初三数学二次函数综合应用问题

1、2(0)yaxbxc a 例例1 1(十堰市十堰市,2001),2001)已知已知: :关于关于x x的函数的函数的图象与的图象与x x轴总有交点轴总有交点(1)(1)求求a a的取值范围的取值范围(2)(2)设函数的图象与设函数的图象与x x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点A A、B,B,其坐标为其坐标为 当当 , ,求求a a的值的值. .221(32)(1)4yaaxax12( ,0), (,0),A xB x212113axx 时2222: (1)320,12 ,11,412,4.320,12 ,1(1)4 (32 )0410112 ,12,iaaaaayxayxxiiaaaaxa

2、aaaaaaaay 解当时或当时原 函 数 为与轴 平 行没 有 交 点当时原 函 数 为是 一 个 一 次 函 数与轴 有 一 个 交 点当时且此 时 函 数 为 二 次 函 数如 果 图 象 与轴 有 交 点则 有即又且所 以且时二 次 函 数221(32 )(1).4,1,.aaxaxxax的 图 象 与轴 有 两 个 交 点综 上 所 述当时函 数 的 图 象 与轴 有 交 点12122221212122114(2),3232114(1)3410231,23123axxxxaaaaxxaaxxxxaaaaa 而舍去 练习练习(鄂州市鄂州市 ,2001),2001)已知抛物线已知抛物线

3、与与x x轴的两轴的两个交点在点个交点在点(1,0)(1,0)的两旁的两旁, ,试判断关于试判断关于x x的方程的方程的根的情况的根的情况, ,并说明理由并说明理由. .221(1)504xmxm227yxmxm解解:(:(法一法一) )如图示如图示, ,当当x=1,y0 x=1,y0即即1+2m+m-701+2m+m-70所以所以m2m22121212121212()27(,0),(,0):(1)(1)0()102,772102yxmxmxxxxxx xxxxxm xxmmmm 法二 设与 轴的两个交点为据题意则有即又22221(1)5041(1)4(5)4xmxmmm 对于方程242(2)

4、mmm2，0方程没有实数根。方程没有实数根。2(,2000),4,(2,0),.(1)(2),.(3.),AAxE FyC DCABCxBBCyaxbxcBCxAxC西安市如图 在直角坐标系中 圆 的半径为点的坐标为与 轴交于两点 与 轴交于两点过 点作圆 的切线交 轴于求直线的解析式若抛物线的顶点在直线上 与 轴的交点恰为圆 与 轴的交点求抛物线的解析式试判断点 是否在抛物线上例并说明理由2例例3已知抛物线已知抛物线 交交 ，交，交y轴的正半轴于轴的正半轴于C点，点，且且 。 （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点）是否存在与抛物线只有一个公共点C的

5、直线。的直线。如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由存在，请说明理由 已知二次函数已知二次函数y=(m22)x24mx+n的图象关于直线的图象关于直线x=2对对称，且它的最高点在直线称，且它的最高点在直线y=x+1上上.（1）求此二次函数的解析式；）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上上移动到点移动到点M时，图象与时，图象与x轴交于轴交于A 、B两点，且两点，且SABM=8，求此时的二次函数的解析式求此时的二次函数的解析式 。练习：练习：例例4、 已知抛物

6、线已知抛物线C1的解析式是的解析式是yx22xm， 抛物线抛物线C2与抛与抛 物线物线C1关于关于y轴对称。轴对称。(1)求抛物线求抛物线C2的解析式；的解析式； C2的解析式为：的解析式为： y(x1)21m x22xm .yxOC1C2（1,1m） （1,1m）例例4 已知抛物线已知抛物线C1的解析式是的解析式是yx22xm， 抛物线抛物线C2与抛与抛 物线物线C1关于关于y轴对称。轴对称。(1)求抛物线求抛物线C2的解析式；的解析式；(2)当当m为何值时为何值时,抛物线抛物线C1、C2与与x轴有四个不同的交点；轴有四个不同的交点；由抛物线C1与x轴有两个交点，得10，即(2)24（1）m

7、0，得m1 由抛物线C2与x轴有两个交点，得20，即(2)24（1）m0， 得m1 yxO当m=0时，C1、C2与x轴有一公共交点(0，0)， 因此m0 综上所述m1且m0。例例4 已知抛物线已知抛物线C1的解析式是的解析式是yx22xm， 抛物线抛物线C2与抛与抛 物线物线C1关于关于y轴对称。轴对称。(1)求抛物线求抛物线C2的解析式；的解析式；(2)当当m为何值时为何值时,抛物线抛物线C1、C2与与x轴有四个不同的交点；轴有四个不同的交点；(3)若抛物线若抛物线C1与与x轴两交点为轴两交点为A、B（点（点A在点在点B的左侧），的左侧）， 抛物线抛物线C2与与x轴的两交点为轴的两交点为C、

8、D（点（点C在点在点D的左侧）的左侧）, 请你猜想请你猜想ACBD的值，并验证你的结论。的值，并验证你的结论。解：解：设抛物线C1、C2与x轴的交点分别A (x1,0) 、B (x2,0) 、C (x3,0) 、D (x4,0)yxOABCD则 ACBD x3x1 x4x2 (x3x4)(x1x2)，于是 ACx3x1，BDx4x2，x1x22， x3x42，ACBD 4。例例5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部，顶部C离地面离地面高度为高度为44m现有一辆满载货物的汽车欲通现有一辆满载货物的汽车欲通过

9、大门，货物顶部距地面过大门，货物顶部距地面28m，装货宽度为，装货宽度为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门请判断这辆汽车能否顺利通过大门练习练习、如图，某大学的校门是一抛物线形水如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧，两侧距地面距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门，则校门的高为多少的高为多少m？（精确到？（精确到0.1m，水泥建，水泥建筑物厚度忽略不计）筑物厚度忽略不计）.xy改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，改革开放后，不少农村用上自动

