第十六章　不等式选讲.pptx

1、考点一绝对值不等式的解法以及最值问题考点一绝对值不等式的解法以及最值问题1.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值. A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组五年高考1第一页，编辑于星期日：一点 四分。解析此题考查含绝对值不等式的解法、函数图象解析此题考查含绝对值不等式的解法、函数图象.(1)f(x)=y=f(x)的图象如下图的图象如下图.(2)由由(1)知知,y=f(x)的图象与的图象与y轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为2,且各局部所在直线

2、斜率的最大值为且各局部所在直线斜率的最大值为3,故当且故当且13 ,212,1,23 ,1.x xxxx x 2第二页，编辑于星期日：一点 四分。仅当a3且b2时, f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.易错警示对易错警示对“零点分段法的理解不到位零点分段法的理解不到位.假设不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数假设不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出时的未知数的值求出(即零点即零点),然后将这些零点标在数轴上然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了假设干段此时数轴被零点分

3、成了假设干段(区区间间),在每一段区间里在每一段区间里,每一个绝对值符号内的代数式有一个确定的符号每一个绝对值符号内的代数式有一个确定的符号,此时利用绝对值的定此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号义可以去掉绝对值符号.解后反思绝对值不等式的解法及综合应用的常见类型及解题策略解后反思绝对值不等式的解法及综合应用的常见类型及解题策略:(1)直接求解不等式直接求解不等式,主要利用绝对值不等式、不等式的性质主要利用绝对值不等式、不等式的性质,想方法去掉绝对值符号求解想方法去掉绝对值符号求解.(2)不等式求参数值不等式求参数值,利用绝对值不等式或函数求最值利用绝对值不等式或函数求最值,然后求参数的取值

4、范围然后求参数的取值范围.3第三页，编辑于星期日：一点 四分。2.(2018课标全国课标全国,23,10分分)选修选修45:不等式选讲不等式选讲f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当当a=1时时,求不等式求不等式f(x)1的解集的解集;(2)假设假设x(0,1)时不等式时不等式f(x)x成立成立,求求a的取值范围的取值范围.解析解析(1)当当a=1时时, f(x)=|x+1|-|x-1|,即即f(x)=故不等式故不等式f(x)1的解集为的解集为.(2)当当x(0,1)时时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当成立等价于当x(0,1)时时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为的解集为,所以

5、所以1,故故0a恒成立af(x)min,当f(x)存在最大值时, f(x)f(x)max.5第五页，编辑于星期日：一点 四分。3.(2018课标全国课标全国,23,10分分)选修选修45:不等式选讲不等式选讲设函数设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当当a=1时时,求不等式求不等式f(x)0的解集的解集;(2)假设假设f(x)1,求求a的取值范围的取值范围.解析解析(1)当a=1时, f(x)=可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可

6、得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).24,1,2, 12,26,2.xxxxx 方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法常用零点分段法或数形结合法;假设函数中假设函数中含有两个或两个以上的绝对值含有两个或两个以上的绝对值,在求函数最值时在求函数最值时,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.6第六页，编辑于星期日：一点 四分。4.(2016课标全国课标全国,24,10分分)选修选修45:不等式选讲不等式选讲函数函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出画出y=f(

7、x)的图象的图象;(2)求不等式求不等式|f(x)|1的解集的解集. 7第七页，编辑于星期日：一点 四分。解析解析(1)f(x)=y=f(x)的图象如下图的图象如下图.(2)由由f(x)的表达式及图象知的表达式及图象知,当当f(x)=1时时,可得可得x=1或或x=3;当当f(x)=-1时时,可得可得x=或或x=5,故故f(x)1的解集为的解集为x|1x3; f(x)1的解集为.1|1353x xxx或或评析此题主要考查利用零点分区间法解含有绝对值的不等式评析此题主要考查利用零点分区间法解含有绝对值的不等式,利用数形结合的思想方法求利用数形结合的思想方法求解更为方便、准确解更为方便、准确.9第九

