随机信号分析第2章随机信号的时域分析

1、随机信号的时域分析随机信号的时域分析 信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的，携带某种信息的物理量。 通常遇到最多的是时间信号，是随时间变化的物理量。 由于我们讨论的是随机的时间信号，其幅度、相位随机变化，无法由确定的时间函数来描述。而随机信号的统计规律则是确定的，因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型随机过程。本章主要内容： v随机过程的基本概念 v随机过程的数字特征 v随机过程的微分和积分计算 v随机过程的相关函数及其性质 第二章 随机信号时域分析v复随机过程和高斯随机过程v随机过程的平稳性和遍历性 本章的重点及其要求：（1 1） 根据随机过程的具体形式，学会它的概率分布及各种

2、根据随机过程的具体形式，学会它的概率分布及各种数字特征；数字特征；（2 2） 已知随机过程的表达式，能熟练地判断该过程是否具已知随机过程的表达式，能熟练地判断该过程是否具有平稳性、遍历性；有图示的函数曲线或者给定的函数表达有平稳性、遍历性；有图示的函数曲线或者给定的函数表达式，判定其是否平稳随机过程的正确的相关函数的曲线或表式，判定其是否平稳随机过程的正确的相关函数的曲线或表达式；达式；（3 3） 对于平稳随机过程，要会计算它的相关系数和相关时对于平稳随机过程，要会计算它的相关系数和相关时间，并对它们要有明确的认识；间，并对它们要有明确的认识； 关于随机过程的概念，在全书中起着承上启下的作用，

3、关于随机过程的概念，在全书中起着承上启下的作用，是后续各章的基础，应予以从分重视。是后续各章的基础，应予以从分重视。 下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。举例： 在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测 到的所有的可能结果有m种，记录下m个不相同的波形。2.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念1km10intttt111( ,)( ,)( )iX tX tx t( ,)( ,)( )kikkX tX tx t( ,)( ,)( )mimmX tX txt( )iX t 以上是所有可能结果的集合，尽管在每次测量以前，不能事先确定哪条波形将会出现，

4、但事先可以确定“总会”在这m个波形中“出现一个”。即：中每一个结果k总有一个波形 与其对应。而对应于所有不同的实验结果 ，得到的一族时间波形 ，而它们的总体 称为“随机过程”。1( ,),( ,),( ,)kmX tX tX t( ,)( )kkX tx t( , )X t 相对所有实验结果而言，这一族时间函数的总体 构成了随机过程，其中 称随机过程的样本函数，而所有样本函数的集合 则构成了随机过程的“样本函数空间”。l1( ),( ),( )kmx tx txt( )kx tl 尽管从总体上看随机过程各次所得的结果可能不尽相同，是随机的。但是就其单次实验结果k而言，它是确定的，是可以用一个确

5、定时间函数 表示的。 因此，如果能观察到随机过程的所有可能结果，每个结果用一个确定函数 表示，则随机过程则可以用所有这些确定函数的总体 或 来描述。( )kx t1( ),( ),( )kmx tx txt( )kx t1( ,),( ,),( ,)kmX tX tX t( , )X t 可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t，)， tT，。对于某个时刻t=ti， X(ti，) 通常称为随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态”。它仅是参变量的函数，对所有实验结果而言，它随机地取X(ti ，1) ， X(ti ，k)， ， X(ti，m) 中的任一个“值” 所以随机过程X(t，)在t=ti时

6、刻的“状态” X(ti，) 是定义在上的一个“随机变量”Xi。 而随机过程X(t，)在t=tj时刻的“状态” X(tj，)是定义在上的另一个“随机变量”Xj 。随着t的变化，得到一个个不同的“状态” X(t1，) ,X(ti，), , X(tn，)是一个个不同的随机变量X1,X2, , Xn。所以又可以将随机过程X(t，)看成一个“随时间变化的随机变量X(t) ”。对于随机过程X(t)而言：固定， t变化 一个确定的时间函数。t 固定， 变化 一个随机变量（状态）。t固定， 固定 一个确定的值。 ， X(t， m)， t变化， 变化 随机过程（一族时间函数的总体， 或随时间变化的随机变量）一般

7、随机变量写成:X,Y,Z。一般随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t)一般样本函数写成: ，脚标k对应中第k个样本。( ),( ),( )kkkx ty tz t各种正弦随机过程 ( )cos()v tAwt( ),( ),( )kkkx ty tz t2.1.2 随机过程的分类随机过程的分类一、按过程的时间和状态是连续?还是离散?来分类。连续型随机过程 X(t, ).的时间和状态均是连续的。时间连续过程的样本函数 在时间上是连续的。状态连续过程在任一时刻的状态Xi取值连续，是连续型随机变量。( )kx t( ),( ),( )kkkx ty tz t离散型随机过程 Y(t,)的时间是连续的

