第9章-资产组合理论

1、第第9章章 资产组合理论资产组合理论CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University2概述概述 现代投资理论的产生以现代投资理论的产生以1952年年3月月Markowitz发表发表的的投资组合选择投资组合选择为标志。为标志。 1962年，年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（化，提出了资本资产定价模型（Capital asset

2、 pricing model， CAPM） 1976年，年，Stephen Ross提出了替代提出了替代CAPM的套利的套利定价模型（定价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。）。 上述的几个理论均假设市场是有效的。上述的几个理论均假设市场是有效的。1965年，年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假在其博士论文中提出了有效市场假说（说（Efficient market hypothesis，EMH）CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin

3、 Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University37.1 单资产的收益与风险单资产的收益与风险 假设假设t时刻某资产的价格为时刻某资产的价格为St，则可以定义资产在，则可以定义资产在持有期持有期t-1,t的绝对回报（的绝对回报（Absolute return）-1ttsss 则在则在t-1,t区间的相对回报（区间的相对回报（Relative return）或者回报率有两种算法。或者回报率有两种算法。 算术回报算术回报（Arithmetic Return）又称简单回报）又称简单回报 -1-1ttatssrsCopyrightLin Hui

4、2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University4 但是但是0,) 1,)tasr 从概率论来看，从概率论来看，ra存在什么缺陷？存在什么缺陷？ 几何回报（对数回报）（几何回报（对数回报）（Geometrical Return） 1lnln(1)tgatsrrs 显然有显然有,)gr （11lnexp( )tgttgtsrssrs 持有期回报持有期回报（Holding-period return）算术回报算术回报单利单利几

5、何回报几何回报连续复利连续复利定义：持有期回报是给定期限内的回报率。定义：持有期回报是给定期限内的回报率。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University6 若算术回报若算术回报ra是在非常短的时间内得到的，是在非常短的时间内得到的，即即ra趋于趋于0，则可以将，则可以将rg麦克劳林展开得到麦克劳林展开得到23012( )lim(4)23lnln(1)1( )(0)(0)(0),.,2!1

6、 (0)!aaagaartgatnnrrrrrsrrsf xffxfxfxn其中，CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University7 由于在短期内，两种回报近似相等由于在短期内，两种回报近似相等 ，故可，故可以用统一的符号来以用统一的符号来r表示两种回报，即表示两种回报，即 garrr 单资产单资产时间归并时间归并：若持有：若持有k期，则有期，则有,1( )(1) 1kaa jjr kr

7、,1( )kgg jjr kr-.08-.06-.04-.02.00.02.04.06.08-.08-.06-.04-.02.00.02.04.06.08RETURN_GRETURN_A泰铢汇率：算术回报和几何回报几乎相等！泰铢汇率：算术回报和几何回报几乎相等！-.08-.06-.04-.02.00.02.04.06.08199619971998199920002001RETURN_GRETURN_ACopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department

8、of Finance, Nanjing University9 由于未来证券价格和股息收入的不确定性，故由于未来证券价格和股息收入的不确定性，故持有持有期收益率期收益率是随机变量。刻画随机变量采用均值和方是随机变量。刻画随机变量采用均值和方差进行估计，均值是收益的估计。差进行估计，均值是收益的估计。Pr( ) ( )( )Pr( ) ( )sss r srE rs r s其中，其中，Pr(s)为各种情景（为各种情景（Scenario）下的概率，）下的概率，r(s)为各种情形下的回报率。为各种情形下的回报率。预期回报（预期回报（Expected return）CopyrightLin Hui 2

9、005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University10 金融学上的风险表示收益的不确定性。金融学上的风险表示收益的不确定性。风险与损失的意义不同风险与损失的意义不同 迄今为止关于如何计量风险存在争议迄今为止关于如何计量风险存在争议债券的久期、股票的贝塔、方差等等债券的久期、股票的贝塔、方差等等 对于某个情景对于某个情景S （scenario），资产的方差），资产的方差为为22Pr( ) ( )ssr sr方差（风险的一种表示）

10、方差（风险的一种表示） 例：假定投资于某股票，初始价格例：假定投资于某股票，初始价格100美元，持有美元，持有期期1年，现金红利为年，现金红利为4美元，美元，预期预期股票价格有如下股票价格有如下3种可能，求其期望收益（算术回报）和方差。种可能，求其期望收益（算术回报）和方差。经济状况经济状况S概率概率期末价格期末价格收益率收益率繁荣繁荣0.2514044%正常增长正常增长0.5011014%萧条萧条0.2580-16%22220.25 44%0.5 14%0.25 ( 16%)14%0.25 (44% 14%)0.5 (14% 14%) 0.25 ( 16% 14%)0.45r 注意：注意：在

