2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学（理）试题一、单选题1（ ）ABCD【答案】A【解析】利用复数的除法运算，直接求解即可.【详解】，故选：A【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的除法，属于基础题.2已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】通过解不等式，可得： ，所以，再结合，即可得解.【详解】由，可得： ，所以，又因为：，所以，故选：D【点睛】本题考查了求集合元素，考查了对数不等式的计算，需注意描述对象的取值范围，属于基础题.3记为等比数列的前项和，则实数的值为（ ）A9B8C7D6【答案】A【解析】由为等比数列，可设首项和公比为和，由可得：，又由

2、可得：，代入即可得解.【详解】由为等比数列，可设首项和公比为和，由可得：，又由可得：，整理化简可得：，即得：，故选：A【点睛】本题考查了等比数列基本量的运算，考查了等比数列通项公式和求和公式，属于简单题.4现从编号为1，2，96的观众中，采用系统抽样的方法抽取八位幸运观众，其中有两个编号为21与93，则所抽取的8个编号的中位数为（ ）A45B48C51D57【答案】C【解析】96名观众用系统抽样的方法抽取8人，则分段间隔为12，由其中有两个编号为21与93，可知：第一组选取的编号为9，则第4个和第5个编号分别为45和57，取中间数即可.【详解】96名观众用系统抽样的方法抽取8人，则分段间隔为=

3、12，由其中有两个编号为21与93，可知：第一组选取的编号为9，则第4个和第5个编号分别为45和57，所以中位数为，故选：C【点睛】本题考查了抽样方法之系统抽样，考查了概念的理解和辨析，属于基础题.5若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由在上单调递减，可得：导函数在R上恒成立，参变分离后，求最值即可的解.【详解】由在上单调递减，可得：导函数在R上恒成立，因为，参变分离可得：，故选：A【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.6空间点，若，则的最小值为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】在空间中由可得：点A在

4、以为球心，半径为1的球面上，在求外， 所以B到球心的距离减去半径即为的最小值.【详解】在空间中由可得：点A在以为球心，半径为1的球面上，在球外，B到球心的距离，故选B.【点睛】本题考查了球外一点到球面上最短距离问题，类比于圆外一点到圆上的最短距离问题，考查了转化思想和空间想象能力，属于中档题.7将不超过实数的最大整数记为，函数为上的奇函数，当时，则（ ）A2B1C-2D-1【答案】C【解析】因为，所以，再取整即可得解.【详解】因为，所以根据奇函数性质可得：，所以，故选C【点睛】本题考查了奇偶性及对数的运算，考查了高斯函数，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.8设，则下列不等式恒成立的是（ ）

5、ABCD【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，以及和中间量的比较，进行大小的比较，即可得解.【详解】对A，由为增函数，所以，可得，A错；对B，由，所以，可得，故B错；对C，由 ，所以、且，故C不确定；对D，由，可得：，故D对；故选：D【点睛】本题考查了指数和对数的比较大小，考查了不等式性质和转化思想，属于中档题.9已知为椭圆：上一点，是的两个焦点，椭圆的离心率为，且的周长为16，若为等腰三角形，则的取值不可能为（ ）A4B5C6D8【答案】D【解析】由椭圆的离心率为，可得，由的周长为16可得：，联立即得，的值，分类讨论 ， ，即可得解.【详解】由椭圆的离心率为，即，由的周长为16，

6、即，可得：，若， ，若，若，只有不可能，故选：D【点睛】本题考查了椭圆的离心率和椭圆定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.10算术运算符表示取余数，如，表示除以余数为，图是关于取余的一个程序框图，若输入的值为3，则输出（ ）A9B7C3D1【答案】A【解析】通过循环结构，可得输出结果为：，方法一为数字分解，方法二为找规律，方法三为利用二项展开式.【详解】，求法一：数字易分解，取余自分晓，显然法二：转化之中看尾数，逐次递推规律现3的尾数为3，的尾数为9，的尾数为7，的尾数为1，的尾数为3，以此类推便知，其尾数以4为周期的规律循环呈现，与的尾数一致，为9法三：结构须意识，勿忘二项式，知【点睛】本题