8、，状态是离散的。状态离散过程在任一时刻的状态Yj取离散值，是离散型随机变量。其概率分布如：( ),( ),( )kkkxtytzt连续随机序列 时间离散、状态连续时间离散离散时间用序号n代替t 。过程的样本函数在时间上是离散的，构成样本序列 。状态连续过程的状态Xj仍取连续值，是连续型随机变量。其概率密度如：( )Z n( )kz n( ),( ),( )kkkx ty tz t离散随机序列 时间离散、状态离散时间离散过程在时间上离散的，构成随机序列。状态离散过程的状态Wi取离散值，是离散型随机变量。( )W n二、按随机过程的概率分布或性质来分类二、按随机过程的概率分布或性质来分类1)、高斯

9、过程、泊松过程、维纳过程其每一个状态Xj均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。2)、平稳随机过程过程的一阶，二阶矩不随时间的变化而变化1212( )( )( )( )( )0ininX tX tX tX tX tttttt 随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,tn状态X(t1) ,X(t2) ,X(tn)构成n维随机变量 X(t1),X(t2),X(tn) ，当t0,n 时的 n维随机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。213、随机过程的概率分布例：例：一、随机过程的一维分布随机过程X(t)在任一固定时刻t1T，其状态是一维随机变

10、量，其分布函数 可以反应随机过程X(t)在整个时间段T上的所有一维状态的概率分布情况。所以定义随机过程X(t)的一维分布函数：一维概率密度：也变化。变化，随着，因为换成如果将);(t)();(111txFtTttxtXPtxFXX);(txFXxtxFtxfXX);(),(TtxtXPtxFX.)();(一维分布只能描述随机过程X(t)在任一孤立时刻的统计特性，而不能反应随机过程X(t)的各个状态之间的关系。二、随机过程的二维分布随机过程X(t)在任意两个固定时刻t1T， t2T的状态X(t1) ,X(t2)构成二维随机变量X1，X2，其联合分布函数：随着(t1, t2)的变化， 可以表示随机

11、过程X(t)在整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：随机过程X(t) 二维概率密度：21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXXTttxtXxtXPttxxFX2122112121,.)(;)(),;,(),;,(2121ttxxFXTttxtXxtXPttxxFX2122112121,.)(;)(),;,(三、随机过程X(t) 的n维概率分布 随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,tn状态X(t1)、X(t2)、X(tn)构成n维随机变量 X1,X2,Xn 。用类似上面的方法，我们可以定义随机过程X(t)的

12、n维分布函数为：)(,.,)(,)(),.,;,.,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFn维概率密度为：nnnXnnnXxxtttxxxFtttxxxf.),.,;,.,(),.,;,.,(121212121同多维随机变量一样，随机过程X(t)的n维概率分布具有下列主要性质： 1） 2） 3）0),.,;,.,(1),.,;,.,(0),.,.,;,.,.,(2121212121nnXnXninXtttxxxftttFttttxxxF4）5)6）如果X(t1), X(t2),X(tn)统计独立，则有1.),.,;,.,(212121 nnnXdxdxdxtttxxxf

13、),.,;,.,(.),.,;,.,(2121212121mmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf 12121122( ,.,; , ,.,)( , )( , ).(, )XmmXXXnnfx xx t ttfx t fx tfx t214、随机过程的数字特征、随机过程的数字特征一、数学期望如果将过程X(t)中的 t 看成是固定的，则 X(t)就是一个随机变量，它随机的取值，其在 t 时刻取值的概率密度为 。据期望的定义：( )( , )( )XXE X tx fx t dmt)(0)(tmttXXmx(t) 描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心即X(t)在各个时刻

14、的状态(随机变量)的数学期望。( , )Xfx t1( )Xmt1t( )Ximtit二、随机过程X(t)的均方值和方差同理，把过程X (t)中的t视为固定时， X(t)为时刻t的状态（随机变量）。其二阶原点矩：将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。22( )( , )XE Xtx fx t dx222 ( ) ( )( ) ( )( , )( )XXXXD X tE X tm tx m tfx t dxt同理，过程X(t)的方差：过程X(t)的均方差：)()()(2tttXDXX故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：miiiYyytptyf1)()();()()(iiytYPtp111

15、12221221( )( ) ()( )()( )()( )( )( )( )( ) ( )( )( )mmYiiiiiiimmiiiiiiimYiiimXiYiim typ tyy dyp t yyy dyp t yyy dyy p ttE Yty p ttD Y tym tp t对离散型随机过程Y(t),tT,若所有状态取值的样本空间为y1,y2,ym。可用利函数表示其一维概率密度。即： iI=1,m其中 表示t时刻状态Y(t)取值为yi的概率。均方值为：方差为：三、随机过程的自相关函数下面两个随机过程 X(t)， Y(t) 它们的期望和方差都相同，mx(t)=my(t)，x(t)= y(