11、统计学中，我们常用历史方差作为在统计学中，我们常用历史方差作为未来未来方差方差的估计。对于的估计。对于i=1n个样本，修正的样本方差个样本，修正的样本方差（无偏估计）（无偏估计）为为22211()1()11nniiiirrnrrnnn注意：对于小样本估计，修正与没有修正的样本方注意：对于小样本估计，修正与没有修正的样本方差区别非常大。差区别非常大。利用利用Eviews程序估计样本方差：程序估计样本方差：stdev()7.2 组合的收益与风险（截面归并）组合的收益与风险（截面归并）,(1,2,., )i arinn若某资产组合（若某资产组合（Portfolio）中第）中第i种资产的算术回种资产的

12、算术回报是报是 ，则有组合算术回报为，则有组合算术回报为 , -111,11, -11 ,1nni i ti i tnniip ai i ainiii i tiwswsrwrwws其中，其中，wi为组合的投资权重（为组合的投资权重（注意是截面意义上的，注意是截面意义上的，或是时点意义上的或是时点意义上的）CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University14 对数回报不仅具有良好的统计性质，

13、便于对数回报不仅具有良好的统计性质，便于时间归并时间归并，缺点是不能进行，缺点是不能进行截面归并截面归并。 ,11ln(1) ln(1)ln(1)p gp aNNi i aii aiirrwrwr 在组合运算时需要用算术回报。在组合运算时需要用算术回报。当计算短期回报时，由于回报率小，两种回报当计算短期回报时，由于回报率小，两种回报可以近似认为是相等的。可以近似认为是相等的。T1w rNpi iirwr截面归并截面归并T11TTw r()()(w r)wwNpi iiNTpi iiprwrE rwrw rVar rVar11112121.=(,.,) , =( , ,.,) ,nTTnnnnn

14、w wwr rr wr其中，21 12 2121 12 21 12 21 12 22222112212121 12 23 312322211( ),cov( ,)2,1()() ()2cov(,) 23,1iiijijppppVar rr rirwr w r w wVar rVar wr w rVar wrVar w rwr w rwww wirwr w rw r w www当时+)+当时,+222222331212232313133332211,1222 iiijijiij i jwww ww ww wwww 没有2331,1333112233,1,1,1121213132121232331

15、3132321212131323232221, () () ()222, ijijij i jjjjjjjj i jj i jj i jnpiiijijij i jwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwi jnwww 同理，当时T1111wwnnnnijijiijww CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University18n222i 11,1,1()nnnppiiijijiji

16、jij i ji jVar rwwwww 组合的方差组合的方差221121 12 211222111222( )() = () = .( )( ) .( ) = ( )( ) .( )pppnni ii iiin nnnnnnVar rE rrEwrEwrE wrw rw rwE rw E rw E rE w rE rw rE rw rE r证明：接着将平方项展开得到接着将平方项展开得到211122222111,22111,11222 ( )( ) .( )( )( ) ( )( )(nnnnnniiiijiijjiiji jnnniiijijiiji jnnijijijiiiiiiiE w

17、rE rw rE rw rE rw E rE rww E rE rrE rwwwwwE rE rE rE r 注：；) ( )ijjijijrE rCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University20风险分散原理风险分散原理 根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立。等式成立。2222222222222()() ( )( ) ( )

18、( ) 2 ( )( ) 221,2)x yxyxyxyxyxyxyx yxyxyxyxyx yxyExyE xyExE xyE yE xE xE yE yExE xyE y 由于相关系数1则（组合的风险变小CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University21例例 题题 例例1：假设两个资产收益率的均值为：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为，其标准差为0.20和和0.

19、18，占组合的投，占组合的投资比例分别是资比例分别是0.25和和0.75，两个资产协方差，两个资产协方差为为0.01，则组合收益的期望值的方差为，则组合收益的期望值的方差为22T20.12(0.25,0.75)0.14250.150.25(0.20)0.01ww=(0.25,0.75)0.0244750.750.01(0.18)pprTw rCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University

20、2222T22222211w r(,.,)1.0111ww (,.,)(,.,)011Tpprrrnnrnnnnnn = 例例2：假设某组合包含：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占，每种股票的收益也是占总收益的总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为，方差为2，且这些股票之间，且这些股票之间两两不相关两两不相关，求组合的收益与方差。，求组合的收益与方差。CopyrightLin Hui 2005, Department o

