2018年高考数学专题08函数与方程热点题型和提分秘籍理

1、专题 08 函数与方程1 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。热点题型一判断函数零点所在的区间例 1、【2017 课标 3,理 11】已知函数f (x) = x2-2x+ a(ex，壮*)有唯一零点，则a=1A. B C. D. 12 32、仁J J【答案】C【解析】国数的零点満足2葢=-(严+矿询)，|2( 1=1) |设(町=戶+产=则) =严-严严-点=,当(兀)=0时，丸=1,当:ccl时，g gf f(x)Q,(x)0,函数gg单调递増，当筑=1时，函数取得最小值g (1) =

2、2；设h x =x2-2x，当x =1时，函数取得最小值-1,若-a0-a0t t函数內(对与函数厢(兀)没有交点当-40,X1)=1-0=10?人 2)二 1 一沁 2= 10,由加讯 2)0 知选 Co答案：C热点题型判断函数零点的个数例 2、函数f(x) = 2x|logo.5X| 1 的零点个数为()A. 1C. 3解析:函数f(x) = 2x|logo.5x| 1 的零点即 2x|logo.5X| 1 = 0 的解，即 |logo.5X| =1x的解,(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。故选 Bo作出函数g(x) = |logo.5x|和函数

3、h(x)=3f(a) f(b)v0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。【举一反三】函数f(x) =xcos2x在区间0,2n上的零点的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5n解析：令f(x) =xcos2x= 0，得x= 0 或 cos2x= 0,故x= 0 或 2x=kn+ ,k Z 即x= 0kn或x=2+；,k Z。又x 0,2n，故k可取 0,1,2,3，故零点的个数有

4、 5 个。答案：D热点题型三函数零点的应用例 3. 4.【2017 课标 1,理 21】已知函数f (x) = ae2x(a 2)exx.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)0,1.【解析】/(力的走义域为(TO.WO, f (力二加忑+(4-2)於一 1 =(一 1)(站+1),Ci i ) )若0则fg,所以于在(Y他单调递减.(ii)若 aAO,贝 U 宙/,(X)=0X= -1D3,当厂 11W3)时，f fT T(x)(x) 00,所以 J(力在单调递 赢 在卜他)单调递増.(2) (i)若aO，由(1)知，f

5、x至多有一个零点.(ii)若a 0，由(1 )知，当x - -Ina时，f x取得最小值，最小值为1f -lna=1=1lna.a当a=1时，由于f：i.Tna=0，故f x只有一个零点;412当a 1：时，由于1lna . 0,即f -Ina 0，故f x没有零点；a13当a0,1时，1一 一Ina：0,即f Ina : 0.a又f -2二ae* a-2 e，2-2e，20，故f x在-:：，-1 na有一个零点.设正整数n0满足n0.In3-1，则2 丿f n二en0aen0a_2 _n0e0_n- 2 -n0.由于In 1-Ina，因此f x在-Ina,：有一个零点.la丿V综上，a的取

6、值范围为0,1.【提分秘籍】 函数零点的应用问题类型及解题思路(1) 已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步:判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围。(2) 已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法。借助函数零点比较大小。要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a) f(b)与 0 的大【举一反三】已知函数f(x) =ax3- 3x2+1,若f(x)存在唯一的零点A. (2,+s)B.(1,+s)C. (-3-2) D.(-a, -1)解析：由题意知f(x) = 3ax2-6x= 3x(ax-2)，当

7、a= 0 时，不满足题意.当a0时，令2f(x)=o,解得x=0或x=a，当a0时，f(x)在(-a，时，f(x)在 一o,a,(0, +m)上单调递减，在：，0 上单调递增，要使f(x)存在唯一的 零点X。，且X00，则需f丿0，即ax 3x1 0,解得av- 2,故选 C0,a上单调递减.又f(0) = 1,此时f(x)在(-3,0)上存在零点，不满足题意；当av0X0,且X00，贝Va的取值范围是(0)，唱，+：上单调递增，在5答案：C61.【2017 课标 3,理 11】已知函数f (x) =x2-2x a(exJ- e1)有唯一零点，则a=B.D. 1【答案】C【解析】 函数的零点满

8、足2x.x；-1x -2x = -a e e，x 1. x 1x _1_X；!1X_1设g(x) = e +e，贝卩g (x) = e -e =ee2xJ-1当g gx =0时，x = 1，当x : 1时，g x : 0,函数g x单调递减,当x 1时，g x 0，函数g x单调递增，当x =1时，函数取得最小值g 1 =2,2设h xi；=x -2x，当x =1时，函数取得最小值-1,若-a0-a0t t函数山(对与函数厢(乂)没有交点，当-*0时-弦二力时/此时国数凤刘和弦(兀)有一交点 即-a2=-a2=l lf f解得= i.故选C一2.【2017 课标 1,理 21】已知函数f (x