16、t)。但从样本函数看有明显不同。(t)随时间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。ttttmttXXX210)()()(ttttmttYYY210)()()(一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数字特征 自相关函数定义为：它反应了任意两个时刻的状态X(t1) 与X(t2)之间的“相关程度”。 状态X(t1) 与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述： 2121212121

17、21),;,()()(),(xdxttxxfxxtXtXEttRXX12112211221212121212121222( ,)( )( ) ( )( )( ) ( )(,; ,)( ,)( ,)( )( )( , )( )( , )( )( )XXXXXXXXXXXXXCt tEX tmtX tmtxmtxmtfx x t tdx xCt tRt tmtmttttRt tE XtCt tD X tt 时，过程的均方值。过程的方差。随机过程的自相关系数定义为：若离散型随机过程Y(t)所有状态可能取值的范围是y，则该过程的自相关函数为：0)(0)(.)()(),(),(21212121ttttt

18、tCttXXXXXX121 2112212( , ) ( ), ( )XyyR t tkk P Y tk Y tkkk注：随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系数等存在的条件是：)()(2tXEtXE例例2.2、设随机过程X(t)=Ut，U在(0,1)上均匀分布，求EX(t)，DX(t)，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。解：10212121212122121212012121212101( )0( ) ( )2( , )( )( )( )3( , )( , )( )( )3UUXUXXufutE X tE U tt E Utufu dutuduRt tE X t X

19、tE U t U tt tE Ut tt tufu dut tu dut ttCt tRt tm tm t ，其它121222 212( )( , )12Xtt ttD X tCt t例例2.3 若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相等，求RX (t1, t2) 。解：由题意可知，随机过程X(t)在 t1, t2 两个时刻为两个离散随机变量。所以可列出联合分布率如下：X(t1) X(t2) Pi1151/42241/43621/44311/4123412( )6543210X tttt121211221212( , )( ),( ),1(1 524623 1)7

20、4iXXiRt tkkP X tk X tkk kkkP 习题：习题： 2-1、 2-2、2-3、2-41( , )( , )2XXj xfx tQu tde0),()()(nXnnntQjtXE( )( , )(; )X tXXjujuxQtEfx t dxee2.1.5 随机过程的特征函数随机过程的特征函数一、一维特征函数将X(t)视为某一固定t时刻的状态, 则随机变量X(t)的特征函数：将 t 看成变量， 就是随机过程X(t)的特征函数。),(tQX特征函数的逆变换：n阶原点矩：二维特征函数随机过程X(t)在任意两个时刻t1,t2的状态 构成二维随机变量 ，它们的联合特征函数为：又称作随

21、机过程X(t)的二维特征函数。1 12 212121122121212(,; ,)exp( )( )( ,; ,)XXju xju xQu u t tEju X tju X tfx x t t dx dxe 二维特征函数 的逆变换：),;,(2121ttuuQX1 12 212121212122()( ,; , )1( ,; , )(2 )XXj u xu xfx x t tQu u t tdu due 12( ),( )X tX t所以，随机过程X(t)的相关函数可以用其二维特征函数来求：21212122121212121212121212121 12 2120()0(,; ,)(,; ,)

22、(,; ,)( ,)XXXXuj u xu xuuuQu u t tu ujx xfx x t tdx dxx xfx x t tdx dxRt te 122121212120(,; ,)( ,)XXuuQu ut tRt tuu 若将上式两边对变量1 ，2 各求一次偏导数，据逆转公式，由过程X(t)的n维特征函数可求得n维概率密度。11111111 1.(,.,; ,.,)exp( ).( ).(,.,; ,.,).XnnnnXnnnn nju xju xQuuttEju X tju X tfxxttdxdxe 111111 1()( ,; , )1( ,; , )(2 )XnnXnnnnn

23、 nju xu xfxx ttQuu ttdudue三. n维特征函数离散型随机过程的特征函数 将t固定，则离散型随机过程X(t)是在t时刻的状态，若X(t)(随机变量)随机的取值i ，i=1,2,，其概率 ，( )( )iip tP X tx则离散型随机过程的一维特征函数定义为1212121212( ; )( )(,; ,)( );( )( ,)iiiijijjijuxQ u teP X txQ u u t tju xju xeP X tx X txt tT 同理，定义两个时刻t1,t2的状态X(t1) ，X(t2)的联合特征函数为离散型随机过程的二维特征函数2.2.1 平稳随机过程平稳随机