21、f Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University23要点要点 组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。而高于收益最小的证券。 只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。风险就可以得到降低。 只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益只有当组合

22、中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。合的收益等于各个资产的收益。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University247.3 资产组合理论资产组合理论 基本假设基本假设 （1）均方准则：投资者仅仅以期望收益率和方差）均方准则：投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（标准差

23、）来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者理性：投资者是不知足的和风险厌恶）投资者理性：投资者是不知足的和风险厌恶的。的。 （3）瞬时投资：投资者的投资为单一投资期，）瞬时投资：投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。多期投资是单期投资的不断重复。 （4）有效组合：在资金约束下，投资者希望持）有效组合：在资金约束下，投资者希望持有具有最高的均方标准的组合。有具有最高的均方标准的组合。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Departm

24、ent of Finance, Nanjing University257.3.1 均值方差准则均值方差准则 定义：若投资者是风险厌恶的，则对于证定义：若投资者是风险厌恶的，则对于证券券A和证券和证券B，当且仅当，当且仅当( )( )ABE rE r且且22AB时成立时成立ABCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University267.3.1 均值方差准则均值方差准则1234期望回报期望回报方

25、差（标准差）方差（标准差） 2 占优占优 1; 2 占优于占优于3; 4 占优于占优于3; CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University27风险厌恶型投资者的无差异曲线（风险厌恶型投资者的无差异曲线（Indifference Curves）Expected ReturnStandard DeviationIncreasing UtilityP2431CopyrightLin Hui 2

26、005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University28 从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的效用，而风险带给他负的效用，或者理解效用，而风险带给他负的效用，或者理解为一种负效用的商品。为一种负效用的商品。根据微观经济学的无差异曲线，若给一个消费根据微观经济学的无差异曲线，若给一个消费者更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，者更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，则只有增加正效用的商品。则

27、只有增加正效用的商品。 根据均方准则，若均值不变，而方差减少，根据均方准则，若均值不变，而方差减少，或者方差不变，但均值增加，则投资者获或者方差不变，但均值增加，则投资者获得更高的效用，也就是偏向西北（左上方）得更高的效用，也就是偏向西北（左上方）的无差异曲线。的无差异曲线。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University29风险中性（风险中性（Risk neutral）投资者的无差异曲线

28、）投资者的无差异曲线 风险中性型的投风险中性型的投资者对风险无所资者对风险无所谓，只关心投资谓，只关心投资收益。收益。 风险中性定价在风险中性定价在金融工程中具有金融工程中具有核心的地位。核心的地位。Expected ReturnStandard DeviationCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University30风险偏好风险偏好(Risk lover)投资者的无差异曲线投资者的无差异曲

29、线Expected ReturnStandard Deviation 风险偏好型的风险偏好型的投资者将风险投资者将风险作为作为正效用正效用的的商品看待，当商品看待，当收益降低时候，收益降低时候，可以通过风险可以通过风险增加得到效用增加得到效用补偿。补偿。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University317.3.2 组合的可行集和有效集组合的可行集和有效集 可行集与有效集可行集与有效集资产

30、组合的机会集合（资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），又），又称可行集，即在资金约束下，可构造出的所有组合的期称可行集，即在资金约束下，可构造出的所有组合的期望收益和风险（方差或标准差）。望收益和风险（方差或标准差）。每一个组合在均方平面上就是每一个组合在均方平面上就是一个点一个点，因此，可行集是一个区，因此，可行集是一个区域。域。有效组合（有效组合（Efficient portfolio ）：）：1、给定风险水平下、给定风险水平下的具有最高收益的组合，的具有最高收益的组合，2、给定收益水平下具有最小、给定收益水平下具有最小风险的组合。风险的组合。有效集（有

31、效集（ Efficient set） ：有效组合的集合，又称为：有效组合的集合，又称为有有效边界（效边界（ Efficient frontier）。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University32两种两种风险资产风险资产构成的组合构成的组合 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，随着投资权重相关系数，随着投资权重w的变化，就构成了

32、可的变化，就构成了可行集。行集。121 12 21 11222222112212122222112212121222221112111212222211121112121(1) 2 2 (1)2(1) (1)2(1)pppwwrw rw rw rw rwww wwww wwwwwwwww CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University3312121211 11 顶部边界：底部边界：其他情

33、形：.将可行的组合标将可行的组合标注在均方平面上注在均方平面上prpCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University347.3.3 两种完全正相关资产的可行集两种完全正相关资产的可行集 命题命题7.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。条直线。 证明：证明：121111212121 1122212121212122212121()(1)()/

