2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理文试题新人教A版选

1、第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理匕知枳一、归纳推理(1)_ 由某类事物的 _具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由_ 概括出_ 的推理，称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由_ 到_ 、由_到_ 的推理如金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因 此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 _(2 )归纳推理是依据 _现象，归纳推出 _ 结论，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.由归纳推理所得的结论未必是正确的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的通过观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的

2、说法，乃是科学研究的最 基本的方法之一.二、类比推理由两类对象具有某些 _特征和其中一类对象的某些 _ ，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由 _ 到_ 的推理.(1) 类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2) 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3) 类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能.(4)_ 归纳推理是由部分到 _，由具体到 _，由特殊到 _ ，从个别事实中概括出 _的思维模式.类比推理是在 _ 的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方

3、面也可能存在_ 之处的一种推理模式.2三、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 _、_、_、_，再进行_、_ ，然后提出 _的推理，我们把它们统称为合情推理四、演绎推理（ 1）从 _出发，推出 _情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 _ 的推理（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系（i ）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由_到_、_到_ 的推理，类比是由 _到_ 的推理；而演绎推理是由_到_的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，

4、得到的结论一定正确（ ii ）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的 知识加工、整理，使之条理化、系统化合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色（ iii ）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等 的发现，主要靠合情推理因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想（3）三段论（ i ）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的 _ ；小前提所研究的 _ ；结论根据一般原理,对特殊情况做出的其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结 论：（ii ）利用集合知识说明“三段论”：若集合

5、M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集，那么（iii ）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的 _ 作为下一个三段论的前提五、其他演绎推理形式（1 ）假言推理：“若p?q,p真，则q真”.13（2）关系推理：“若aRb, bRc,则aRc R表示一种传递性关系，如a/b,b/c?a/c,ab,4bc?ac等.注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也 一块给出，以供学生扩展知识面.(3 )完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则.K 知识参考答

6、案、(1 )部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般归纳推理(2)特殊一般_ 、类似已知特征特殊特殊(4) 整体抽象一般一般结论两类不冋相同或相似三、观察分析比较联想归纳类比猜想四、 (1)般性的原理某个特殊-般到特殊(2) 部分整体个别一般特殊特殊一般特殊(3) 一般原理特殊情况判断S是PS中所有兀素也都具有性质P结论K重点合情推理及归纳推理的定义、演绎推理的含义K难点归纳推理的基本方法、三段论模式及其应用K 一易错误将类比所得结论作为推理依据K 难点一一归纳推理在数、式、数列中的应用1117-2 -2 -22344则归纳猜想一般的不等式为观察下列式子:15【答案】D【解析】观察题中

7、给出的不等式，易知每个不等式的不等号左边的最后一项的分母的底数等于右边的分母, 不等号左边的最后一项的分母的底数与指数的乘积减去1等于右边的分子，故一般的不等式为111n 11222(n - 2),故选D.23n n【名师点睛】归纳推理的一般步骤：(1 )观察分析，发现规律，通过观察个别情况发现某些相同性质.(2)猜想结论并检验：从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(或猜想)K 难点一一归纳推理在图形中的应用形的个数是【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表:图案123个数61116由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6 为首项，5 为公差的等差数列，所以第 6 个图案A

8、.1 112232 HIB.C.1 112232111D.2：:-nn112n 12 -nn1n2-12 :nn12n -12nn(n _2)(n一2)(n -2)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6 个图案中有A. 26C. 32第一个图案(n -2)1 112232川1 112232川n6中有灰色的正六边形的个数是6 5 (6 -1) = 31.故选 B.7【名师点睛】通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：K 难点-归纳推理在不等式中的应用【答案】详见解析【解析

9、】当n=1时，21彳；当n=2时，22=22；当n=3时，23：32;当n=4时，24=42；当n =5时，2552;当n=6时，2662.可以归纳猜想：当n=3时，2n：n2;当n = 3时，2n_ n2.【名师点睛】对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处.对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形（通分、因式分解等），变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简.四、K 难点一一类比推理把a(b c)与loga(x y)类比，则有loga(x yH loga

10、x logay；把a(b c)与sin(x y)类比，则有sin(x - y) =sinx siny.把实数a,b满足：“若ab=O,b=O，贝y a=0” .类比平面向量的数量积，“若ab = 0,b=0，则n，猜想2n与n2的大小.在下列类比推理中，正确的有8a= 0”.一SA AECAC平面内，“在AABC中，.ACB的平分线CE将三角形分成两部分的面积比=”，将这个SABECBC结论类比到空间中，有“在三棱锥A- BCD中，平面DEC平分二面角A-CD- B，且与AB交于点E,则平面DEC将三棱锥分成两部分的体积比VA_CDESAACDVB _CDESABDC【答案】【解析】中，log