24、过程粗略的说粗略的说随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。严平稳随机过程 1. 定义 设有随机过程 X(t) , t T，若对于任意n和任意t1t2 0)以后， x()就很小了，可以近似认为X(t)与X(t+ )不相关。这个可以认为X(t)与X(t+ )不相关的时间间隔“0” 称为“相关时间”。由图可见，由于过程不同，自相关系数 ()也不同，其不相关的时间间隔“0” 也不相同。0图5.16)(X000.0500)(a1)(X0.05通常定义相关时间“0”的方法有两种：1、0()0.05X2、daadXXX00000)(1cos)()()()(1时，定义

25、：当所包围的面积，令矩形面积)()(21XX10,1020,20)(1tx)(2txt快速起伏缓慢变化10相关时间“0”所反映的意义：由图可见，曲线越陡，相关时间“0”越小，意味着过程的任意两个状态X(t),X(t+ ) 不相关所要求的时间差越短。样本变化越剧烈（样本起伏越大）。反之，且反。因此，相关时间0是对过程的任意两个状态X(t),X(t+ ) 随 变成不相关“快、慢”的一种度量。例例2.8 已知平稳过程X(t)的自相关函数 ，求其自相关系数和相关时间。2( )3expXR2222220( )( )( )333( )(0)(0)( )333XXXXXXXCRReeeeCRRee00ln(

26、)()0.05ln(0.05)1.731XX解：解：由相关系数的定义2000( )0.8862Xded由相关时间定义一：由相关时间定义二：一.两个随机过程的联合分布 设有两个随机过程 ,它们的概率密度分别为),(,),(TttYTttX),.,;,.,(2121nnXtttxxxf1212(,.,; , ,.,)Ymmfy yyt tt 1、两个过程的n+m维联合分布函数11111111( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ),.,( ), ( ),., ()XYnmnmnnmmFxxyytt ttP X txX tx Y tyY ty2、两个过程的n+m维联合概率密度11111111

27、11( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ,.,;,.,; ,., , ,.,).XYnmnmn mXYnmnmnmfxxyytt ttFxxyytt ttxxyy 2.3 两个随机过程的联合统计特性两个随机过程的联合统计特性11111111( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ,.,;,.,;,.,.,)XYnmnmXYnmnmfxxyytt ttfxxyytttt tttt3、若X(t)与Y(t)对于任意的 n, m, 都有11111111(,.,;,.,; ,., ,.,)(,.,; ,.,)(,.,; ,.,)XYnmnmXnnYmmFxxyyttttFxxttFyyt

28、t或11111111(,.,;,.,; ,., ,.,)(,.,; ,.,)(,.,; ,.,)XYnmnmXnnYmmfxxyyttttfxxttfyytt则称随机过程X(t)和Y(t)是相互独立的。4、若两个过程的任意n+m维联合分布均不随时间平移 而变化，则称此两过程为联合严平稳或者严平稳相依。t两个随机过程的互相关和正交1、互相关函数 定义两个随机过程X(t)与Y(t)的互相关函数为)(),(21tYtX121212( ,)( ) ( )( , ; ,)XYXYRt tE X t Y tx y fx y t tdxdy 式中 是过程X(t)与Y(t)在两个时刻t1, t2的状态。2、协

29、方差函数 定义过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为 dxdyttyxftmytmxtmtYtmtXEttCXYYXYXXY),;,()()()()()()(),(2121221121式中 分别是随机变量 的数学期望。此式也可写成)(),(21tmtmYX)(),(21tYtX)()(),(),(212121tmtmttRttCYXXYXY121212( ,)0( ,)( )( )XYXYXYCt tRt tmt mt或 ( , )0XYRt t ( , )0XYCt t 121212( , )0( , )( )( )XYXYXYRt tCt tmtm t 或 3、两个过程正交、两个过程正交4

30、、两个过程互不相关、两个过程互不相关若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1，t2 都有则称X(t)和Y(t)两个过程正交。则称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态正交。若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1，t2 都有则称X(t)和Y(t)两个过程互不相关。若仅在同一时刻 t 存在若仅在同一时刻 t 存在则称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态互不相关。 三、两个随机过程联合平稳三、两个随机过程联合平稳1、定义、定义 若X(t) 、Y(t)为两个平稳随机过程，且它们的互相关函数仅是单变量的函数，即则称过程X(t)和Y(t)为“联合宽平稳”， 简称“联合平稳”。2

31、、性质、性质(1)、互相关函数和互协方差函数均不是偶函数122121),()()(),(ttRtYtXEttRXYXY( )()( )()XYYXXYYXRRCC)()()()()()(YXXYRtXtYEtYtXER0)()(XYYXRR(0)(0)XYYXRR(2)、互相关函数和互协方差函数的取值满足：2222( )(0)(0)( )(0)(0)XYXYXYXYXYRRRCCC 221( )(0)(0)211( )(0)(0)22XYXYXYXYXYRRRCCC(3)、 表示两个平稳过程正交。(5)、 表示两个平稳过程互不相关。( )0XYR，(4)、 两个平稳过程所有同一时刻的状态正交。

