2021年中考数学真题分类汇编专题34函数与几何综合问题（word版含解析）

1、 专题34函数与几何综合问题（解答题）一、解答题1（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D若，求证：若，求四边形的面积（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由2（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，连结直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结（1）求的半径和直线的函数表达式（2）求点，的坐标（3）点在线段上，连结当与的一个内角相等

2、时，求所有满足条件的的长3（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为（1）求一次函数的表达式：（2）求点的坐标及外接圆半径的长4（2021·江苏中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，设（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，当时，求线段的长；在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的

3、关系式5（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点、，点在一次函数的图像上（1）如图，在点、中，点M的关联点是_（填“B”、“C”或“D”）；若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_；（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标6（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点

4、（1）求A、B两点的坐标；（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径7（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），顶点为C平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的

5、一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MNCE时，请直接写出点K的坐标8（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标9（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像

6、于点（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；（2）连接、，记、的面积分别为、，设，求的最大值10（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值11（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，连接反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、一次函数的图象经过、两点（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为_12（2021·广西中考真题）如图，在中，

7、于点，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接（1）当矩形是正方形时，直接写出的长；（2）设的面积为，矩形的面积为，令，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点的直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点，求面积的最小值，并说明理由13（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用（理解）（1）如图1，垂足分别为C、D，E是的中点，连接已知，分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；比较大小：_

8、（填“”、“”或“”），并用含a、b的代数式表示该大小关系（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n设，记当时，_；当时，_；通过归纳猜想，可得l的最小值是_请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立14（2021·四川中考真题）已知反比例函数的图象经过点（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CHx轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；若，求证：15（2021·内蒙古中考真

9、题）如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标16（2021·湖南中考真题）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，

10、请说明理由17（2021·湖北中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标； （2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值18（2021·湖南中考真题）已知二次函数（1）若，求方程的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点、，且，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足 ，求证：；

11、连接BC，过点D作于点E，点在y轴的负半轴上，连接AF，且，求的值19（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点（1）如图1，当，且时，求点M的坐标：若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF若，求证：射线FE平分20（湖南省永州市2021年中考真

12、题数学试卷）已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值21（2021·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大求出点P的坐标（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由22（四

13、川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结当的值最小时，求的长23（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等证明上述结论并求出点的坐标；过点的直线与抛

14、物线交于两点证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标24（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为抛物线的顶点坐标记为（1）写出点坐标；（2）求，的值（用含的代数式表示）；（3）当时，探究与的大小关系；（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值25（2021·山西中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，（1）求，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的

15、平行线，交线段于点试探究：在直线上是否存在点，使得以点，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点当时，请直接写出的长26（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”例如都是“雁点”（1）求函数图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）当时求c的取值范围；求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为

16、“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由27（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与y轴交于E点，F是的中点，B、C、D的坐标分别为（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线上；（3）设过F与平行的直线交y轴于Q，M是线段之间的动点，射线与抛物线交于另一点P，当的面积最大时，求P的坐标28（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶

17、点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由29（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点（1）求抛物线的表达式；（2）当，连接，求的面积；（3）是轴上一

18、点，当四边形是矩形时，求点的坐标；在的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值30（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和（1）求抛物线的对称轴（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线求抛物线的解析式设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点设点的横坐标为是否存在点，使得以点，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由31（2021·江苏中考真题）如图，二次函数（是实数，且）的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点，已知点位于

19、第一象限，且在对称轴上，点在轴的正半轴上，连接并延长交轴于点，连接（1）求、三点的坐标（用数字或含的式子表示）；（2）已知点在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求的值32（2021·贵州中考真题）如图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；（3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存

20、在，请说明理由33（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接（1）若，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由34（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标

21、与纵坐标相等，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围35（2021·湖北中考真题）如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成（1）填空：当时，_；_；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当时，请直接写出x的取值范围36（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点（1）求二次函

22、数的表达式；（2）求顶点的坐标及直线的表达式；（3）判断的形状，试说明理由；（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值37（2021·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且线段的长是方程的根，过点作轴，垂足为，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发，沿线段向点运动，到达点停止过点作轴的垂线，垂足为，以为边作正方形，点在线段上，设正方形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒（1）求点的坐标；（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（

23、3）当点落在线段上时，坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由38（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期） 专题34函数与几何综合问题（解答

24、题）一、解答题1（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D若，求证：若，求四边形的面积（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，4，9，1【分析】（1）等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明；添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则；（2）分多钟

25、情况进行讨论：当点C在第二象限内，时；当点C在第二象限内，时；当点C在第四象限内，时【详解】解：（1）证明：如图1，而，如图1，过点A作于点H由题意可知，在中，设，解得，：（2）过点A作于点H，则有如图2，当点C在第二象限内，时，设，又，整理得，解得如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G，则，又，而，当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有(a)如图4，点B在第三象限内在中，又，而，(b)如图5，点B在第一象限内在中，又，而，综上所述，的长为，4，9，1【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强在题中已知两个三角形相似时，要分情