8、页，编辑于星期日：一点 四分。5.(2017课标全国课标全国,23,10分分)选修选修45:不等式选讲不等式选讲函数函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当当a=1时时,求不等式求不等式f(x)g(x)的解集的解集;(2)假设不等式假设不等式f(x)g(x)的解集包含的解集包含-1,1,求求a的取值范围的取值范围.10第十页，编辑于星期日：一点 四分。解析此题考查含绝对值不等式的求解问题解析此题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当当a=1时时,不等式不等式f(x)g(x)等价于等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当当x1时时,式化为式化为x2+x-

9、40,从而从而1x.所以所以f(x)g(x)的解集为的解集为.(2)当当x-1,1时时,g(x)=2.所以所以f(x)g(x)的解集包含的解集包含-1,1,等价于当等价于当x-1,1时时f(x)2.又又f(x)在在-1,1的最小值必为的最小值必为f(-1)与与f(1)之一之一,所以所以f(-1)2且且f(1)2,1172 11712xx 11第十一页，编辑于星期日：一点 四分。得-1a1.所以a的取值范围为-1,1.方法总结方法总结含绝对值不等式的求解.1.含绝对值的函数即为一个分段函数,一般采用去绝对值分段讨论、分段求解的方法来解决.例如第(1)问中将自变量分为x1三段来求解,最后求并集.2

10、.不等式恒成立问题可转化为求解函数的最值问题,例如: f(x)2恒成立,即为f(x)min2; f(x)2恒成立,即为f(x)max2.12第十二页，编辑于星期日：一点 四分。6.(2017课标全国课标全国,23,10分分)选修选修45:不等式选讲不等式选讲函数函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式求不等式f(x)1的解集的解集;(2)假设不等式假设不等式f(x)x2-x+m的解集非空的解集非空,求求m的取值范围的取值范围.13第十三页，编辑于星期日：一点 四分。解析解析(1)f(x)=当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)解法一:由f(x)x2-

11、x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+,且当|x|=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范围为.解法二:由题设得,存在x使得m|x+1|-|x-2|-x2+x成立.设g(x)=|x+1|-|x-2|-x2+x,3,1,21, 12,3,2.xxxx 23|2x545432545,414第十四页，编辑于星期日：一点 四分。那么g(x)=每段值域分别为(-,-5,(-,1),故g(x)的值域是,m的取值范围是.2223,1,31, 12,3,2,xxxxxxxxx 55,45,45,4思路分析思路分析(

12、1)将f(x)写成分段函数形式,然后分段讨论,得出f(x)1的解集.(2)解法一:利用绝对值不等式的性质,适当放缩,求出参数的取值范围.解法二:由不等式f(x)x2-x+m,构造一个新函数g(x)=f(x)-x2+x,将g(x)写成分段函数形式,求出g(x)的值域,即可确定所求参数的取值范围.15第十五页，编辑于星期日：一点 四分。7.(2016课标全国课标全国,24,10分分)选修选修45:不等式选讲不等式选讲函数函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当当a=2时时,求不等式求不等式f(x)6的解集的解集;(2)设函数设函数g(x)=|2x-1|.当当xR时时, f(x)+g(x)3,求求a

13、的取值范围的取值范围.16第十六页，编辑于星期日：一点 四分。解析解析(1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).12方法总结方法总结含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法:一是利用|ab|a|+|b|;二是利用数形结合的思

14、想方法.评析此题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质评析此题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质,灵活利用不等式的性质是解灵活利用不等式的性质是解题的关键题的关键.17第十七页，编辑于星期日：一点 四分。8.(2015课标课标,24,10分分,0.370)函数函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当当a=1时时,求不等式求不等式f(x)1的解集的解集;(2)假设假设f(x)的图象与的图象与x轴围成的三角形面积大于轴围成的三角形面积大于6,求求a的取值范围的取值范围.解析解析(1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-4