32、0)0(XYR( )0XYC，(6)、 两个平稳过程所有同一时刻的状态互不相关。(0)0XYC3、两个联合平稳过程的互相关系数YXYXXYYXXYXYmmRC)()()( )1( )0( )( )XYXYX tY t一般 ， 当 时，过程与互不相关。习题习题 2-9、 2-11、2-12、 2-13l2.4 复随机过程复随机过程“实”随机过程可以看成随时间变化的“实”随机变量。“复”随机过程可以看成随时间变化的“复”随机变量。一、复随机变量1、定义：复随机变量 Z=X+jY 由实随机变量X,Y构成。2、复随机变量的数字特征定义的原则：必须满足：在 Y=0 时 Z 的数字特征，就是 X 的数字特

33、征。(1)复随机变量Z的数学期望：YXZmjmYEjXEZEm若设中心化的复随机变量 ：()()()()()ZXYZXYZZmXmj YmXjYZZmXmj YmXjYZll(2)复随机变量Z的方差：22222 ()() () () ZXYXYD ZE ZmE ZZE XmYmE XmE YmD XD Y(3)两个复随机变量Z1=X1+jY1 与 Z2=X2+jY2的协方差：121 212121122121 21 212() ()()()()Z ZZZX XY YX YY XCE ZmZmE ZZE XjYXjYCCj CC(4)两个复随机变量Z1=X1+jY1 与 Z2=X2+jY2相互独立

34、的条件(5)两个复随机变量Z1,Z2的互不相关1 12 21 12 211221122( ,)( ,)(,)X Y X YX YX Yfx y xyfx yfxy121212() ()0Z ZZZCE ZmZml12120Z ZRE ZZ(6)两个复随机变量Z1,Z2的正交l复随机过程复随机过程1、定义复随机过程为： Z(t) = X(t) + jY(t) 式中X(t)和Y(t)都是实随机过程。2、复随机过程Z(t)统计特性可以由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布 完整的描述，其概率密度为1111(,.,;,.,; ,., ,.,)XYnnnnfxxyytttt3、复随机过程Z(t)的数字

35、特征Z(t)的数学期望：)()()()()()(tmjtmtYEjtXEtZEtmYXZZ(t)的方差：2 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )ZD Z tE Z tm tE Z tZ tD X tD Y tllZ(t)的自相关函数：)()(),(tZtZEttRZZ(t)的自协方差函数：)(),(0)()(),(tZDttCtZtZEttCZZ：4、复随机过程Z(t)平稳的条件：(X(t)和Y(t)各自都是平稳过程)ZYXZmmjmtm)()(),(ZZRttR5、两个复随机过程Z1(t)， Z2(t)Z1(t) =X1(t)+jY1(t)， Z2(t)=X2(t)+jY2(t)Z

36、1(t)与Z2(t)的互相关函数：1212( ,)( )()Z ZRt tE ZtZ t()(0, 2)( )jtUZ te为常数(2)Z1(t)与Z2(t)的互协方差函数：(3)两个复随机过程Z1(t)， Z2(t)联合平稳的条件：1212( ,)( )()Z ZCt tE ZtZ tZ1(t)， Z2(t)各自平稳，且：1212( ,)( )Z ZZ ZRt tR例例:设复随机过程设复随机过程(4) 两个复随机过程Z1(t)和 Z2(t)互不相关12( ,)0Z ZCt t(5) 两个复随机过程Z1(t)和 Z2(t)正交12( ,)0Z ZRt t()20( )cos()sin()( )

37、( )( ),( )cos(),( )sin()1( )( )cos()0,( )02jtXYZ tetjtZ tX tjY tX ttY ttmtE X ttdmt解：设1212( )( )( , )( , )( )ZZZZm tD tR t tC t tZ t是否是平稳过程？求：、 122121121221()()()()()()( )( )( )0( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1( ,)( ) ( )( ),( )(ZXYZZZZZZZZjtjtjtjtjttjttjmtmtjmtDtDtEZ tmtZ tmtE Zt Z tERt tE Zt Z tEERttR

38、Cteeeeeee故求 ：121212120,)( ,)( )( )( ,)( )( )0,( )( ) ( )(0)1( )ZZZZZZZZjjjtRt tmt mtRt tCmtRE Zt Z tRZ teee常数仅与有关由于，且，所以复过程平稳。习题：习题： 2-14111112222212333333(1),(2),( )(1),(2),( )(1),(2),( )nnnxxx nxxxxnxxxxXxxxnx：，(,)：2.5.1 随机序列的收敛随机序列的收敛“数列收敛”的概念： 若有数列S1,S2,Sn,对任意小的正实数0，总能找到一个正整数N，使得当nN时，存在 Sn-a N ，