9、) =ae2x (a-2)ex-X.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】( (1)见解析；( (2)0,1.【解析】( (1)f x的定义域为：,f x =2ae2xa-2 ex-1二aex-1 2ex1,(i)若a岂0，则f fx 0,所以f x在-:：，七单调递减.(ii)若a 0，则由f x = 0得x x = =Tna.7当x x -,-,na时，f x : 0；当I lna,牡却时，x广0，所以f x在:;:一-1 na单调递减，在-Ina,：；单调递增.(2) (i)若a _0，由(1)知，f x至多有一个零点.(ii)若a 0，由(

10、1 )知，当x x = =na时，f x取得最小值，最小值为f Ina =1一 丄Ina.a当a=1时，由于f：；：lna=O，故f x只有一个零点;当当1a 1, 时，由于1 In a 0，即f -Ina 0，故f x没有零点；a1a 0,1时，1 In a：0,即f一1 na：0.a又n.-2 =ae a - 2 e， 2 -2e 2 0，故f x在-：，-1na有一个零点.设正整数no满足n0In3-1，则la丿n。n。n0f n0=e ae a-2;-n0e -n0牡辽有一个零点.f3、由于In i 1-Ina，因此f x在-Ina,3 丿AVS综上，a的取值范围为0,1.心V1I r

11、 I x xx 毛 D3【2017江苏,是疋义在R且周期为1的函数，在区间0,1)上,f(x)=(x, xD,其中集n_A合 D 绘x|x=-,n N*、，则方程 f(x)-lgx=O 的解的个数是 _n【答案】8【解析】由于f(x)0,1)，则需考虑 仁x：10的情况在此范围内，xQ且xZ时,设x =q, p,qN*, p -2，且p,q互质若lg Q，则由lg x，(0,1)，可设Pnlg x =n,m,n N*,m -2，且m,n互质因此10m，则10n=召广，此时左边为mPP89整数，右边非整数，矛盾，因此lg X F Q。因此lg x不可能与每个周期内xw D对应的部分相等，只需考虑

12、lg x与每个周期x-D的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外1,0其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D的部分，且x = 1处【答案】D【解析】函数仏)二仗-护在- Z 刀上是偶函数，其團像关于 y 轴对称因为/= 8-eO8-eaf(-J2)，则a的取值范围是 _.【答案】(丄-)2 2【解析】由题意f(x)在(0,=)上单调递减，又f (x)是偶函数，则不等式f(2Z)f(-V2)可化为f (2心)Af(72)，则2|a V2,|a1以,解得丄ac3.2 2 2(lgx)-1xln101lnW:1，则在x =1附近仅有一个交点,因此方程f x -lgx = 0的解的(C)个数为

13、8.(A)(D)10 - 2x (4a3)x 3a, x：0,loga(x 1) 1,X一0 JLV*若f (x)无最大值，则实数a的取值范围是【答案】2,(：，-1).【解析】如虱作出的数 ffC=-3x 与直线的图象，它们的交点是&7 窃 OCOQ 少 Q-2),由牙 3 = 3 壬-3,知“1 是固数刃刃的极小值点,由图象知当& 2-1 时，/英有最犬值/(-1) = 6 只有 -I 时，-3a-3a 0,且1) 在R 上单调递减，且关于x的方程| f (x) | = 2一x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()2(A) (0,23【答案】C(B)1(C)丄,31

14、 2(D)丄,2333)H-4【解析】由f (x)在R上递减可知3一4a-03a _1,0：a :133汰二，由方程|f(x)-x恰好有两个不相等的实数解，可知3a乞2丄一仁2,1乞a乞二a332，又L13a=-a=-时，抛物线42y =x (4a -3)x 3a与直线y = 2 - x相切，也符合题意，.实数a的去范围是,2U3故选C.3 344.【2016 年高考北京理数】设函数f (x)若a = 0，贝U f (x)的最大值为jX33X,x Ea-2x,xa当0 时，/(x) =:f由豳可知能的最大值亠 2,11x x V a【2015 高考湖南，理 15】已知f（x）2，若存在实数x