11、a(x y)与sin(x y)都是一个整体，而a(b c)中a与b c是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；中由a,b两数的积，类比到a,b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；中，将平面内直线分三角形两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的.【名师点睛】类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.五、K 难点一一演绎推理的基本形式(三段论

12、)用三段论的形式写出下列演绎推理.(1 )菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直.(2 )若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角.【答案】详见解析【解析】(1)每个菱形的对角线都相互垂直.大前提正方形是菱形.小前提正方形的对角线相互垂直.结论(2).若两个角是对顶角，则这两个角相等 .大前提/ 1 和/ 2 不相等. 小前提/ 1 和/ 2 不是对顶角 结论 【名师点睛】分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来.在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提9和

13、小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理， 学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法.10已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件: 对任意的x 0,1，总有f(x) _0；若“当为_0, X2_0且X!X2_ 1时，有f(论X2)_f (xj f(X2)成立”，数”.(1) 若已知f(x)为“友谊函数”，求f (0)的值.(2) 函数g(x) =2X一1在区间0,1上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知f (x)为“友谊函数，且0三为：x2巴1，求证：f(X )巴f (x2). 【答案】详见解析【解析】(1)取论=x2=

14、0，得f(0) _ f(0)f(0), f (0)汕,又由f(0) _0，得f(0) =0.(2) 显然g(x) -1在0,1上满足g(x) 0；2g(1)；3若x,_0,x2- 0，且x1x2-1,则有g(x1X2) -g(xj g(x2)=2X1 X2一1 (2X1-1) (2X2-1)= (2X1-1)(2X2一1) 0.故g(x) =2X-1满足条件，所以函数g(x) =2X-1在区间0,1上为“友谊函数”.(3) 因为0一 为 ”：x2-1，则0”：x2- 为-1,所以f (x2) = f (x2-为xj亠f(x2-x)f (xj亠f (x-i).【名师点睛】1.应用演绎推理证明时，

15、必须确切知道每一步推理的依据(大前提)则称f (x)为“友谊函，验证条件是否满足(小11前提），然后得出结论.2 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要因此实际应用 中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但 必须要保证证题过程的严密规范.数项数时出现错误，a99应是分子从 14 开始的第 8 项，其分子应为14-7 = 7，而不是 6.AC BC,CD是AB边上的高，求证：ACD BCD.【错解】在ABC中，因为AC - BC,CD _ AB，所以AD BD，所以.ACD BCD.【错因分析】错误的原因在于

16、虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但 不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误.【正解】因为CD _ AB，所以EADC ZBDC =90：,1 2 1 3 2 1 4 3 2 1已知数列an:_,_, ,?,_, ,_,3,_,_,川，根据它的前 10 项的规律，则a99 -a100的值为4J JJ J J J JJ11212 3C.372411157B.67D.15各数分子的构成是1,(2,1),( 3,2,1),(4,3,2,1),川，由 于32故选 B.=9p,999! = 8,14-8=6, -a99 :51.丄2丄17a)00，a99a10

17、0 -102326【错因分本题常见错误是不能从所给各数中发现规律，错解虽然注意到了an各项的构成规律，但在计【正解】据题意分组得(1),(,),(, 1),HL(n, n 1,1H, -2 ,)，第 1 组有 1 叽第 2 组有 211212 312 n -1 nn(n 1)13 (13 1)99得n 13，由于91，当n = 14时，a?9和玄血依叽，第n组有n项.令2次为第 14 组的第 8 项和第 9 项，由2,14 13小7 6 54321、(,川，,)，知a99 128 9 10 11 12 13 14a1oo76二旦，故8924AD与BD并六、K 易错A.选 A.如图所示，在 AB

18、C中,12所以.A ACD = B . BCD =90,在ABC中,AC BC , . B A, ACD BCD.【警示】利用三段论推理时，（一）大前提必须是真命题；（2 ）小前提是大前提的特殊情形.好題基砒1已知数列1厂3-.5丄 沦耳1丄，则、.21是这个数列的A.第 10 项 B.第 11 项C.第 12 项D.第 21 项12.“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（-）x是指数函数（小前提），所以函数y二3数（结论）”，上面推理的错误在于A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错3 .将正奇数按如图所示的规律排

19、列，则第 21 行从左向右的第 5 个数为135791113151719212325272931A. 811B. 809C. 807D. 8054 .下面说法正确的有（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理的一般模式是三段论；（1）X是增函13（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关A. 1 个B. 2 个14C. 3 个 5下列推理过程是类比推理的是1A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为-2B. 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C. 通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性D. 数学中由周期函数的定义判断某函数是