15、0,无解;当-1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(2)由题设可得, f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).232|23xx12 ,1,312 , 1,12 ,.xa xxaxaxa xa 21,03a232318第十八页，编辑于星期日：一点 四分。9.(2014课标课标,24,10分分,0.111)假设假设a0,b0,且且+=.(1)求求a3+b3的最小值的最小值;(2)是否存在是否存在a,b,使得使得2a+3b=6?并说明理由并说

16、明理由.1a1bab解析解析(1)由=+,得ab2,且当a=b=时等号成立.故a3+b324,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b24.由于46,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.ab1a1b2ab233a b2226ab3319第十九页，编辑于星期日：一点 四分。考点二不等式的证明考点二不等式的证明1.(20161.(2016课标全国课标全国,24,10,24,10分分) )选修选修45:45:不等式选讲不等式选讲函数函数f(x)=f(x)=+ +,M,M为不等式为不等式f(x)2f(x)2的解集的解集. .(1)(1)求求M;M;(2)(2)

17、证明证明: :当当a,bMa,bM时时,|a+b|1+ab|.,|a+b|1+ab|.12x12x20第二十页，编辑于星期日：一点 四分。解析解析(1)f(x)=当x-时,由f(x)2得-2x-1;当-x时, f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1,所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|0,b0,a3+b3=2.证明证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明此题考查不等式的证明证明此题考查不等式的证明.(1

18、)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以所以(a+b)38,因此因此a+b2.23()4ab33()4ab失分警示失分警示运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易因逻辑混乱而失分.22第二十二页，编辑于星期日：一点 四分。3.(2015课标课标,24,10分分,0.353)选修选修45:不等式选讲不等式选讲设设a,b,c,d均为正数均为正数,且且a+b=c+d.证

19、明证明:(1)假设假设abcd,那么那么+;(2)+是是|a-b|cd得得(+)2(+)2.因此因此+.(2)(i)假设假设|a-b|c-d|,那么那么(a-b)2(c-d)2,即即(a+b)2-4abcd.由由(1)得得+.(ii)假设假设+,那么那么(+)2(+)2,即即a+b+2c+d+2.因为因为a+b=c+d,所以所以abcd.于是于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此因此|a-b|+是是|a-b|0,|x-1|,|y-2|,求证:|2x+y-4|a.3a3a证明证明因为|x-1|,|y-2|,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|

20、2|x-1|+|y-2|2+=a.3a3a3a3a评析评析本小题主要考查含绝对值的不等式的证明,考查推理论证能力.25第二十五页，编辑于星期日：一点 四分。2.(2014辽宁,24,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)2.1426第二十六页，编辑于星期日：一点 四分。解析解析(1)f(x)=当x1时,由f(x)=3x-31得x,故1x;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0 x0).(1)证明证明:f(x)2;(2)假设假设f

21、(3)0,有f(x)=+|x-a| =+a2,所以f(x)2.(2)f(3)=+|3-a|.当a3时, f(3)=a+,由f(3)5得3a.当0a3时, f(3)=6-a+,由f(3)5得a3.综上,a的取值范围是.1xa1()xxaa1a13a1a52121a15215 521,2230第三十页，编辑于星期日：一点 四分。4.(2013课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca;(2)+1.132ab2bc2ca证明证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得

22、(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.(2)易证+b2a,+c2b,+a2c,故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.所以+1.132ab2bc2ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca2ab2bc2ca31第三十一页，编辑于星期日：一点 四分。考点一绝对值不等式的解法以及最值问题考点一绝对值不等式的解法以及最值问题1.(20181.(2018广西二模广西二模) )函数函数f(x)=|x-2|+|x+3|.f(x)=|x-2|+|x+3|.(1)(1)求不等式求不等式f(x)15f(x)15的解集的解

23、集; ;(2)(2)假设假设-x2+af(x)-x2+af(x)对对xRxR恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .A A组组 2016201820162018年高考模拟年高考模拟根底题组根底题组三年模拟32第三十二页，编辑于星期日：一点 四分。解析解析(1)因为f(x)=所以当x-3时,由f(x)15得-8x2时,由f(x)15得21,综上,不等式的解集为1,+).1,2321xx11,21xx1,321,xx131,334第三十四页，编辑于星期日：一点 四分。(2)当x-1,1时, f(x)1恒成立,即|2x-a|1-|x-1|=x,当x-1,0)时,aR;当x0,1