15、, x a有两个零点，则a的取值范围是【答案】（-二，0）（1,：）【解析】分析题意可知，问题等价于方程x3=b（x込a）与方程x2=b（x - a）的根的个数和为2，F 1b3Ma若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组伍a有解，二a2vbca3，从而* b兰aa 1;若方程x3=b（x乞a）无解，方程x2=b（x a）有 2 个根：则可知关于b的不等式组1b a有解，从而b aa0 0,综上，实数a的取值范围是（汽0）（1,=：）.b，使函数g(x)二f (x) -b12” 0,0【2015 高考江苏，13】已知函数f（x）=|l nx|,g（x）=2,则方程Jx -4|-2,XA11

16、3| f (x)g(x)| = 1实根的个数为【答案】4【解析】由題意得:求函数y=fWyy=fWy=i-W 交点个数臥及函数与 y1-并交点个数之和,因为-蓟 0 彳 7-I1,x2,x2丿所以函数(町与 y=l-(jc)有两个交点又昶 0=S-xx2S-xx2，所以函数 J-/OT 与忖-1-呂有两个交点，因此共有 4 个交点X 一 1 x 2x1已知函数f(x) =x+ e (x 0),可得a(3,(2 014 天津卷)已知函数f(x) = |x2+ 3x| ,x R.若方程f(x) a|x 1| = 0 恰有 4 个互异a的取值范围为_ .【答案】(0,1)u(9,+3)才 zKp【解

17、析】在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x 1|的图像如图所示当y=a|x 1|厂2 cax+a= x 3x,整理得x+ (3 a)x+a= 0,贝U= (3a0,2 2 . .a) 4a=a 10a+ 9 = 0,解得a= 1 或a= 9.故当y=a|x 1|与y=f(x)的图像有四个交点时，0a9.(2014 湖南卷)y轴对称的点，则1A. (3)寸 ea的取值范围是()B - ( m,e)-e，【答案】BC.D.e，1e【解析】 依题意,的实数根，则实数与y=f(x)的图像相切时，由答案：C14(2014 浙江卷)已知函数f(x) =x3+ax2+bx+c,且 0f( 1) =f

18、( 2) =f( 3) 3,则( )A.c3 B.3cw6C. 69【答案】C1 +ab+c= 8+ 4a 2b+c,【解析】由f( 1) =f( 2) =f( 3)得?8+ 4a 2b+c= 27 + 9a 3b+c7+3ab=0,a=6,32?贝Uf(x)=x+6x+11x+c,而 0f(1)w3,故 06+cw3,195a+b=0|b=11,6cw9,故选 C.(高考冲剌11汀2的零点为X。，则X。所在的区间是(解析：If(x) = lnx ) 2在(0,+)上是增函数,f(2) = ln2 100,Xo (2,3)，故选 C.答案：C2 22.方程|x 2x| =a+ 1(a0)的解的

19、个数是( )已知函数f(x) = Inx1. A.(0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)又f(1) = ln1 1=ln1 20,15o2而y= |x 2x|的图象如图，2 2 y= |x 2x|的图象与y=a+ 1 的图象总有两个交点.答案：Bx3. 已知函数f(x) = e +x,g(x) = lnx+x,h(x) = Inx 1 的零点依次为a,b,c,则()A.abcB.cbaC. cabD. bac解析：Tea= a,.a0,0b1,故选 A.答案：A/ 14.已知函数f(x) = (：)x cosx，则f(x)在0,2n上的零点个数为()4/yA. 1B. 2C

20、. 3D. 4 -1 11解析：函数f(x) =(4)X cosx的零点个数为(4)X cosx= 0?广=cosx的根的个数，即函1数h(x) =(4)x与g(x) = cosx的图象的交点个数，如图所示，在区间0,2n上交点个数为 3, 故选 C.A. 1B. 2解析：(数形结合法).2-a0，a+11.答案：C16-2-3L175设定义在 R 上的函数f(X)是最小正周期为 2n的偶函数，f(X)是f(X)的导函数，当X 0，n时，0f(x)0，则函数y=f(x)sinx在2n, 2n上的零点个数为()A. 2B. 4C. 5D. 8解析：以 Q 是最小正周期为加的偶函数用+ 2 兀)二

21、金尸虫-心二尸用)的團象关于轴和直线尸江 对称，寸，少丸今寸，于何0_同理，扌T0,又 TXxG 时gWG的犬致图象如图所示又国数尸妙-sta 在-2 眄加上的零点个数 Q 国数尸汛推-兀加 1)与 y 二血砲-加，血 J)團象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选政6.函数f(x) =x cosx在0 ,+)内()A 没有零点 B .有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D .有无穷多个零点_ 1解析：原函数f(X) =x cosx可理解为幕函数X?与余弦函数的差，其中幕函数在区间0 ,+8)上单调递增、余弦函数的最大值为1,在同一坐标系内构建两个函数的图象，注意到余弦从左到右的第 2 个最高