10、喷灌设备，如图所示，设水管设水管AB高出地面高出地面1.5m，在，在B处有一个自动旋转的喷处有一个自动旋转的喷头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头B与水流最高与水流最高点点C的连线与水平面成的连线与水平面成45角，水流最高点角，水流最高点C比喷头高比喷头高出出2m，在所建的坐标系中，求水流的落地点，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到到A点的点的距离是多少米。距离是多少米。AyBOCFDEx作CFAD于F，作BECF于E，连结BC，易知OF=BE=CE=2，EF=OB=1.5，CF=2+1.5=3.5， B(0, 1.5)，C(2, 3.5).设所求抛物线的

11、解析式为：y=a(x2)2+3.5当x=0时，y=1.5，即a(02)2+3.5=1.5，21a解得5 . 3)2(212xy即72, 05 . 3)2(21,012xxy则得时当722x.)72().0 ,72(mADD点的距离是到即(舍)，例例6、国家对某种产品的税收标准原定每销售国家对某种产品的税收标准原定每销售元需缴税元（即税率为），台洲经济开发元需缴税元（即税率为），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品吨，每吨区某工厂计划销售这种产品吨，每吨元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每元缴税（）元（即税率为（）元缴税（）元（即税率为（），这样工厂扩

12、大了生产，实际销售比原计划），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加。增加。(1)写出调整后税款（元）与的函数关系式，指出写出调整后税款（元）与的函数关系式，指出的取值范围；的取值范围；(2)要使调整后税款等于原计划税款（销售吨，税率要使调整后税款等于原计划税款（销售吨，税率为）的，求的值为）的，求的值 某旅社有某旅社有100张床位，每床每晚收费张床位，每床每晚收费10元时，元时，客床可全部租出若每床每晚收费提高客床可全部租出若每床每晚收费提高2元，元，则减少则减少10张床位租出；若每床每晚收费再张床位租出；若每床每晚收费再提高提高2元，则再减少元，则再减少10张床位租出以每次张床位租出以每

13、次提高提高2元的这种方法变化下去为了投资少元的这种方法变化下去为了投资少而获利大，每床每晚应提高而获利大，每床每晚应提高 （ ）A、4元或元或6元元 B、4元元 C、6元元 D、8元元 练习练习有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，千克放养在

14、塘内，此时市场价为每千克此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升价每天可上升1元，但放养一天需各种费用元，但放养一天需各种费用400元，且平均元，且平均每天还有每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克是每千克20元。元。（1）设）设x天后每千克活蟹的市场价为天后每千克活蟹的市场价为P元，写出元，写出P关于关于x的函的函数关系式；数关系式；（2）如果放养）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹千克蟹的销售总额的销售总额Q元，写出元，写出Q

15、关于关于x的函数关系式；的函数关系式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润润（利润=销售总额收购成本费用）？最大利润是多少销售总额收购成本费用）？最大利润是多少?练习练习B例例7、 如图，在矩形如图，在矩形ABCD的边上，截取的边上，截取AH=AG=CE=CF= x，已，已知：知： AB=8，BC=6。求：（。求：（1）四边形）四边形EHGF的面积的面积S关于关于x的函数的函数表表 达式和达式和X的取值范围；（的取值范围；（2）当）当x为何值时，为何值时，S的数值等于的数值等于x的的4倍。倍。（1）DCEFHGA分析分析：

16、 AGH CEF 吗？吗？ DHE BFG吗？吗？SDHE=SBFG ,SAHEG=SECF 所以，S= S矩形矩形=2SDHE-2SAGH 自变量x的取值范围是：解得，0 x6（2）令S=4x，得，4x=-2x2+14x解题 欣赏练习1：如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，E是是BC上的上的 点，点，F是是CD上的点，且上的点，且EC=AF，EC=x，AEF的的 面积为面积为y。 （1）求）求y与与x之间的函数关系式和自变量之间的函数关系式和自变量x的取值范围的取值范围 ； （2）画出函数的图象。）画出函数的图象。 EBCDAF积累就是知识例例8、 把长为把长为20的

17、铁丝弯成半径为的铁丝弯成半径为R的一个扇形，的一个扇形， （1）试写出扇形面积）试写出扇形面积S与半径与半径R的函数关系式；的函数关系式； （2）求扇形的半径）求扇形的半径R的取值范围；的取值范围； （3）当）当R为为 多长时，扇形的面积最大，其最大面积是多少？多长时，扇形的面积最大，其最大面积是多少？（2）根据实际意义，扇形）根据实际意义，扇形 的半径和弧长必须是正数。的半径和弧长必须是正数。分析：（分析：（1）S=S=RL, L=20-2R（3）因为）因为a=10 20-2R0解得，解得，0R10RRL例例9、 如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AB/DC，ADAB，已知，已知 AB=6，CD=4，AD=2，现在梯形内作一内接矩形，现在梯形内作一内接矩形 AEFG，使，使E在在AB上，上，F在在BC上，上，G在在AD上。上。 （1）设）设EF=x，试求矩形，试求矩形AEFG的面积的面积S关于关于x的函数的函数 关系式；关系式； （2）画出函数）画出函数S的图象；的图象； （3）当）当x为为 何值时，何值时， S有最大值？并求出有最大值？并求出S的最大值。的最大值。AFEDGCB设设AP长为长为x，PCQ的面积为的面积为S，求出，求出S关于关于x的函数关的函数关系式。系式。当当AP长为何值时，长为何值时，SPC