2018年全国高考卷数学理科试题及复习资料

1、1 / 92018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2i1 -1 2i绝密启用前注意事项:43.43.3 4.34A.iB.iC.iD.55555 5552已知集合A2 2x,y x yW3,x Z,yZ ，则A中兀素的个数为4A. 9B . 8C. 5D3 .函数 f xxxe e-2的图像大致为x1，贝 U a (

2、2a b)A. 4B .32 25 .双曲线1( a0,b 0）的离心率为a bA. y、2xB .y3x,C56 .在AABC中，cos BC 1 AC25A. 4.2B .30C. 2D .03，则其渐近线方程为C应C. yx2D. y3x25，贝 UABC.29D. 2 5ABC4.已知向量a, b 满足|a| 1 , a b2 / 9f(1) f(2)f(3)f(50)1D.-4数可以表示为两个素数的和”，如30 723.在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是1111A .BC .D . 一121415189.在长方体 ABCDA B1GD1中，AB

3、BC1 ,AA. 3，则异面直线 AD1与 DB!所成角的余弦值为A .1B_5C .D565210 .若 f(x) cos xsin x 在 a, a是减函数， 则a的取大值疋nn3nA.4B.2C .4D.n8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶11已知 f（x）是定义域为（）的奇函数，满足 f（1 x）f (1 x).若 f(1) 2，则x 2y 50 ,14 .若x,y满足约束条件 x 2y 30，贝yz xy 的最大值为x 50,1）在点（0,0）处的切线方程为13.曲线 y 2ln(x1 1 17 为计算 S 1 -234则

4、在空白框中应填入A.i i 1B.i i 2C.i i 3D.i i 41991100，设计了右侧的程序框图,A.50C. 2D . 502 212 .已知F1,F2是椭圆C:笃每1(abab0）的左，右焦点，A是 C 的左顶点，点P在过A且斜率为一3的直线上,6 PF1F2为等腰三角形,F1F2P 120，贝yC 的离心率为二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。3 / 915 .已知 sin a cos31, cos a sin30，贝 V sin（ a3） _.16已知圆锥的顶点为 S，母线 SA, SB 所成角的余弦值为7, SA 与圆锥底面所成角为 45若SAB的8

5、面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为 _ .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（ 12 分）记 Sn为等差数列 的前n项和，已知印7 , S315 .（）求%的通项公式；（2）求 2，并求Sn的最小值.18.（ 12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量 t 的两个线性回归模型.根据 2000 年至 20162000

6、2001 2002 202O(U 2005 2006 200：2008 2009 2010 2011 2012 2013 20U 20152016年份泗4 / 9年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2，17）建立模型：? 30.4 13.5t ;根据 2010 年 至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2,，7 ）建立模型：? 99 17.5t .（1） 分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19.（ 12 分）设抛物线 C： y 4x 的焦点为F，过F且斜率为 k（k 0）的直线 l 与

7、 C 交于A,B两点，I AB| 8 .（1）求 I 的方程；（2）求过点A，B且与 C 的准线相切的圆的方程.5 / 920.（ 12 分）如图，在三棱锥 P ABC中,AB BC 2 2 , PA PB PC AC(1) 证明：PO 平面 ABC ;(2) 若点M在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30，求 PC 与平面(2)若 f(x)在(0,)只有一个零点，求a.(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,22.选修 4 4:坐标系与参数方程(10 分)x 2cos0，在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为(0为参数)y 4sin0

8、x 1 t cosa，-.(t 为参数).y 2 tsina(1)求 C 和 I 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 I 的斜率.23.选修 4 5 :不等式选讲(10 分)设函数 f (x)5 | x a | | x 2| .(1)当 a 1 时，求不等式 f(x) 0 的解集;(2)若 f(x) 1，求a的取值范围.参考答案：一、选择题21 .（ 12 分）4， O 为 AC 的中点.PAM所成角的正弦值.已知函数 f(x)2ax .（1）若 a 1 , 证明：当 x 0 时，f (x) 1 ;则按所做的第一题计分。，直线 l 的参数方程为C6

