函数极限连续

1、函数 极限 连续一. 填空题1设 , 那么a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解.   < < 所以  < < , (n®¥), (n®¥)所以  = 3. 函数     , 那么ff(x) _.解. ff(x) = 1.4. =_.解.         = 5. =_.解. 6. (¹ 0 ¹ ¥), 那么A = _, k = _.解. 所以&#

2、160; k1=1990,   k = 1991;  二. 单项选择题1. 设f(x)和j(x)在(¥, +¥)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ¹ 0, j(x)有间断点, 那么(a) jf(x)必有间断点 (b) j(x)2必有间断点 (c) f j(x)必有间断点 (d) 必有间断点解. (a) 反例      ,  f(x) = 1, 那么jf(x)=1(b) 反例      , j(x)2 = 1(c) 反例  &

3、#160;   ,  f(x) = 1, 那么f j(x)=1(d) 反设  g(x) = 在(¥, +¥)内连续, 那么j(x) = g(x)f(x) 在(¥, +¥)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数 , 那么f(x)是(a) 偶函数   (b) 无界函数   (c) 周期函数   (d) 单调函数解. (b)是答案.3. 极限 的值是(a) 0     (b) 1   

4、; (c) 2    (d) 不存在解. = , 所以(b)为答案.4. 设 , 那么a的值为(a) 1    (b) 2    (c)     (d) 均不对解. 8 = =      = ,   , 所以(c)为答案.5. 设 , 那么a, b的数值为(a) a = 1, b =    (b) a = 5, b =    (c) a = 5,

5、b =    (d) 均不对解. (c)为答案.6. 设 , 那么当x®0时(a) f(x)是x的等价无穷小        (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小        (d) f(x)比x较高价无穷小解. = , 所以(b)为答案.7. 设 , 那么a的值为(a) 1    (b) 1    (c) 2 

6、   (d) 3解. , 1 + a = 0, a = 1, 所以(a)为答案.8. 设 , 那么必有(a) b = 4d    (b) b =4d    (c) a = 4c    (d) a =4c解. 2 = = , 所以a =4c, 所以(d)为答案.1. 求以下极限(1) 解. (2) 解. 令 = (3) 解.     =     = = .2. 求以下极限(1) 解. 当x®1时, , . 按照等价无穷

7、小代换    (2) 解. 方法1：= =      = =      =      =      =      = 方法2：     = =      = =      =      =  

8、0;   = 3. 求以下极限(1) 解.     (2) 解.      (3) , 其中a > 0, b > 0解.             = 4. 求以下函数的间断点并判别类型(1) 解. ,  所以x = 0为第一类间断点.(2) 解.    显然 , 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = 1为第一类间断点.(3)     解. f(+0

9、) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;   不存在. 所以x = 1为第二类间断点;   不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点;   , (k = 1, 2, ) 所以x = 为第二类无穷间断点.5. 设 , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求a, b.解.  x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求    存在. 所以    . 所以    0 =   

10、60; =     所以a = 1.       = 上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b ¹ 0, 求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a = (否那么极限一定为无穷). 所以       = .  所以 .7. 讨论函数    在x = 0处的连续性.解. 当 时不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当 时, 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在a, b上连续

11、, 且a < x1 < x2 < < xn < b, ci (i = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 那么在(a, b)内至少存在一个x, 使  .证明: 令M = , m = . 不妨假定 所以  m £ £ M所以存在x( a < x1 £ x £ xn < b), 使得 9. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 那么F(a) = f(a

12、)a < 0, F(b) = f(b)b > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 £ f(x) £ 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于0或恒小于0. 不妨设 . 令 , 那么 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(

13、x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 那么F(a) = f(a)g(a) < 0, F(b) = f(b)g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.12. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 那么F(1) =4 < 0, F(2) = 24 > 0所以  在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .解. . 所以    .

14、f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以 在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为    , 所以 , 所以            =     由 , 将f(x)泰勒展开, 得    , 所以 , 于是.(此题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中参加此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 那么 = _.解. , 假设 , 那么 

15、;   , 所以 2. 设 , 那么 _.解. ,  3. 设函数y = y(x)由方程 确定, 那么 _.解. , 所以    4. f(x) =f(x), 且 , 那么 _.解. 由f(x) =f(x)得 , 所以 所以  5. 设f(x)可导, 那么 _.解.      = + = 6. 设 , 那么k = _.解. , 所以 所以 7. , 那么 _.解. , 所以 . 令x2 = 2, 所以 8. 设f为可导函数, , 那么 _.解. 9. 设y = f(x)由方程 所确定,

16、 那么曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导 . 所以切线斜率      . 法线斜率为 , 法线方程为            ,  即  x2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 那么f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件   (b) 充分但非必要条件&#

17、160;  (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以 = , 于是=        = = =        = = 所以  ,  2f(0) = 0,  f(0) = 0充分性:f(0) = 0, 所以=        = = = =        = = = 所以 存在. (a

18、)是答案.2. 函数f(x)具有任意阶导数, 且 , 那么当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a)    (b)    (c)    (d) 解. , 假设 = , 所以    = , 按数学归纳法    = 对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中a, b为非零常数, 那么(a) f(x)在x = 1处不可导    