22、点是X= 2n，且叮 2n1 = COS2n，不难发现交点仅有一个.正 确选项为 B.答案：B7.已知定义在 R 上的函数y=f(x)对于任意的x都满足f(x+ 1) = f(x)，当一 Kxl,则需h(5)=loga55.所以a的取值范围是 0,；U(5 ,+).，丿答案：A&已知函数f(x) = 2x+x,g(x) = log2x+x,h(x) = log2x 2 的零点依次为a,b,c,则()A.abcB.cbaD. bac解析：在同一平面直角坐标系中分别画出函数Jiy= 2x与y=-x的图象可知其交点横坐标小于C. caby= 2x,y= -x,y= log2X的图象，结合函数

23、0，即a0;结合函数y= log2x与y=x的图象可知其交点横坐标大于0 且小于 1,即0b1 ；令 log2x 2= 0,得x= 4,即c= 4.因此有abc,选 A.答案：A9.已知函数f(x)满足f(x) +1 =fx+，当x 0,1时，f(x) =x，若在区间(一 1,1内，函数g(x) =f(x) mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是(A. 0,B. |l，-pm19函数g(x) =f(x) mx- m在区间(一 1,1内有两个零点等价于方程f(x) = n(x+ 1)在区间(一I, 1内有两个根.令y= n(x+1)，在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)和y= n(x+1

24、)的部分图象，可知当m0, 2 时，函数g(x) =f(x) mx- m有两个零点.答案：D110.已知X0是函数f(x) = 2x+的一个零点.若X1 (1 ,X。),X2(Xo,+s)，则()1 XA.f(x0,f(X2)0B.f(X1)0C.f(X1)0 ,f(X2)0,f(X2)0解析：设盘)二在，由于函数岳)二在二在函數蚣二尸在+上里 调谨醫 故函数用)=申)在厲+叫上单调递增丿所以国数用淮 e +切上只有唯一的零点轧且 在 g 刊)上用门在(巧+9)上用专耳 故选 B.答案：BII.函数f(x) =xcos2x在区间0,2n上的零点的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5解析

25、借助余弦函数的图象求解。f(x) =xcos2x= 0?x= 0 或 cos2x= 0，又 cos2x= 0 在0,2 n 上有严，J,5n, ?，共 4 个根，故原函数有 5 个零点。故选 Db4444co, D.y 2解析：当x ( 1,0时，x+ 1 (0,1因为函数f(x) + 1 =xx+ 1.1 11 =20答案 D12.已知f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 x0时，f(x) =x2 3x。则函数g(x) =f(x) x+ 3的零点的集合为()A. 1,3B. 3， 1,1,3C. 2 7, 1,3D. 2 7, 1,3解析 当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x) =x

26、 3 的根，由x2 3x=x 3，解得x= 1或 3;_ 2 2当xa。a的取值范围是_o解析 令0(x) =x3(xa)，函数g(x) =f(x) b有两个零点，即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点，结合图象可得ah(a),即aa,解 得a1,故a ( , 0)U(1 ,+)。答案(R,0)U(1,+)15.已知关于x的方程x+mx-6 = 0 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小,则实数m的取值 范围是 。解析 设函数f(x) =x2+mx-6，则根据条件有f(2)0，即 4 + 2m-60,解得n1。答案(R,1)316._ 已知f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数

27、，且当0vx2 时，f(x) =xx,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为.解析：当 0vx2 时，令f(x) =x3x= 0.得x= 0 或x= 1 ,f(x+ 2) =f(x), y =f(x)在0,6)上有 6 个零点.A.y=f( x)ex 1xC.y= ef(x) 1解析由已知可得21又f(6)=f(3x2)=f(0)=0.f(x)在0,6上与x轴的交点个数为 7.答案：717._ 函数f(x) =ax+ 1 2a在区间(1,1)上存在一个零点，贝U实数a的取值范围是 _ . 解析： 当a= 0 时，函数f(x) = 1 在(1,1)上没有零点，所以az0.根据零点存在性定理可1得f( 1)f(1)0，即(3a+1) (1 a)0，所以(a 1)(3a1)0，解得3a0.xx解析：当xW0时，y=ff(x) 1=f(2 ) 1 = log22 1 =x 1，令x 1 = 0，贝Ux= 1,表 明此时y=ff(x) 1 无零点.当x0 时，分两种情况：当x1 时，log2X0,y=ff(x) 1 =f(log2X) 1 = log2(log 次)1，令log2(log 次)1 = 0，即 log2(log2X)=