9、 / 91.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、 填空题13.y 2x14.915. -16.40、2n2三、 解答题17. （12 分）解：（1）设an的公差为 d,由题意得3a13d 15.由a17得 d=2.所以an的通项公式为an2n 9.2 2（2）由（1）得Snn 8n （n 4）16.所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为-16.18. （12 分）解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为?30.4 13.5 19226.1（亿元）.利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为? 99

10、17.5 9256.5（亿元）.（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.4 13.5t上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至2016 年的数据建立的线性模型y 99 17.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础

11、设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元7 / 9的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19. （12 分）8 / 9解：(1)由题意得F(1,0), l 的方程为y k(x 1)(k0).设A(xi, yi), B(X2, y2),由2k(x得k2x2y24x(2k24)xk20.216k2160，故捲X22k2所以| AB | | AF |BF |(Xi

12、1) (X21)4k24由题设知k28，解得k1(舍去)，1.因此 I 的方程为y(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3, 2)，所以 AB 的垂直平分线方程为y 2 (x3)，即y x 5.设所求圆的圆心坐标为(沧，y0)，则yx 5,2(x01)2(y0 x01解得16. y。3,或2x 11,y。6.因此所求圆的方程为(x3)2(y 2)216或(x 11)2(y 6)2144.20.(12 分)解:( 1)因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OP连结OB.因为ABBC2AC， 所以ABC为等腰直角三角形2且OBAC，OB1AC :2.2由OP22OB PB2知POOB.由OPOB

13、,OPAC知PO平面ABC.(2)如图，以 O 为坐标原点,AC，且OPOB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O2.3.xy z.9 / 9由已知得0(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0),C(0,2,0), P(0,0,2 .3), AP (0,2,2,取平面PAC的法 向量OB设平面PAM的法向量为n (x,y,z).(12 分)(2,0,0).设M(a,2a,0)(0 a 2)，则(a,4 a,0).由AP n 0,AM n 0得2y 2 3z 0，可取ax (4 a)y 0n(二(a 4),、.3a, a),所以cos：.2T3(a 4)2&a 4)23a

14、2a2.由已知得| cos0B,n,|所以2 . 3 |a 4|所以所以_ 二晅解得a2,3(a 4)23a2a228.3 4.34、p,).乂33(0,2,(舍去)，2.3)，所以cos：. PC,PC与平面PAM所成角的正弦值为-4【解析】1时，f(x) 1等价于(x21)ex1设函数g(x)x21)ex1，则g(x)(x22x 1)ex(x 1)2e当x 1时,g(x)0，所以g(x)在(0,)单调递减.而g(0)0,故当x0时，f(x) 1.10 / 9故h(x)在(2,4 a)有一个零点，因此h(x)在(0,综上，f(x)在(0,)只有一个零点时,22.选修 4-4:坐标系与参数方程

15、(10 分)2【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为x y1.4 16当cos0时，l的直角坐标方程为ytan x 2 tan当cos0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将|的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(1 3cos )t 4(2cos sin )t 80.因为曲线C截直线I所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为(2)设函数h(x) 1 ax2ex.f(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点.(i)当a 0时，h(x) 0,h(x)没有零点;(ii)当a 0时，h(x) ax(x 2)ex.当x (0,2)时，h(x)0；当x (2,)时，h(x)0.所以h(x)在(0, 2)单调递减，在(2,)单调递增.故h(2)14a岁是h(x)在0,e)的最小值.若h(2)e2-,h(x)在(0,4)没有零点;若h(2)2-,h(x)在(0,)只有一个零点;若h(2)2-，由于h(0)4，所以h(x)在(0,2)有一个零点,由(1 )知，当x0时，exx2，所以h(4a)16a316a31孑1h16a3)有两个零点.1