7、考查了程序框图循环结构，考查了数字取余，考查了计算能力和转化思想，属于较难题.11已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】首先化简，可得：，因为为奇函数，若要两函数与图象的对称中心完全相同，则为奇函数，又因为的周期为，故周期为，从这两方面即可得解.【详解】依题化简得：，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，须为奇函数，且只能为，有如图的两类情况 【点睛】本题考查了三角函数的化简和平移，考查了考查了正、余弦函数及正切函数的中心对称，考查三角函数的图像与性质，属于较

8、难题.12已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（ ）AB1C2D【答案】C【解析】首先化简，可得：，再结合图形即可得解.【详解】法一：角靠拢，形助兴，整理得：，如图有：由，可得，代入，整理可得：，法二：，得：法三：，得，由正弦定理，得，如图可得：，【点睛】本题考查了解三角形，考查了计算能力和转化思想，同时考查了数形结合，要求比较高的计算能力和转化思想，属于难题.二、填空题13若向量满足：，则_【答案】2【解析】由可得：，把平方即可得解.【详解】由可得：，故答案为：2【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的模，考查了向量的模的平方即是向量的平方，考查了计算能力数，属于简单题.14中国

9、古代崇尚玉，玉寓意美好的人或事物许多汉字与玉相关，如：玲、珑、珍、珠、琼、理等，现将“玛、玚、珅、珪、珽、珊”六个汉字排一排，其中笔画数相同的汉字必须相邻的排法有_种（用数字作答）【答案】48【解析】除去偏旁王外，六个字剩下的笔画数分别为3，3，5，6，6，56个字各有两个相同笔画，把相同笔画的放在一起，共有种排法，再松绑即可得解.【详解】汉字笔画为传统文化中的常识，求同存异，除偏旁外，六个字剩下的笔画数分别为3，3，5，6，6，5故由相邻问题捆绑法，可知共有个故答案为：48【点睛】本题考查排列组合，考查了捆绑法，属于中档题.15如图，三棱锥，两两垂直，点为三棱锥外接球的球心，则与所成角的大小

10、为_【答案】【解析】根据题意可将三棱锥补全为一个长方体，通过平移可将两一面置于一个三角形内，解三角形，即可得解.【详解】如图，将三棱锥补为长方体，易知其外接球的球心在长方体体对角线的中点，与所成角即为，在中，易求，则与所成角的大小为【点睛】本题考查了异面直线所成角问题，考查了割补法，考查了空间想象能力和转化思想，属于较难题.16直线与双曲线：及其渐近线从左至右依次交于点，双曲线的左右焦点分别为，且焦距为4，则与的面积之比为_【答案】2【解析】分别和双曲线方程以及渐近线方程联立，可得：由韦达定理可得：，结合图像即可得解.【详解】，由以上两式可知：，故而，具有相同的中点，故，如图，有【点睛】本题考

11、查了直线和圆锥曲线的交点问题，考查了双曲线和渐近线方程，考查了韦达定理，考查了转化思想和计算能力，属于难题.三、解答题17已知数列，满足：，（1）证明：数列为等差数列（2）记为数列的前项和，求的值【答案】（1）详见解析；（2）97【解析】（1）根据定义，列出，相减即可得解；（2）根据，以两项之和为单位，凑出和即可得解.【详解】法一：（1）依题：，两式相减即得：，为等差数列法二：依题：，两式相减即得：，故奇数项成等差数列，即为等差数列（2）法一：，法二：，为等差数列，故，故【点睛】本题考查了等差数列的证明，求数列通项，以及式处理，考查了分组求和与等差数列求和，考查了运算能力以及局部与整体的关系处