39、则称数列S1,S2,Sn,收敛于常数 a 。用 表示。或用S1,S2,Sn ， 即称：数列Sn的极限为a.aSnnliman一、一、随机序列收敛的几种定义1、随机变量序列“处处收敛” 若随机序列样本空间=1, 2, 3中的“所有” 的样本序列(普通数列)均收敛，()every where2. 5 随机过程的微分和积分随机过程的微分和积分则称：随机序列X(n) “处处收敛”于随机变量X。记作：简写：lim( )iiinx nx，lim( ) ( )nX nXeX nX 在上述“处处收敛”的定义中，中只要有“一个”i对应的样本序列 不收敛，则随机序列X(n)就不是“处处收敛”的。这个条件一般的随机

40、序列都不容易满足。 下面介绍几种常用的“宽松的” 收敛定义。( )ix n2、以概率1收敛（“几乎处处收敛”）almost every where若随机序列X(n)相对试验E的所有可能结果 满足：则称：随机序列X(n) “以概率1收敛”于随机变量X。简记：lim( )1.( )nPX nXaeX nX lim ( )0 ( )nP X nXPX nX 103、依概率收敛(Probability) 若随机序列X(n) 对于任意给定小正数 ，有：则称：随机序列X(n)“依概率收敛”于随机变量X。记：04、依分布收敛(distribution) 设：Fn(x)，n=1,2,是随机序列X(n)的分布函

41、数，F(x)是随机变量X的分布函数。若存在：则称：随机变量序列X(n)“依分布收敛”于X。记： lim( )( )( )nnF xF xdX nX ( )( )( )niF xF xF xx5、均方收敛（平均意义下的收敛）Mean.square 设随机序列X(n)对所有 的n=1,2,二阶矩存在，随机变量X的二阶矩也存在。 若X(n)、X满足：则称：随机序列X(n) “均方收敛”于随机变量X。 记作： 或： 2lim ( )0( )( )nnm sE X nXl i m X nXX nX ，(2) 均方收敛的充要条件（柯西准则） 若随机序列X(n)和随机变量X的二阶矩均存在，则X(n)均方收敛

42、于X的充要条件是：2( )( ) E X nX m2lim( )( ) 0nmE X nX m只需要对随机序列X(n)的一个方差 进行检验，比较方便。因此，在随机过程中运用的是均方收敛。四种收敛模式之间的关系：四种收敛模式之间的关系：eSM PdeaeaSM Pde例例 2.12 已知二维随机变量(X,Y)在平面区域 内服从均匀分布。而随机序列Z(n)定义在平面区域Gn上(见下图)11( , ) |,|1nGx yxynnn：，证明：证明：(1)随机序列Z(n)依概率收敛于0； (2)随机序列Z(n)依分布收敛于0； (3)随机序列Z(n)均方收敛于0；121(, ),( )(, )0(, )

43、,nnX YGnZ ng X YX YG,1111yx( , ) | 1,| 1Gx yxy：11011nnnn012345n( )Z n1122(,) ，2211( )1 ( )0 1P Z nnnP Z nn nGG12：证明证明(1)：因为|( )0 |001|( )0 |1lim|( )0 |li(,m)0(,nnnnX YGXPZ nPPZ nPGnPZPnYn当在整个平面时，上时当有，所以随机序列Z(n)依概率收敛于0。222222( )(1)(2)( )131( )010141111( )14311111( )(1)( )()(1) ( )()442nZ nZZZ iP Z nn

44、iP Z nnniF zU zU zU zU zU ziii 证明证明(2)：由题可知，随机序列Z(n)的分布律和分布函数为验证收敛于0随机序列Z(n)分布函数的极限：0lim( )( )( )nnF zF zU z常数0，可以看成是仅取值0的特殊随机变量Z0，因此F0(z)=U(z)。所以有 上式表明：随机序列Z(n)依分布收敛于0。2222122224lim ( )0 lim ( ) lim ( )1111lim (0)1lim0kkknnnknnE Z nE Z nzPz nznnnn22111lim( )lim (1) ( )()( )nnnF zU zU zU znnn证明证明(3)

