必修五25：等比数列的前n项和（课件）冯钢

1、湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 2.5等比数列的前等比数列的前n项和项和湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯冯 钢钢（普通高中课程标准实验教科书人教（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修五）版必修五）湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 复习复习: :等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式性质性质Sndnaan) 1(111nnqaadaann1qaann1dmnaamn)( mnmnqaa*( , , ,)mnrsm n r sNmnrsaaaamnrsa aa a2)(1nnaanS1(1)2nn nSnad？湖北省

2、荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： nnnaaaaaS13211221aaaaaSnnnn+)()()(21121aaaaaaSnnnn2)(1nnaanS等差数列求和方法回顾等差数列求和方法回顾:( :(倒序相加倒序相加) )n个相同的项湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 国王赏麦的故事国王赏麦的故事633222221湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 636264228421S6263646422 4 8222S - - ，得得646420001S中间各中间各数均为数均为0这个数很大，超过了这个数很大，超过了1.

3、841019.估计千粒麦子的质量约为估计千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超过了那么麦粒的总质量超过了7000亿亿吨，因此国王不能实现他的诺言！吨，因此国王不能实现他的诺言！湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 如何求等比数列的如何求等比数列的SnSn: :nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaS23111111nnnqSaqaqaqaqaq ，得nnqaaSq1100)1 (nnqaaSq11)1 (湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： qqaaqqaSnnn11)1 (11:1时q2、使用公式求和时，需

4、注意对、使用公式求和时，需注意对 和和 的情的情况加以讨论；况加以讨论；1q1q) 1(1)1 () 1(11qqqaqnaSnnnnSqaa,11qnSnqa,11. 当当 时，时， ；3、推导公式的方法：、推导公式的方法：错位（项）相减法。错位（项）相减法。注意：注意：湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 等比数列前等比数列前n项和公式的推导欣赏项和公式的推导欣赏当 q q = 1 时 Sn = n a1因为因为所以所以(一一) 用等比性质推导用等比性质推导湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： （二）借助和式的代数特征进行恒等变形（二）借

5、助和式的代数特征进行恒等变形qqaaSnn11当当q=1时时，1naSnnnaaaaS.321).(13211naaaaqa)(1nnaSqa当当q1时时，湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 公式应用：例例1：求等比数列：求等比数列 的前的前8项的和。项的和。,81,41,21解解:由由 ,得得8,212141,211nqa256255211)21(1 218nS湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： .,27243191 aa例例2 已知等比数列已知等比数列 , na求前求前8项的和项的和.解：由于解：由于888911( )3aa qq当当

6、 时，时，13q 881271 ( ) 3280318113S当当 时，时，13q 8164081S 湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 练一练：2 2、求等比数列、求等比数列1 1，2 2，4 4，从第从第5 5项到第项到第1010项的和。项的和。（1 1）a1 1=3=3、q=2=2、n=6 =6 ；1 1、根据下列各题的条件，求相应的等比数列、根据下列各题的条件，求相应的等比数列 an n 的前的前n项和项和Sn n：（2 2）a1 1=8=8、q=0.5=0.5、an n=0.5 =0.5 。6189S 312nS 1041041041 21 2221008

7、1 21 2SS46461(1)2 (1 2 )100811 2a qqq另解：S=湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 数n n已已知知等等比比列列 a中a中, , 14421,216,aaqS 则归纳要熟记公式：归纳要熟记公式：11nnaa q111nnaqSq111nnaa qSqq 1312 ,14.aSq则或或想一想：2或-3-6185知三求二知三求二1nnaqnas、 、 、湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 例例3 3、在、在3 3和和21872187之间插入若干个正数，使它们组成之间插入若干个正数，使它们组成等比数列，且插入

8、的这些正数的和为等比数列，且插入的这些正数的和为10891089。求：插。求：插入的这些正数各是什么？入的这些正数各是什么？解：设等比数列的公比为解：设等比数列的公比为q q，插入，插入n n个数个数则，这些数为：则，这些数为：3 3，3q3q，3q3q2 2，3q3qn n，218721873q3q（1-q1-qn n）1-q1-q=1089=1089又又3q3qn+1n+1=2187=2187 3q-21873q-2187 1-q1-q=1089=1089 q = 3 , n = 5q = 3 , n = 5插入的正数为插入的正数为 9 9，2727，8181，243243，729729。

9、这些正数的和为这些正数的和为10891089。3q-3q3q-3qn+1n+11-q1-q=1089=1089即即湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 探究：求和探究：求和231(0)nx xxxx 2311(1)11(1)1nnnxx xxxxxx 注意分类讨论注意分类讨论湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 课外拓展（分组求和，错位相减）课外拓展（分组求和，错位相减）求和求和:);()2()1).(1(2naaan .321).2(12 nnxxx湖北省荆州中学湖北省荆州中学 冯钢冯钢 制作制作 邮箱：邮箱： 小结：小结：等比数列求和公式：等比数列求和