26、况考虑2（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，连结直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结（1）求的半径和直线的函数表达式（2）求点，的坐标（3）点在线段上，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长【答案】（1）半径为，直线的函数表达式为；（2）点为，点为；（3）5，10或【分析】（1）由，确定点为，再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法可直接得到直线CM的函数表达式；（2）先作辅助线构造相似三角形，求出，即可得到点为，点为；（3）先作辅助线，得到，再分三种情况讨论，通过作轴于点，证出点为符合条件的点，再分别讨论当时

27、和时的情况，分别得到和的值，最后完成求解【详解】解：（1），为的直径，点为，半径为设直线的函数表达式为把，代入得，解得直线的函数表达式为；M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为（2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1）， ，且，点为点，关于点对称，点为（3）作轴于点，分三种情况（如图2）：作轴于点，即点为符合条件的一个点当时，（），当时，,，综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、圆、待定系数法求函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，要求学生根根据题意找到相等关系建立方程求解，本题综合性很强

28、，对学生的分析能力要求较高，解决本题的关键是能通过作辅助线构造相似三角形以及牢记相关概念、性质和公式等，本题蕴含了分类讨论的思想方法3（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为（1）求一次函数的表达式：（2）求点的坐标及外接圆半径的长【答案】(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为【分析】(1)过D点作DEy轴交x轴于H点，过A点作EFx轴交DE于E点，过B作BFy轴交EF于F点，证明ABFDAE，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解；(2)联立

29、一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，RtCPD外接圆的半径即为CP的一半【详解】解：(1)过D点作DEy轴交x轴于H点，过A点作EFx轴交DE于E点，过B作BFy轴交EF于F点，如下图所示：与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，DH:OA=1:4，设，则，ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90°，BAF+EAD=90°，BAF+FBA=90°，FBA=EAD，在ABF和DAE中： ,ABFDAE(AAS)， 又，解得(负值舍去)，代入中， ，解得 ，一次函数的表达式为；(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，整理得

30、到：，解得 ，点的坐标为；D点的坐标为（4,1）四边形ABCD为正方形，且，在中，由勾股定理：，又CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，CPD外接圆的半径为【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标4（2021·江苏中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，设（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，当时，求线段的长；在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过的

31、中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式【答案】（1）；，h最大值=；（2）【分析】（1）过点F作FMBC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM =，CM=，进而即可求解；由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案；（2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：当0m时，当m时，分别

32、求解即可【详解】解：（1）过点F作FMBC，交BC的延长线于点M，在等腰直角三角形中，AE=FE，在正方形中，B=90°，BAE+AEB=FEM+AEB，BAE=FEM，又B=FME，FM=BE=，EM=AB=BC，CM=BE=，CF=；BAE=FEC，B=ECP=90°，即：，CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，GAB=QAD，GB=DQ，EAF=45°，BAE+QAD=BAE+GAB=90°-45°=45°，即：GAE=EAF=45°，ABG=ABE=90°，B、G、E三点共线，又AE=

33、AE，EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，在中，即：，DQ=，EQ= DQ+BE=+m=，QP=1-()=，即：×(1-m)= ×h，=，即m=时，h最大值=；（3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，直线m过AB的中点且垂直AB，直线m的解析式为：x=，过点F作FMx轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，F(1+m，m)，设AE的解析式为：y=kx+b，把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，AE的解析式为：y=x+1，同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，当0m时，如图

34、，G(，)，N(，m-m2)，y=-(m-m2)=，当m时，如图，G(，)，N(，)，y=-=，综上所述：【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键5（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点、，点在一次函数的图像上（1）如图，在点、中，点M的关联点是_（填“B”、“C”或“D”）；若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_；（2）若在线段上存在点

35、Q的关联点，求实数m的取值范围；（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标【答案】（1）B；（2）或；（3）或【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可【详

36、解】解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，即顺时针旋转时，解得：，即关联点，或逆时针旋转时，解得：，即关联点，即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，（1）由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点

37、；故答案为：B；由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或， 若，解得：，此时即点，不在线段上；若，解得：，此时即点，在线段上；综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点故答案为：；（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，又因为点在一次函数的图像上，即：，点在线段上，点、，当， 或，当；综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点 （3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，又因为在一次函数的图像上，即：，点，若，解得：，即点，若，解得：，即点，综上所述：或【点睛】本题主要考查了坐标的旋

38、转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解6（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-80；（3）4【分析】（1）根据一次函数的图象与性质即可求出A、B两点的坐标；（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；（3）根据圆周角性