45、：由随机序列Z(n)的分布律可得上式表明：随机序列Z(n)均方收敛于0。思考思考：随机序列Z(n)是否以概率1收敛于0？000lim ()( )tx ttx t 0t一、随机过程处处连续对于随机过程X(t)而言，若它的每一个样本函数在 上都连续：0lim()( ),.txttxt t则称：该过程X(t)在 上处处连续。t252 随机过程的连续性随机过程的连续性一般确定函数的连续性：设函数(t)在 的某个邻域内有定义，当自变量的增量t0 时，函数的增量也趋于0，则称：函数(t)在 上连续.0t在微积分中，一个函数要可微，该函数首先必须要连续。即：极限0)()(lim20tXttXEtTttt21

46、二、均方连续1、定义若二阶矩过程在tT上满足则称X(t) 在tT上，“在均方意义下”连续。或称该二阶矩过程X(t)具有“均方连续性”。常表示为或者简称过程m.s连续。)()(0tXttXmiltTt 2、均方连续的准则 ( 过程X(t) 在tT上均方连续的“充要条件” ),(21ttRX 若X(t) 的自相关函数 在tT (t1=t2=t)上连续， 则X(t)便在tT上均方连续。120tTTt充分性：均方极限若 在 t1=t2=t 处一般连续，等式右边有),(21ttRX),(),(),(),()()()()()()()()()()()()()()(2ttRtttRtttRttttRtXtXt

47、XttXttXtXttXttXEtXttXtXttXEtXttXEXXXX证明：证明：展开定义式左侧对上式两边取极限：),(),(),(),(lim)()(lim020ttRtttRtttRttttRtXttXEXXXXtt0),(),(),(),(lim0ttRtttRtttRttttRXXXXt则左边就有0)()(lim20tXttXEt X(t)均方连续.1212(,)( , )()()( )( )XXRtt ttRt tE X tt X ttE X t X t),(21ttRX221/212 ()( ) ()E X ttX tE X tt221/22 ( )()( ) E XtEX t

48、tX t利用许瓦兹不等式必要性：必要性：若X(t) 在tT上均方连续，则 在t1=t2=t上一般连续。证明：证明：对不等式两端取极限：112211220000lim (1)lim lim (2)lim tttt 及2( )()( )E X tX ttX t12()( )()EX ttX t X tt12()( )()EX ttX t X tt2( ) ()( )E X tX ttX t(1)(2)(2 123)121200lim lim(,)( , )0XXttRtt ttRt t 若X(t)在tT上均方连续，20lim()( )0tEX ttX t 则不等式右端1221/2120lim ()

49、( ) ()0tE X ttX tE Xtt 2221/220lim ( )()( ) 0tE XtEX ttX t 122112122000000lim lim()( )()( )()( )lim lim (1)lim lim (2)0ttttttEX ttX tX ttE X tX ttX t 即有112211220000lim (1)lim 0lim (2)lim 0tttt 即121200lim lim(,)( , )XXttRtt ttRt t 则 在t1=t2=t上一般连续。证毕。),(21ttRX则12()( )()EX ttX tX tt 2( )()( )E X tX ttX

50、 t121200lim lim(,)( , )XXttRtt ttRt t 3、推论、推论 (1)若自相关函数 在 (t1=t2=tT)C上的每一点连续，则它在时域(t1,t2) TT上处处连续。证：设(t1,t2) TT时域中任意(t1t2)处，将(t1,t2)分别代 换(2-123)式中的(t，t)。),(21ttRX同理可证：若X(t)是平稳过程，Rx(t,t)=R(0), 则“Rx()在 =0点连续” 是平稳过程X(t)在 tT上均方连续的充要条件。),(),(limlim2122110201ttRttttRXXtt)()()()()()(limlim2221221110201tXtt

51、XtXEttXtXttXEtt(t1t2)12tToCTt221/211122 ()( ) ()E X ttX tE X tt221/21222 ( ) ()( ) E X tE X ttX t11122()( )()EX ttX tX tt11122 ()( ) ()E X ttX tX tt1222( )()( )E X tX ttX t1222( )()( )E X tX ttX t),(),(limlim2122110201ttRttttRXXtt)()()()()()(limlim2221221110201tXttXtXEttXtXttXEtt1020lim (1)0lim (2)0

52、tt 因自相关函数在 (t1=t2=tT) 上的每一点连续，则过程X(t)在 tT上均方连续。有:20lim()( ) 0,iiiitiEX ttX ttT 112210102020lim (1)lim 0lim (2)lim 0tttt 因为),(),(limlim0),(),(limlim21221102012122110201ttRttttRttRttttRXXttXXtt则有则有),(21ttRX即自相关函数 在(t1,t2) TT时域中任意(t1t2) 上也连续，证毕。同理，若平稳过程X(t) 的Rx()在 =0点连续，则Rx()在所有 tT上也连续。故有)()(lim)()(00t

