列， 则要减少 33 人。问参加团体操表演的运动员有多 少人？【答案】 289 人【解析】 试题分析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形 的 每行、每列人数相等；最外层每边人数是 5,去一行、一列则一共要去 9 人, 因而我 们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数 =去掉的每边人数 X2-E 解：方阵问 题的核心是求最外层

22、每边人数。 原题中去掉一行、 一列的人数是 33, 则去掉的一行（或 一列）人数 =（ 33+1） 一 2=17 人，方阵的总人数为最外层每 边人数的平方，所以 总人数为 17X 17 = 289 （人）。2?军训的学生进行队列表演，排成了一个 7行7列的正方形队列，如果去掉一行 列，要去掉多少人？还剩下多少人？【答案】要去掉13人；还剩下36人【解析】方法一：去掉的一行一列的人数为：7X2-1 = 13 （人）剩下的人数为：7X7-13 = 36 （人）方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，EP 6X6 = 36 （人）去掉的人数为：7X7-6X6=13（人）3. 设计一个团体操表演队

23、，想排成 6层的中空方阵，已知参加表演的有 360人，问 最外层每边应安排多少人？【答案】21 A【解析】试题分析：可利用公式：“中空方阵最外层每边人数二总人数宁4宁层数+层数”求得。解: 360 4 6+6=90 6+6 =15+6二 21 （人）答：最外层每边应安排21人。4. 用棋子摆成方阵，恰为每边 24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的 最 外层每边应放多少粒？【答案】 51 粒【解析】解: 24X24=576 （粒）5764-44-3+3二 48+3二 51（粒）答: 最外层每边棋子数为 51 粒。5. 有一队学生排成一个空心方阵，最外层60 人，最内层 28 人，求总人数

24、?【答案】 220 人【解析】解：604-4+1=16 （人）最外每边人数16X 16=256 （人）实心方阵总人数284-4+仁8 （人）最里层每边人数（&2） X （&2） 二 36 （人）最里实心方阵256-36 = 220 （人）总人数6. 仪仗队原计划 64 名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵 , 后 来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？【答案】 44 人【解析】解： （64+8） 4-2=36 （人）36+8=44（人） 增加人数或 644-44-2+2=10 （人）仃 0+2） X4-4=44 （人）7. 明明用围棋子

25、摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15 个，明明 摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子 ?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋 子？答案】这个方阵最里层一周有 40 个棋子；摆这个屮空方阵共用 144 个棋子【解析】试题分析： （ 1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个，知道最外面一层， 每 边放 15 个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总 数。（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以 4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个。解：（ 1）最里层一周棋子的个数是：（ 15-2-2-1） X4=40 （个） （ 2）这个空心方阵共

26、用的棋子数是：（ 15-3） X3X4=144 （个） 答：这个方阵最里层一周有 4.0 个棋子 ; 摆这个中空方阵共用 144 个棋子。& 一堆棋子，排成正方形，多余 4 只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层， 则 缺少 9 只棋子，问有棋子多少只？【答案】 40 只【解析】试题分析：先由多余和不够的棋子数求出纵横方向都增加一层的棋子数，再求正 方 形每边的棋子数。解：纵横方向各增加一层，所差棋子只数是： 4 + 9 二 13（只） 若棋子增加 9 只后，则正方形每边棋子只数是：（ 13+1）-2=7（只） 原来棋子只数是： 7 X 7-9=40 （只）答：有棋子 40 只。9.

27、同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男 同 学，最外圈两层又是女同学。已知方阵中男同学是108 人，问女同学是多少人？【答案】 148 人【解析】试题分析：我们可以把这个团体分解成三个方阵： 3 层的男生空心方阵，里面的 女 生实心方阵，外面的 2 层女生空心方阵。女同学的人数就是两个女生方阵的人 数之 和。解：先由男生总人数，求出 3 层的男生空心方阵外层一边的人数： 108 一 4*3+3 二 12（人）因为每向里一层 , 每条边上的人数就少 2,所以：（1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3X2=6 （人），总人数为：6X 6=36 （人）；（ 2） 外面 2 层女生空心方阵最外层每边人数为 : 12+2X2 二 16（人），总人数为 :（ 16-2） X2X4=112 （人） ；女同学总人数为： 112+36 二 148（人）。10. 某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15 人，如果在方阵的空心部 分再增加一层乂少 21 人。这个小学四年级的学生一共有多少人？【答案】 239 人【解析】试题分析：排成四层空心方阵多 15 人，在方阵的空心部分增加一层 21 人，说明 增 加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是（15+21 ）人，根据每相邻两层 的人数相差 8 人，可分别求出每层人数，然