24、时,假设0,即a0,那么|2x-a|=2x-ax,ax,所以a0;2a假设1,即a2,那么|2x-a|=a-2xx,a3x,所以a3;假设01,即0a2,那么不等式不恒成立.综上,a(-,03,+).2a2a点睛点睛含绝对值不等式的解法有两种,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.第(2)问将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立结合,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.35第三十五页，编辑于星期日：一点 四分。3.(2018广西南宁适应性考试广西南宁适应性考试)f(x)=|2x+1|-|x-2|-1,不等式不等式f(x)k的解集为的解集为-5,

25、1.(1)求实数求实数k的值的值;(2)假设正数假设正数a、b满足满足=k,求求2a+4b的最小值的最小值.2ab解析解析(1)依题意可得依题意可得|2x+1|-|x-2|k+1,当当x-时时,解得解得x-k-4;当当-x2时时,解得解得x;当当x2时时,解得解得xk-2.依题意可设依题意可设解得解得k=1.经检验经检验,k=1时满足题意时满足题意.故故k=1.(2)由由(1)得得=1,即即ab=4,那么那么2a+4b2=4=8,故故2a+4b的最小值为的最小值为8.121223k 45,21,3kk 2ab8ab2ab2236第三十六页，编辑于星期日：一点 四分。4.(2017云南大理统考云

26、南大理统考)函数函数f(x)=|x|+|x-3|.(1)解关于解关于x的不等式的不等式f(x)-5x;(2)设设m,ny|y=f(x),试比较试比较mn+4与与2(m+n)的大小的大小.解析解析(1)f(x)=|x|+|x-3|=当x3时,2x-3-5x,得x8,所以不等式的解集为8,+).(2)由(1)易知f(x)3,所以m3,n3,所以2(m+n)-(mn+4)=2m-mn+2n-4=(m-2)(2-n)0,即2(m+n)0时时,-x,得得a=2.(2)记记h(x)=,那么那么h(x)=所以所以|h(x)|1,因此因此k1.所以所以k的取值范围是的取值范围是1,+).4a2a( )22xf

27、 xf1,1,143, 1,211,2xxxx 39第三十九页，编辑于星期日：一点 四分。考点二不等式的证明考点二不等式的证明1.(20181.(2018广西桂林模拟广西桂林模拟)a)a、b b、c c均为正实数均为正实数. .(1)(1)假设假设ab+bc+ca=3,ab+bc+ca=3,求证求证:a+b+c3;:a+b+c3;(2)(2)假设假设a+b=1,a+b=1,求证求证: :9.9.211a211b证明证明(1)a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,三式相加可得三式相加可得a2+b2+c2ab+bc+ca,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(

28、ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=9.又又a、b、c均为正实数均为正实数,a+b+c3.(2)a、bR+,a+b=1,a2+2ab+b2=1,=5+5+2=9,当且仅当当且仅当=,即即a=b=时时,“=成立成立.211a211b22221aabba22221aabbb222bbaa222aabb2ab2ba22abba2ab2ba1240第四十页，编辑于星期日：一点 四分。2.(2017广西高三联考广西高三联考)f(x)=|x+2|-|2x-1|.M为不等式为不等式f(x)0的解集的解集.(1)求求M;(2)求证求证:当当x,yM时时,|x+y+xy|15.解

29、析解析(1)f(x)=当x0得x3,舍去;当-2x时,由3x+10得x-,即-时,由-x+30得x3,即x3.综上,M=.(2)证明:x,yM,|x|3,|y|3,|x+y+xy|x+y|+|xy|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x|y|f(1)=5,故在区间-2,1上, f(x)min=f(-1)=3, f(x)max=f(-2)=6.由|f(x)-m|2m-2f(x)m+2.所以m+2f(x)max且m-2f(x)min,于是m+26且m-23,故实数m的取值范围是4,5.3 (1),4( 12),3 (2),x xxxx x 43第四十三页，编辑于星期日：一点 四分。2.(20