34、()()(1) (1) pppppppppwwwwrrw rw rrrrrrrrCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University35若不允许卖空（若不允许卖空（ W0 ），当权重），当权重w1从从1减少到减少到0时时可以得到一条直线段，即为完全正相关的两种风险资可以得到一条直线段，即为完全正相关的两种风险资产可行集。产可行集。11( ,)r22( ,)rprpCopyrightLin Hu

35、i 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University367.3.3 两种完全负相关资产的可行集两种完全负相关资产的可行集 两种资产完全负相关，即两种资产完全负相关，即12 =-1，则有，则有11 1122222p111121112111221p11221p111121221p1121112()(1)()(1)2(1) |(1)|()0()(1)()(1)prww rwrwwwwwwwwwwwwwwwww 当时,当时，当时，

36、CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University37命题命题7.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。其截距相同，斜率异号。证明：证明：21122p111121122212121212122212121()(1)()(1) ppppppwwwwwrrrrrrrr情形 ：CopyrightLin Hui 2005,

37、 Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University3821121121112122212122()(1)() ppppwwwwrrrrrr 情形 ：，同理可证122212r rr 22( ,)r11( ,)rprpCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Na

38、njing University397.3.4 两种不完全相关的风险资产的组合的两种不完全相关的风险资产的组合的可行集可行集11 1122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1pppr wwrw rwwwwwwww 当1时尤其当 时这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University40总

39、结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集（集（W0）11( ,)r22( ,)r122212r rr ppr101 1 CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University41121212121212: (1)1 (2)1,311 一、可行集的弯曲程度取决于相关系数。 随着的，弯曲程度增加当时，弯曲度最小，为一条直线当时，弯曲度最大 呈现折线

40、状 （ ）当，就介于直线和折线之间， 成为平滑的曲线，而且越小减小越弯曲。二、二、在均方平面上，任意两项资产构成的投在均方平面上，任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。资组合都位于两项资产连线的左侧。CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University423种风险资产的组合二维表示种风险资产的组合二维表示 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两一般地，当资产数量增加时，要保证

41、资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。1234prpCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University43 类似于类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。种资

42、产构成的组合的可行集。n种风险资产的组合二维表示种风险资产的组合二维表示prpCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University44不可能的可行集不可能的可行集ABprp可行区域是向左侧凸出的！因为任意两个资产构成的投可行区域是向左侧凸出的！因为任意两个资产构成的投资组合都位于两个资产连线的左侧。资组合都位于两个资产连线的左侧。CopyrightLin Hui 2005, Departmen

43、t of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University457.3.5 风险资产组合的有效集风险资产组合的有效集 均方准则：在可行集中，有些投资组合会明显地均方准则：在可行集中，有些投资组合会明显地优于另一些投资组合，其特点是优于另一些投资组合，其特点是给定风险，预期收益率最大；给定风险，预期收益率最大；给定收益，风险（标准差）最小。给定收益，风险（标准差）最小。 满足这两个条件的资产组合，即为有效组合。满足这两个条件的资产组合，即为有效组合。 由所有有效组合

44、构成的集合，称之为有效集或有由所有有效组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。效边界。 投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。 CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University46prpspGABH 最小风险点最小风险点G 有效前沿：有效前沿：GSGS上的任意点

45、都满足均方准则上的任意点都满足均方准则 非有效组合：非有效组合：GS线右下方的所有区域线右下方的所有区域CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University47总总 结结 两种风险资产的可行集两种风险资产的可行集完全正相关是一条直线完全正相关是一条直线完全负相关是两条直线完全负相关是两条直线完全不相关是一条抛物线完全不相关是一条抛物线其他情况是界于上述情况的曲线其他情况是界于上述情况的曲线 两

46、种风险资产的有效集：左上方的线两种风险资产的有效集：左上方的线 多个风险资产的有效边界多个风险资产的有效边界可行集：月牙型的区域可行集：月牙型的区域有效集：最小风险点以上的左上方曲线有效集：最小风险点以上的左上方曲线CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University487.4 马科维茨模型马科维茨模型 （n项风险资产组合有效前沿）项风险资产组合有效前沿）假定假定1：市场上存在：市场上存在 种

47、风险资产，令种风险资产，令Tnwwww),(21代表投资到这代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：种资产上的财富的相对份额，则有：11niiw且卖空不受限制，即允许且卖空不受限制，即允许0iw 2. 也是一个也是一个n维列向量，它表示每一种资维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益产的期望收益率，则组合的期望收益12( ,)Tnr rrr2nCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjin

48、g University49Tpr w r3.使用矩阵使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有表示资产之间的方差协方差，有111212122212nnnnnn 0注：方差协方差矩阵是正定、注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵非奇异矩阵。所以，。所以，对于任何非对于任何非0的向量的向量a，都有，都有 ，则，则0Taa CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University50221minmin2.

