2017-2018学年高中数学第二章参数方程一1参数方程的概念教学案新人教A版选修4-4

1、1 .参数方程的概念1 参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x,y都是某个变数t(0,0,)的函数：x=f t，并且对于每一个t的允许值，方程组所确定的点(x,y)都在这条曲线y=g t上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程，t叫做参数 相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程.2参数的意义参数是联系变数x,y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明_显实际意义的变数.对应学生用书 P15era参数方程表示的曲线上的点x = 3t例 1已知曲线C的参数方程是2(t为参数)|y= 2t2+ 1(1) 判断点M(O,1) ,M(5,4)与曲线C的位置关系

2、.(2) 已知点M(6 ,a)在曲线C上，求a的值.思路点拨由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上.解(1)把点M的坐标(0,1)代入方程组，得:解得：t= 0. 点M在曲线C上.同理：可知点M不在曲线C上.6= 3t,0 = 3t,21 = 2t+ 1.2点M(6 ,a)在曲线C上， *2a= 2t2+ 1.3解得：t= 2,a= 9.a= 9.片法片法- -规律规律卜结卜结-参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断， 与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的.【x=t+1，1.已知点M2 , 2）在曲线Cit（t为参数）

3、上，则其对应的参数t的值$= 2为_.1解析：由t+ - = 2 知t= 1.答案：1fx= 1 + 2t,2.已知某条曲线C的参数方程为2（其中t为参数，a R）.点M5,4）在iy=at该曲线上，求常数 a.解：点M5,4）在曲线C上,5= 1 + 2t,t= 2,十2解得：4 =at,|a= 1.a的值为 1.例 2如图，ABP是等腰直角三角形，/B是直角，腰长为a, 顶点B A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数 方程.思路点拨此类问题关键是参数的选取.本例中由于A、B的滑动而引起点P的运动,求曲线的参数方程4故可以0B的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角

4、为参数来求解.解法一：设P点的坐标为（x,y），过P点作x轴的垂线交x轴于Q如图所示，则Rt0A4RtQBP5取0B= t,t为参数(0vtva). | OA=a-12,I BQ=a2-12.点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0vtva).Q如图所示.取/QBP=0,0为参数iOv0v-2,n则/ABO=20.在 Rt OAB中A、|OB=acos i亍0 =asin0.在 RtQB冲，|BQ=acos0 ,|PQ=asin0.点P在第一象限的轨迹的参数方程为x=ag丨Fl 0 +cos0y=asin0.方法方法规律规律小结小结 1求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设Mx,y）是轨

5、迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何 条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x,法二：设点P的坐标为（x,y），过点P作x轴的垂线交x轴于点y0为参数,6y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离 某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.第三步，根据已知条件、 图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的 函数关系式，证明可以省略.7r tx= 2,2.若点 R4

6、 , a）在曲线 S2y= 2/A. 4C. 8（t为参数）上，则a等于（）B. 4 2D. 13 设质点沿以原点为圆心，半径为2 的圆作匀角速度运动，角速度为nrad/s，试以60时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t= 0，设动点x=2cos0 ,对应时刻t，由图可知：y=2sin0 ,又0=臥t,故参数方程为:-nx= =2cos60t，尸尸2sin埶埶一、选择题1.下列方程可以作为X=t2+1A.1y= 0 x=1+sin0C.y= 0应用扇顿御对应学生用书 P16x轴的参数方程是（）x= 0B/iy= 3t+ 1x= 4t+ 1y= 0解

7、析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.答案：D6 下列各参数方程与方程xy= 1 表示相同曲线的序号是84 =；,=8,解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得12， =2屮? 卫=4孕答案：Bx=sin0 ,3.在方程c（0为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（y=cos 201 2A. (2 , 7)B(33)1 1C（2，2）D. (1,0)解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出0，则点在曲线上，经检验，知 C 满足条件.答案：C4.由方程x2+y2 4tx 2ty+ 3t2 4= 0（t为参数）所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为（）x=2ty=tx=2tD. +y= t解析：设

8、(x,y)为所求轨迹上任一点.2 2 2由x+y 4tx 2ty+ 3t 4 = 0 得:2 2 2(x 2t) + (yt) = 4 + 2t.x= 2ty=t.答案：A二、填空题x=2sin0 +1,5.已知曲线iy=sin0 +3F列各点A（1,3） ,B（2,2） ,q 3,5），其中在曲线上的点是解析：将A点坐标代入方程得：0= 0 或n,将B C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上.答案：A（1,3）x= 2tA. 1y=t(0为参数，OW 0V2n).C.9解析：普通方程中，x,y均为不等于 0 的实数，而中x的取值依次为：0，+g) , 1,1 , 1,1，故均不正确，而中

9、，x R,y R,且xy= 1,故正确.答案：7.动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9 和 12,运动开始时,点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为 _ .解析：设Mx,y),则在x轴上的位移为：x= 1 + 9t,在y轴上的位移为y= 1 + 12t.x= 1 + 9t,参数方程为：|y= 1+ 12t.x= 1 + 9t答案：|y= 1 + 12t三、解答题2 2 _&已知动圆x+y 2axcos0 2bysin0= 0(a,b是正常数，且azb,0为参数), 求圆心的轨迹方程.解：设P(x,y)为所求轨迹上任一点.2 2由x+y 2axcos0 2bysin

10、0= 0 得：2222小.22小(xacos0)+(ybsin0)=acos0 +bsin0 x=acos0 ,y=bsin0.这就是所求的轨迹方程.9.如图所示，0A是圆C的直径，且OA=2a,射线0B与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQLOA PB/ OA试求点P的轨迹 方程.解：设P(x,y)是轨迹上任意一点，取/DO食0,由PQL OA PB/ OA得2 2x=t2广Xx= sinty= t2，y= csctx= costy= sectx= tan:y= cot6 下列各参数方程与方程xy= 1 表示相同曲线的序号是10 x=OD= OQos0 =OAcos0 =2acos0 ,y=AB= OAan0 =2atan0.11所以P点轨迹的参数方程为x=2acos20,y=2atan0 ,io.试确定过MO,I）作椭圆x2+鲁=1 的弦的中点的轨迹方程.解：设过M0,1）的弦所在的直线方程为y=