20、否为周期函数6.n个连续自然数按规律排成下根据规律，从 2002 到 2004,箭头的方向依次为A.JTB.7C.D.77 .设等差数列aj的前n项和为Sn，则S4, -S4,氐-S8成等差数列;8.用演绎推理证明y=x2,x(-二，0)是减函数时，大前提是_ .9 .把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在标准大气压下，水的沸点是100C，所以在标准大气压下把水加热到100C时，水会沸腾;(2) 切奇数都不能被 2 整除，(210，1)是奇数，所以(2107)不能被 2 整除;(3)三角函数都是周期函数，y二tan是三角函数，因此y二tan是周期函数D. 4 个类比以上结论有：设等比数列bn

21、的前n项积为Tn，则T4,T-12T8成等比数列.15按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 _.13.某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影A B C D E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片小赵说：只要不是B就行;10 已知：由图得面积关系:PA PBSAPABPA PB(1)试用类比的思想写出由图所得的体积关系VP山BCVP .jABC(2)证明你的结论是正确的憐力11 设fo（x） =sinx, fx）二 fo（x）. f2（X）= f1（X）,|I（, fn 1（X）= fn（x）,n N，则彳A.-cosxB.-sinxC. cosxD.sinx,他

22、们到达电影院之后发现，当天正在放映B16小张说：B C D, E都行;小李说：我喜欢D但是只要不是C就行；小刘说：除了E之外,其他的都可以.据此判断,他们四人可以共同看的影片为 _.14设平面内有n(n _3)条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数.(1) 求f；(2)当n .4时，求f(n)(用n表示).15.(2016 高考新课标 II 理)有三张卡片，分别写有1 和 2, 1 和 3, 2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字

23、不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是16.(2016 高考北京文)某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号123456789101.91.91.81.81.71.71.71.6立定跳远(单位：米)62208641.721.68030 秒跳绳(单位：次)63a7560637270a 1b65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有 6 人,则17A. 2 号学生进入 30 秒跳绳决赛C. 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛B.

24、 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛D. 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛1817. （2016 高考山东文）观察下列等式: .n ；2n24(s吋(si n) 1 2-33n j2n 23n 24n24(sin二)-5” (sin)(sin55)(s in)52 3；3n二2n23n_26n _24(sin 7)(sin)(sin77)吆(si n7)3-43n二2n23n28n24(sin：)(sin)(sin)亠 亠(sin)4 599993n _22n _23n _22nn _2照此规律，(sin) (sin)(sin)嘉灯(sin)=_2n+12n+12n+12n+118. （2016

25、 高考北京文）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店1第一天售出但第二天未售出的商品有 _种；2这三天售出的商品最少有 _种K好题参考算亲1.B【解析】令2n -1=21，解得r=11，故.21是这个数列的第 11 项.2.A【解析】推理形式没有错误，而大前提“y二ax是增函数”是不正确的，当0：a：1时，y二ax是减函数；当a 1时，y =ax是增函数故选 A.3.B【解析】由题意知前 20 行共有正奇数1 3 5 39 =202=400个，则第 21 行从左向右的第 5

26、个 数是第 405 个正奇数，所以这个数是2 405-1 =809.4.C【解析】根据演绎推理的定义进行判断 .5.B【解析】A 为归纳推理，C, D 均为演绎推理故选 B.3-46.C【解析】由已知可得箭头变化的周期为4，故由 得从 2002 到 2004 的方向为选项 C 中所示.219 种商品，第二天售【解析】由题意，等差数列g的前n项和为Sn，则S4,Sg-Sq,S2-S8成等差数列，运用类T419比思想，只需要将差改为比即可，故有T4,z8,半成等比数列T4T820&减函数的定义【解析】大前提：减函数的定义，在x三I内，若有x1x2,则有f (xj：: f (x2),小前提:

27、2 - 2 -y=x,x时XiX2,有f(Xi)：f(X2),结论：y=x,x是减函数9 .【解析】(1)在标准大气压下，水的沸点是100C,大前提在标准大气压下把水加热到100C,.小前提水会沸腾 .结论(2) 一切奇数都不能被 2 整除，.大前提(21001)是奇数，.小前提(3).三角函数都是周期函数，大前提y=ta是三角函数，.小前提y=ta n是周期函数.结论(2)过A作AO_平面PBC于O,连接PO,则A在平面PBC内的射影O落在PO上,11. C 【解析】h(x)二cosx,f2(x) = (cosx) =sinx,f3(x)二一cosx,f4(x)二sin x,故f2017(X)二f4 504 1( X)二(X)二cos x.12.6n 2【解析】本题主要考查利用归纳推理求数列的通项公式.观察图象可知：第一个图有 8 个火柴棒，第二个图比第一个图多 6 个火柴棒，第三个图比第二个图多6 个火柴棒，以此类推，第n个图比第(n -1)个图多 6 个火柴棒，可以看出，这些图是：从第一个图开始，火柴棒数是首项为8,公差为 6 的等差数列，贝U an=8 6( n -1)=6n 2.13.D【解析】小赵可以看的电影的集合为A,C,D,E?,小张可以看的电影的集合为 B,C,D,E?,小李(21001)不能被