12、理能力，属于较难题18直四棱柱被平面所截，所得的一部分如图所示，（1）证明：平面；（2）若，平面与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）要证线面平行只要证平面外一条直线平行于平面内一条直线即可，本题证明为平行四边形即可得证；（2）根据所给关系，建立直角坐标系，求出两平面的法向量，利用平面与平面所成角的正切值为，可求出E点坐标，再利用几何关系或者投影即可得解.【详解】（1）依题：平面与两平行平面，的交线分别为，故有，又，故有平行四边形，面，面，平面（2）中，由余弦定理可得，由勾股定理得，又平面，故而，两两垂直，如图建系【法一求】取中点，由，得平行四边形

13、，平面，作，（连），又，平面，得，又，为所求二面角的平面角易求，又，【法二求】面的法向量显然为，设面的法向量为，令，依题：由平面，点到平面的距离转化为到平面的距离，设平面的法向量为，可为，【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了二面角，点到平面的距离，向量代数法的综合应用本题入口宽，较开放，传统几何法与向量代数法都可以解决重在考查考生的空间分析与想象能力，转化思想，求解运算能力，并体现向量法解题的优化作用19某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据成绩分为，五个等级（等级

14、，分别对应5分，4分，3分，2分，1分）某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为的考生有3人（1）求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为的人数；（2）若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为，求（3）从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止通过训练，已知甲，乙，丙通过

15、挑战赛的概率分别是，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？（只需写出结果）【答案】（1）2.575,4；（2）；（3）乙，甲，丙【解析】（1）根据频率分布直方图，直接求加权平均数，再根据语文素养能力测试为的频率和人数得出总人数，再根据“数学素养能力测试”科目的频率即可得解.【详解】（1）由图可知，数学素养能力测试为的频率为0.1，故该班“数学素养能力测试”的科目平均分为，语文素养能力测试为的频率为0.075，故而该班有人“数学素养能力测试”科目成绩为的人数（人）（2）依题：的取值可为29，28，27，26，25，24，（3）乙，甲，丙【点睛】本题考查了频率分布直方图的识

16、别与分析，考查了利用排列组合求概率及期望，以及对概率的深入理解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于较难题.20已知抛物线的焦点为，抛物线的准线交轴于，为抛物线上三点（其中在第一象限），（1）求的值；（2）已知为坐标原点，李同学从条件出发，而刘同学从条件出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线过同一个定点”，试问如何设计实数的值【答案】（1）；（2）4【解析】（1）利用所给条件，直接求值，即可得解；（2）联立直线方程和抛物线方程，利用所给条件，结合韦达定理，即可得解.【详解】【解】（1）设，依题：，得（2），显然直线不平行轴，设直线：，李同学：，即直线：，直线过定点，刘同学：，代入可知：因

17、此，的值为4【点睛】本题考查了抛物线定义，以及方程思想解基本量，考查了联立方程结合韦达定理，考查了合理设点设线等基本的求解运算能力，考查了方程思想以及数学中偶然与必然的数学思想，属于难题.21已知函数（1）若，证明：函数的极值为一个非正数；（2）若函数与在处的切线相同，当，时，证明：【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）先求导，找出极值点及其范围，再代入函数即可证明；（2）通过放缩，等价证明，构造函数，即可得解.【详解】【解】（1），故在上单调递增，令，可知，由零点存在定理知：在上必存在一个变号零点，即极小值点且，极小值（确切点极小值为一个负数），命题得证（2）依题：，不妨先证明

18、：，在处的切线为构造函数：，不妨先证：，等价于证明：，构造函数：，故有，由不等式传递性，可知命题得证【点睛】本题考查了由零点存在定理寻找导函数的变号零点问题（含参找点问题），再利用隐零点代换得到此函数的性质，考查了通过切线放缩（题中有暗示）以及字母放缩，重新构造函数的能力，考查了分析能力，放缩思想，转化思想，构造函数策略，以及对数据以及代数式的敏感及处理策略，要求较高的计算能力，属于难题.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且曲线关于直线对称（1）求；（2）若直线与曲线交于，直线：与曲线交于，且的面积不超过，求直线的倾斜角的取值范围【答案】（1）