30、18四川成都名校联考四川成都名校联考)函数函数f(x)=|x|+|x-1|,假设假设xR, f(x)成立成立,且且N*.(1)求求的值的值;(2)假设假设p,qR,且且p0,p+2q=,求求+的最小值的最小值.1p12q解析解析(1)f(x)=|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,当且仅当当且仅当0 x1时取时取“=,故故f(x)的最小值为的最小值为1,根据根据xR, f(x)恒成立可知恒成立可知1,又又N*,=1.(2)由由(1)可知可知p+2q=1,由由+=(p+2q)=2+2+2=4,当且仅当当且仅当=,即即p=2q且且p+2q=1,即即p=,q=时时,+取得最小值取得最小值4.1p1

31、2q112pq2qp2pq22qppq2qp2pq12141p12q44第四十四页，编辑于星期日：一点 四分。3.(2018四川四川“联测促改活动联测促改活动)函数函数f(x)=|ax+1|,不等式不等式f(x)3的解集为的解集为(-1,2).(1)求实数求实数a的值的值;(2)假设不等式假设不等式f(x)|x+1|+m的解集为的解集为,求实数求实数m的取值范围的取值范围.解析解析(1)令|ax+1|3,得-4ax0时,可得-x,不等式的解集为(-1,2),无解.当a0时,可得x-,由解得a=-2.综上,a=-2.(2)由(1)知原不等式即为|-2x+1|x+1|+m,故不等式|2x-1|-|

32、x+1|m的解集为,4a2a41,22,aa 2a4a42,21,aa 45第四十五页，编辑于星期日：一点 四分。令g(x)=|2x-1|-|x+1|=那么g(x)min=-,m-.实数m的取值范围为.2,1,13 , 1,212,2x xxxxx 32323,2 46第四十六页，编辑于星期日：一点 四分。4.(2017广西名校联考广西名校联考)设实数设实数a,b满足满足2a+b=9.(1)假设假设|9-b|+|a|0,且且z=a2b,求求z的最大值的最大值.解析解析(1)由2a+b=9得9-b=2a,即|9-b|=2|a|,所以|9-b|+|a|3可转化为3|a|3,即|a|1,解得-1a0

33、,z=a2b=aab=33=27.当且仅当a=b=3时,等号成立.故z的最大值为27.33aab323ab思路分析思路分析(1)根据题中的等量关系式2a+b=9,不等式可转化为3|a|3,从而求得a的取值范围是(-1,1);(2)将a2b转化为aab求解.47第四十七页，编辑于星期日：一点 四分。5.(2017云南第二次统考云南第二次统考)函数函数f(x)=|2x+1|+|2x-1|.(1)求证求证:f(x)的最小值等于的最小值等于2;(2)假设对任意实数假设对任意实数a和和b,|2a+b|+|a|-|a+b|f(x)0,求实数求实数x的取值范围的取值范围.1248第四十八页，编辑于星期日：一

34、点 四分。解析解析(1)证明:|2x+1|+|2x-1|=|2x+1|+|1-2x|(2x+1)+1-2x|=2,f(x)2.当且仅当(2x+1)(1-2x)0时等号成立,即当且仅当-x时,f(x)=2.f(x)的最小值等于2.(2)当a+b=0即a=-b时,|2a+b|+|a|-|a+b|f(x)0可化为2|b|-0f(x)0,即2|b|0成立.xR.当a+b0时,|2a+b|+|a|=|2a+b|+|-a|(2a+b)-a|=|a+b|,当且仅当(2a+b)(-a)0时等号成立,即当且仅当(2a+b)a0时等号成立,1,且当(2a+b)a0时,=1,的最小值等于1.|2a+b|+|a|-|a+b|f(x)0f(x).121212|2|abaab|2|abaab|2|abaab12|2|abaab1249第四十九页，编辑于星期日：一点 四分。f(x)1,即f(x