第五章 ——第三次课自动控制理论

1、 5.1 频率特性 5.2 对数坐标图 5.3 极坐标图 5.4 用频率法辨识线性定常系统的数学模型 5.5 奈奎斯特稳定判据 5.6 相对稳定性分析 5.7 频域性能指标与时域性能指标之间的关系第五章 频率响应法 极坐标图（Polar Plot）也称奈奎斯特(Nyquist)图，简称奈氏图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以 w 为参变量的幅值与相位的图解表示法。1932，N.Nyquist基于极坐标图阐述反馈系统稳定性的论证。主要用于闭环系统稳定性的研究。22j ()j ()()( )j ( )( )( )|()|G jPQPQeG je w wwwwwww( )

2、( )arctan( )QPw ww 当输入信号的频率w由0变化时，向量G(jw)的端点在平面上移动的轨迹叫极坐标图或称为奈氏图。 一、典型因子的奈氏图一、典型因子的奈氏图 比例因子比例因子 K比例环节： ；KsG)(j )GKw由于 K 是一个与 w 无关的常数，它的相角为0实频特性： ；虚频特性：KP)(w0)(wQ幅频特性： ；相频特性： KA)(w0)(w积分、微分因子积分、微分因子j211(j )jGewwwj2(j )jGewww1）积分因子( )1G ss2）微分因子( )G ss一阶因子一阶因子j ()2211(j )1+j1GeTT wwww1）一阶惯性环节1(1j)Tw其频

3、率特性为式中wwTarctan)(22221(j )j11 ( )j ( )TGTTPQwwwwww22221( )( )( )1PQPTwwww22211( )( )22PQww配方后得22j ()(j )1+j1GTTe wwww2）一阶微分环节1j Tw其频率特性为式中( )arctanT ww二阶因子二阶因子频率特性 222( )2nnnG ssswww（1）二阶振荡环节21(j )1j2(j)nnGwwwww2212arctan)(nnwwwww( 0)1 0oG j ()0180oG j j ()e w2222221(1)4nnwwww11()()902onTG jG jw 谐振峰

4、值与谐振频率谐振峰值与谐振频率22221(j )(1)(2)nnGwwwww2222)2()1 ()(nngwwwww令0)(wwddg212rnwww2121)(wrrMjG707. 00由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。21 2rnww21()21rrMAw当 时，有谐振峰值。21（Nyquist曲线）0j1w21)(nM2121)(wrM谐振频率:在奈氏图上距原点最远的点对应的频率,记作rw谐振峰值:相应的幅值)(rrMMwresonant frequency12频率特性 22( )2nnG sssww（2）二阶微分环节

5、2(j )1j2(j)nnGwwwww 222( )arctan1nnww wwwj ()e w222222(1)4nnwwww滞后因子滞后因子e-t tjw w传递函数：sesGt)(频率特性：j()G jetww幅频特性：1)(wA相频特性：( ) wwt jj21111j(j)2!eet wt wwtwtj11jet wwt在低频区有当wt 1 时在低频区，滞后因子和惯性环节的频率特性很接近 二、开环系统的奈氏图二、开环系统的奈氏图开环频率特性的极坐标形式j ()(j )(j )GGe www 根据开环频率特性的表达式，可通过w由0 变化取点、计算和作图绘制开环系统的极坐标图（奈氏图）。

6、 在控制工程中，一般只需画出概略极坐标图（奈氏图的大致形状和几个关键点的准确位置）。w 0 w 11(1j )(j ),(1j )miinllKGnmTt www(j0)(0)0GK 、(j )0( )90 ()Gnm 、。 1: : 0型系统型系统设0型系统的开环频率特性当w 0时，当 w 时，例: 已知开环传递函数10(j )(10.1j )(1j )Gwwwwwwarctan1 . 0arctan)()1)(1 . 01 (10)(sssGw分别取0，0.5，5，10，100，计算幅值和相角j ()22101(0.1 )1( )e www绘制其奈氏图2：I 型系统型系统111(1j )(

7、j ),(1j )miinllKGnmjTt wwww(j0 )90G (j )090 ()Gnm 。设I型系统的开环频率特性当w 0 时，当 w 时，例: 已知开环传递函数10(j )j (1j )Gwww( )90arctan ww 10( )(1)G sssw分别取0，0.5，5，10，100，计算幅值和相角j ()2101( )e www 找其渐近线绘制其奈氏图3：II 型系统型系统1221(1j )(j ),j(1j )miinllKGnmTt wwww（）设II型系统的开环频率特性(j0 )180G (j )090 ()Gnm 。当w 0 时，当 w 时，例: 已知开环传递函数j

8、()2221010(j )(j ) (1j )1( )Ge wwwwww( )180arctan ww 210( )(1)G sssw分别取0，0.5，5，10，100，计算幅值和相角绘制其奈氏图11(1j )(j )(j )(1j )miinllKGTt wwww ()9090()90()90 ,|(j) |0,()mnnmGnmww 若 低频段的频率特性与系统型数有关， 高频段的频率特性与n - m有关。+(j0 )90G (j0)0GK总 结频率特性可表示为：0型系统：I型及以上系统：w 0，w ，G(jw)曲线以顺时针方向按-90 (n - m)的角度趋于坐标原点 0型、型和型系统在低

9、频和高频段频率特性示意图：0w（0型）（型）0w（II型）0w低频段频率特性0(0)0,|(0)| 11(0)90,|(0)|2(0)180,|(0)|GGG 型：型：型：n-m=3n m = 1n m = 2高频段频率特性1( )902( )1803( )270nmnmnm 时，时，时，至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定，如与坐标的交点等。例: 某系统的开环传递函数如下，绘制其开环奈氏图。 2121,) 1)(1()(TTsTsTsKsGk12(j )j (j1)(j1)kKGTTwwww1）系统为型系统，M(0) = ，(0)= - 90，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线

10、如下确定：2121 2222222221212()(1)(j )j(1)(1)(1)(1)kK TTKTTGTTTTwwwwwww则低频渐近线为 )()(lim)(Relim2100TTKRjGxwwww同时可知，频率特性实部0，故曲线只在第二与第三象限。解：2）此系统阶数为(n-m)=3，则()=-270，即奈氏图沿正虚轴进入坐标原点。3）此系统无开环零点，故w由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从-90连续变化到-270。奈氏图是平滑曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点4）(w)有-180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由ImG(jw)= 0确定。) 1)(1()(21TjTjjKjGkwwww12( )90arcta