53、XEttXEtXttXmiltt)()()(tXttXtY222( )( ) ( )0YtE Y tE Y t)()(22tYEtYE)()()()(22tXttXEtXttXE1/22()( ) ()( )EX ttX tEX ttX t（2）如果随机过程X(t)是均方(m.s)连续，则它的数学期望也必定连续。即：利用许瓦兹不等式证明：证明：设随机过程因故由于X(t)是均方连续的0)()(lim0tXttXEt所以：0)()(lim20tXttXEt00()( )lim () ( )ttl i mX ttX tE X ttE X t 也可以写成如下的形式：00lim ()( )0lim ()

54、( )ttE X ttE X tE X ttE X t 也就有：所以有：)()(lim00ttXmilEttXEtt一个均方连续的随机过程，一个均方连续的随机过程，“求极限求极限”与与“求期望求期望”可以交换次可以交换次序。序。0( )tl i m 0lim ()t 注： 是一般意义下的极限， 是均方意义下的极限。0lim()( )0tE X ttE X t 2.5.3 随机过程的微分随机过程的微分随机过程的微分（导数） 1. 均方导数的定义设均方连续过程 X(t), tT 和随机过程X(t) ，tT,若在整个T内当 时， 均方收敛于X(t) 即满足：0tttXttX)()(20()( )li

55、m( )0tX ttX tEX tt 0()( )( )tX ttX tl i mX tt 则称过程X(t)在tT上均方( m.s )可导（可微）。而 便称为过程X(t)在tT上的均方导数。( )( )dX tXtdt或者或者均方可微的条件均方可微的条件 在检验过程X(t)是否均方可微时我们遇到了一个问题，在定义式中X(t)是待求的。在X(t)尚未求出时，检验X(t)是否均方可微，我们可以运用一个能避开X(t)的准则Cauchy准则。即，如果X(t)满足：0)()()()(lim222110,21ttXttXttXttXEtt则称X(t) 在均方意义下可微。我们由上式出发，推导出X(t)均方可

56、微的充分条件。上式左端：22211)()()()(ttXttXttXttXE(2 141)对上式两端求极限，可得：),(),(),(),(2),(),(),(),(1),(),(),(),(1212121222222111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX tttttttRttttRttttRttXttXttXttXEXXXtt21212122221211212222110,),(2),(),()()()()(lim21由此可见，随机过程X(t)在tT上，均方可微的充要条件是在一切 (t, t)

57、, tT上 存在。21212( ,)XRt ttt 1221212( ,)XtttRt ttt 如果偏导数 存在，则上式可写成0),(2),(),()()()()(lim21212122221211212222110,21tttttttRttttRttttRttXttXttXttXEXXXtt随机过程导数 的数学期望与相关函数( )X tdttXdEttXEttXEttXttXEttXttXmilEdttdXEtYEttt)()()(lim)()(lim)()()()(0001、 Y(t)的数学期望dttXdEdttdXE)()(设Y(t)为可微过程X(t)的导数ttXttXmildttdXt

58、Yt)()()()(0即导数的期望期望的导数随机过程的导数运算与其数学期望的运算可以交换次序。随机过程的导数运算与其数学期望的运算可以交换次序。12( ,)XRt t121212( , ) ( ) ( )( )( )YR t tE Y t Y tE X t X t2222222121210212212021221202122121202()( )( ,)( ) ( )( )( )()( )( )( )()( )( )lim( ,)( ,)( ,limXXXXYttttX ttX tRt tE X t Y tE X tl i mtX t X ttX t X tE l i mtE X t X tt

59、E X t X ttRt ttRt tRt tt 2)t 2、 Y(t)的自相关函数的自相关函数 根据自相关函数的定义，有而X(t)与Y(t)的互相关函数又因121121211012121102111102121),(),(),(lim)()()()(lim)()()()()(),(111tttRtttRtttRttYtXtYttXEtYttXttXmilEtYtYEttRXYXYXYtttY212121212( ,)( ,)( ,)XYXRt tRt tRt ttt 随机过程导数随机过程导数 的自相关函数，等于随机过程的自相关函数，等于随机过程 自相关函自相关函数的二阶偏导数。数的二阶偏导数

60、。将该式代入上式，得到：22121),(),(tttRttRXXY( )Xt)(tX三、对平稳过程的分析三、对平稳过程的分析X(t)为平稳过程：EX(t) 常数，Rx(t1,t2)=Rx() 或：1)、由导数存在的条件得平稳过程均方可导的条件：处存在。在0)( R ( )( )()( )0dX tdE X tdE XtEdtdtdt常数221212212( ,)( )( ,)XXXRt td RRt tttd 122212212( , )( )(0)0XXXtttRt td RRt td 处连续。在0)(R0)0()0(0)()()()(RRRRRR2)、对于实平稳过程若实平稳过程过程X(t)