49、.1TTppwwTpTstrwwwww rw 1其中，其中， 是所有元素为是所有元素为1 1的的n n维列向量。维列向量。由此构造拉格朗日函数由此构造拉格朗日函数(1,1,1,1)T11212,1()(1)2TTTpwLr www rw 1CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University511212010TpTLLrL wr10ww rw 1注意到注意到方差方差-协方差矩阵正定，二阶条件自

50、动满足协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件故只要求一阶条件其中，其中， 0=0,0,0（1）（2）（3）CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University52（4）由（由（1）得到）得到121112wr1wr1把（把（4）代入（）代入（2），得到），得到111211121112() ()() TTpTTTTrw rr1 rrr1 rrr1r（5）CopyrightLin Hui

51、 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University5311112TTTTabcdacbrr1rr111为化简，定义为化简，定义把（把（4）代入（）代入（3）111211121() TTTTw 1r1 1r111（6）CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Fina

52、nce, Nanjing University54这样我们就可以将（这样我们就可以将（5）和（）和（6）改写为）改写为12121prabbc22ppabrabracbd解得解得12ppcrbcrbacbd（7）（8）CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University5511ppcrbabrddwr1将（将（7）和（）和（8）代入（）代入（4）得到，给定）得到，给定收益条收益条件下的件下的最优

53、权重向量为最优权重向量为（9）其中，其中，11112,.TTTTabcdacbrr1rr111CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University56最小方差集的几何特征最小方差集的几何特征性质（性质（1）：最小方差集是均方平面上的双曲线）：最小方差集是均方平面上的双曲线111211 1 1pppnppcrbabrddcrbabrdcbrbad wr1r1r1证明：由于证明：由于Copyrig

54、htLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University571211cbcbabbababcdacb根据线性代数的性质有根据线性代数的性质有不妨令不妨令-1-11-1-1TTTTTabbcrrr1dr1r1r111=2-dac bd注意 与区别CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006

55、, Department of Finance, Nanjing University58111pr wr1 d211111111 1 1 11 1 1TppTppTppprrrrrr wwdr1r1 ddr1r1 dd这样，由（这样，由（9）得到的最优权重向量改写为）得到的最优权重向量改写为在得到最优权重的基础上，最小方差为在得到最优权重的基础上，最小方差为（10）dCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanj

56、ing University59121cbbaacbd由于由于（11）2122111 111 (2)ppppppprrcbrrbaacbcrbradd所以所以abbcd 这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（差曲线（min variance curve）。双曲线的中心是）。双曲线的中心是（0，b/c），渐近线为），渐近线为对（对（11）配方得到）配方得到221()ppcbrdcc即即222(/ )11/pprb ccd cppbdrcc证毕证毕.CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Na

57、njing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University61g点是全局最小方差组合点（点是全局最小方差组合点（global minimum variance portfolio point）wg/b c1/cprpCopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University62 性质性质2：全局最小

58、方差点的权重向量为：全局最小方差点的权重向量为1gc1w 证明：由于证明：由于g点是最小方差前沿的一个点，故它点是最小方差前沿的一个点，故它满足（满足（11），即），即2222( )ggggabrcrracb（12）对（对（12）求驻点）求驻点2( )/0ggggrrbcr CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University63所以，所以， 代入（代入（10）得到）得到 /grb c111g

59、gr wr1 d12/11cbb cbaacb r1112201bacbcac 1r1CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University64 注意点注意点wg以下的部分，由于它违背了均方以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这样，全局最准则，被理性投资者排除，这样，全局最小方差点小方差点wg以上的部分（子集），被称为以上的部分（子集），被称为均方效率边界均方效率边界(mean-

60、variance efficient frontier)wgprp 例：假设例：假设3项不相关的资产，其收益的均值项不相关的资产，其收益的均值分别为分别为1，2，3，方差都为，方差都为1，求解有效前，求解有效前沿。沿。=(1,2,3) ,TTprrw r100010001 由题意可知由题意可知1212,()(1)TTTpwLr www rw 1CopyrightLin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing UniversityCopyrightLin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing Universit