39、质可得，由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果【详解】解：（1）当时，解得，A（-8，0）当时，B（0，4）（2）A（-8,0），点P在直线上，点P在第二象限，0，且0解得-80；（3）B（0，4），为的外接圆，设，则当最小时，的面积最小当时，有最小值，且为的直径即的半径为4【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键7（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系

40、中，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），顶点为C平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MNCE时，请直接写出点K的坐标【答案】（1）；（2）F（-4，3），（3）【分析】（1）根据待定系数法将点A（1，0），

41、B（0，3）代入抛物线yx2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；（2）根据新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；（3）由，MNCE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列方程求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标【详解】解：（1）

42、由抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），得： ，解得：，原抛物线对应的函数表达式为：；（2）由（1）得：原抛物线为：，故顶点C坐标为 新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，新抛物线对应的函数表达式为：，即：故新抛物线顶E点坐标为，与y轴交点G坐标为，以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为时，点F坐标为，即，根据平移性质可知：一定在原抛物线；当平行四边形为时，点F坐标为，即，此时；故不在新抛物线上，综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是时，F的坐标为；

43、（3），MNCE，M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，解得： ，即M点坐标为，点N坐标为，设直线MN解析式为，解得：，即：，故直线MN与y轴交点K坐标为【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键8（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B（1）求反比例函数的表达式；（2）

44、过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标【答案】（1）；（2），点C的坐标为【分析】（1）先求出A点坐标，再用待定系数法即可求解；（2）根据已知条件求出B坐标，再求出D的坐标，然后用待定系数法求出解析式，再联立解析解出即可【详解】（1）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：a2，故，将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k6，故反比例函数表达式为：y（x0） ；(2)是以为底的等腰三角形，设一次函数AD的表达式为：ykx+b 得： 解得：解析式为：联立反比例函数和直线AD的解析式得解得（舍去）或点C的坐标为【点睛】本

45、题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，要注重数形结合，把函数转化成方程，体现了方程思想，综合性较强9（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；（2）连接、，记、的面积分别为、，设，求的最大值【答案】（1），D点横坐标为；（2）【分析】（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，

46、求函数的最大值即可【详解】解：（1），A点横坐标为1,A点在一次函数的图像上，,A点也在反比例函数图像上，反比例函数解析式为：，直线轴，D点纵坐标为t，D点在直线l上，D点横坐标为，综上可得：，D点横坐标为（2）直线轴，交于点，交图像于点，E点纵坐标为t，将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，A点到DE的距离为，轴于点，当时，最大=；的最大值为【点睛】本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含

47、了数形结合的思想方法等10（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值【答案】【分析】先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案【详解】解：把代入，得轴，点横坐标为把代入，得点为的中点，点在直线上，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待

48、定系数法是解本题的关键11（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，连接反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、一次函数的图象经过、两点（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为_【答案】（1）, ；（2）【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求【详解】（1） 四边形是矩形， 为线段的中点 将代入，得 将，代入，得： ，解得 （2）如图

49、：作关于轴的对称点，连接交轴于点P当三点共线时，有最小值，设直线的解析式为将，代入，得，解得令，得 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键12（2021·广西中考真题）如图，在中，于点，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接（1）当矩形是正方形时，直接写出的长；（2）设的面积为，矩形的面积为，令，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点的直线

50、分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点，求面积的最小值，并说明理由【答案】（1）；（2）；（3）6【分析】（1）直接根据等腰直角三角形性质及正方形性质可以得出：，进一步计算即可；（2）先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出，代入化简即可；（3）设l：，则，当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，列出面积的表达式求解即可【详解】解：（1）根据题意：可知均为等腰直角三角形，则，DC=8，AC=，；（2）四边形EFGH为矩形，在中，；（3）由（2）得P在上，设l：，则，当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，令，得，则，【点睛】本题主要考查正方形性质，矩形的性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，反比例

51、函数与一次函数综合问题，能够根据题意列出相应的方程是解决本题的关键13（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用（理解）（1）如图1，垂足分别为C、D，E是的中点，连接已知，分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；比较大小：_（填“”、“”或“”），并用含a、b的代数式表示该大小关系（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n设，记当时，_；当时，_；通过归纳猜想，可得l的最小值是_请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立【答案

52、】（1），=；，；（2），1；l的最小值是1，理由见详解【分析】（1）先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；（2）把m，n的值直接代入=进行计算，即可；过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论【详解】解：（1），ACD+A=ACD+BCD=90°，即：A=BCD，又ADC=CDB=90°，即：，即：（负值舍去），E是的中点，=；，即：故答案是：；（2）当时，=，当时，=，故答案是：，1；l的最小值是：1，理由如下：由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，=（的面积+的面积）+的面积+（的面积+的面积）+（的面积+的面积+的面积 +的面积）= （的面积+的面积）+（的面积+的面积）+（的面积+的面积）