三角函数、平面向量综合题六类型

1、学习必备欢迎下载三角函数与平面向量综合题的六种类型题型一：结合向量的数量积，考查三角函数的化简或求值【例 1】（2007 年高考安徽卷）已知0，:为f（X）二cos（2x ）的最小正48周期，a,an（J_1）,b = （cos,2）,ab = m，求gCOSXl2的值.4cos。since【解答】因为：为f （x） = cos（2x ）的最小正周期，故-二.因为以b = m,8呻呻PP又a b = cos亡tan（: 才）一2，故cos：tan（: m 2.2cos2，sin2（xT；）2cos2二 sin（2x吃二）由于0，所以一4cos：-sin：cos：-sin：22cos ：亠sin

2、 2：2cos：（cos：亠si n：）1 tan=-=- =2COSG-cos：- -sin二cos：- -sin二1 -tanrP=cos：tan（：壬）=m 2.【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例 2】（2006 年高考浙江卷）如图，函数y = 2sin（二x）, xR（其中 0_2的图像与y轴交于点（0, 1）。（I）求的值；HT（H）设P是图像上的最高点，M、N 是图像与x轴的交点，求PM与PN

3、的夹角。1所以2sin =1,即si代=丄2JTJT因为0，所以26115(II)由函数y=2si n(二X 6)及其图像，得M (- ,0), P(,-2),0),1 1所以PM巩匚上)，PN =(2,-2),从而【解答】（I）因为函数图像过点（0,1）,学习必备欢迎下载型匹，故和需,；N-arccos匹| PM | |PN |1717cos：PM,PN =P学习必备欢迎下载(I)求实数m的值;(n)求函数y = f(x)的最小值及此时x值的集合。【解答(I)f (x) = a b二m(1 sin 2x) cos2x由已知f ( ) = m(1 sin ) cos 2，得m = 1.)由(I

4、)得f (x) = 1 sin2x cos2x =1、2sin(2x )当sin(2x) -1时，y = f(x)的最小值为1-2,4由sin(2x 2)- -1，得x值的集合为x|【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式:cos a,b求出被求角的三角函数值， 再限定所求角的范围， 最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例 3】(山东卷)在：ABC中，角 代B,C的对边分别为a,b,c,ta nC=3.7.(1) 求cosC；CBCM，且* b=9，求c-(2)若【解答

5、(1tanC =3 7 ,cosC221又7 sin C cos C = 1，解得：cosC二81/ tanC 0,C是锐角，cosC -855(2) ：CB CA,abcosC -,22ab = 20，22又 ”a b= 9,a 2ab b =81,2 2a b -41,2 2 2.c = a b -2ab cosC =36,c = 6.【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余 弦定理实现边角转化，列出等式求解。题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例 4】(2007 年高考陕西卷)f (x) = a b，其中向量a = (m,cos2

6、x)，b = (1 sin2x,1),x R，且函数y = f(x)的图象经过点(,2).48，-学习必备欢迎下载【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则 求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如y = Asin(x：；。)k，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法-的图象按向量6=f C -x)按向量 a = (h,k)平移的一般方法是解决此类问题之关键,平移后的函数解析式为y题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例 6】(2006 年高考湖北卷) 设向

7、量a =(s in x,cos x), b = (cos x,cos x), R，函 数f (x)二a (a b).(I)求函数f (x)的最大值与最小正周期；3(n)求使不等式f(x)成立的x的取值集.24【解答】(I) f(x)=a ”(a+b)曰1sin2x(cos2x 1) =?2 2 2 f(x)的最大值为3上22 23(n)要使f(x)成立， 当且仅当2即sin(2x)_0二2k二乞2x _2k二43即f (x)一 一成立的x的取值集合是x | k2I【评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数f(x)的三角函数关系式，再根据三角【例 5】(2007 年高考湖北卷)将 y =2cos

8、 -13a,-2 平移，则平移.4后所得图象的解析式为()A.y =2cos Ix -234xC.y -2cos iy =2cosIx一-n23 4y -2cos -312 丿,-2，二平移后的解析式为 y=2cos - -2丿3 6 12 丿B.71312 丿(-1I 4= 2cos 二-2134 .丿【解答】/ a2D.JT【评析】理清函数y2 2 2=a a a b = sin x cos x sin xcosx cos x2二si n(2x )24,最小正周期是=二22:sin(2 x )24JIX*k Z.8 8学习必备欢迎下载公式对函数f(x)的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的

9、单调性，求简单三角不等式的 解集。【跟踪训练】学习必备欢迎下载344.邮1.设函数f(x)=a (b e),其中向量a = (sin x,-cosx), b = (sinx,-3cosx),c = (-cosx,sin x), x二R.(I)求函数f x的最大值和最小正周期；I(n)将函数y二f X的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.2.已知向量a =(sin1),b =(1,cosR,Q：二：:.(i)若a _b，求 v(n)求才+b的最大值.【参考答案】4441 .解：(I)由题意得，f (x)二a (b c)二(sin x, -cosx) (sin x - cosx,sin x -3cosx)二sin2x -2sin xcosx 3cos2二2 cos2x -sin2x = 2 2sin(2x ),4所以，f (x)的最大值为2 =2，最小正周期是 -.2(n)由sin(2x) =0得2x3k二，即 4423T最小，则只有k =1，此时d二(2)即为所求84TlTL2.解：(I)若a _ b，则sin v - cos - 0，由此得：tan二-1,(),2 2所以，二444(n)由a =(sin1),b =(1,cosr),得：+ b