19、0; (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b  (d) f(x)在x = 1处可导, 且 ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入 = , 所以. (d)是答案注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导.4. 设 , 那么使 存在的最高阶导数n为(a) 0    (b) 1    (c) 2    (d) 3解.    .          &

20、#160;  所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1    (b) 0    (c) 1    (d) ¥解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以 . (b)是答案.6. 设    在x = 0处可导, 那么(a) a = 1, b = 0   (b) a = 0, b为任意常数 

21、;  (c) a = 0, b = 0   (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以     , 所以b = 0.     , , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 那么f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在.     (b) 存在.(c) h)存在.      (d) 存在.解. 由 存在可推出(a)中的

22、极限值为 , (b)中的极限值为 - , (d)中的极限值为 , 而(c)中的极限为:     ;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定 存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在 排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定 存在, 举反例如下:    , 排除(d). 所以(b)是答案. 由(b)推出 存在证明如下:                &

23、#160;     = = 所以 存在.8. 设函数f(x)在(¥, +¥)上可导, 那么(a) 当 时, 必有 (b) 当 时, 必有 (c) 当 时, 必有 (d) 当 时, 必有 解. (a)不正确. 反例如下: y = x;  (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为 , 所以对于充分大的x, 单增. 如果 , 那么证明结束, 否那么 单增有上界, 那么 存在(k为有限数). 任取x, 在区间x, x + 1上用拉格朗日定理   &

24、#160;        (x < x < x + 1)令x ® +¥, 于是0 = +¥, 矛盾. 所以 .9. 设函数f(x)在x = a处可导, 那么函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是(a) f(a) = 0且 .       (b) f(a) = 0且 .(c) f(a) > 0且 .       (d) f(a) < 0且 .解.

25、 (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a);  (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c);  (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明 不存在. 不妨假设 . . 所以存在d, 当x Î (ad, a + d)时 . 所以当x > a时, f(x) > 0. 于是 . 当x < a时f(x) < 0. 于是 . 所以 不存在.三. 计算题(理工类)1. 解.

26、2. f(u)可导, 解.       = 3. 设y为x的函数是由方程 确定的, 求 .解.     , 所以 4. , 求 .解. ,      5. 设 , 求 解. ,         6. 设函数f(x)二阶可导, , 且 , 求 , .解. , 所以 =3.    所以   7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组 确定. 求该曲线在t = 1处的曲

27、率.解. . 所以   所以  .    所以  . 在t = 1的曲率为     四.    , 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求 .解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以     , 所以    , 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以   

28、60;          = (2) 方法1:         = =          =     (0 < x < x)         = 所以       方法2: &#

29、160;       = =          = = 五. 当x £ 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时         二阶可导.解. F(x)连续, 所以 , 所以c = f(0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以 连续, 所以b = , 且      存在, 所以 , 所以  

30、; , 所以   六. .解.         ,   k = 0, 1, 2,     ,   k = 0, 1, 2, 七. 设 , 求 .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式               = 所以  一元函数积分学一. 求以下不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 方法一: 令 ,

31、60;                        = 方法二:               = = 二. 求以下不定积分:1. 解.           = 2. 解. 令x

32、= tan t,               = 3. 解. 令           = 4.   (a > 0)解. 令                  = 5. 解. 令    

33、             =             =             =             = 6. 解. 令    &#

34、160;              = 三. 求以下不定积分:1. 解. 2. 解. 令 ,                   = 四. 求以下不定积分:1. 解.      =      =    

35、0;  2. 解. 五. 求以下不定积分:1. 解.                               2. 解.       =     3. 解.       4. 解. &#

36、160;   六. 求以下不定积分:1. 解.     =            =     =     =     = 2. 解.     = 3. 解.      七. 设   , 求 .解.            

37、   考虑连续性, 所以         c =1+ c1,  c1 = 1 + c       八. 设 , (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令 , , 所以           = 九. 设当x ¹ 0时, 连续, 求 .解.       =   

38、;    = + = +c.十. 设 , 求f(x).解.令   , 所以    所以   十一. 求以下不定积分:1. 解. 令          = 2. 解. 令         = 3. 解. +       = = 4.   (a > 0)解.      

39、60;   =   =   =   =   =   = 十二. 求以下不定积分:1. 解.           = 2. 解.    =    =    = 一假设f(x)在a，b上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数F(x), 均有 , 那么f(x) º 0.证明: 假设f(x)¹ 0, a < x < b, 不妨假设f(x) > 0. 因为f(x)在a，b上连续,

40、 所以存在d > 0, 使得在xd, x + d上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义a，b上F(x): 在xd, x + d上F(x) = , 其它地方F(x) = 0. 所以       .和 矛盾. 所以f(x) º 0.二. 设l为任意实数, 证明: = .证明: 先证: = 令 t = , 所以              = 于是= 所以   = .所以

41、    同理    .三f(x)在0，1上连续, 对任意x, y都有|f(x)f(y)| < M|xy|, 证明              证明: ,      四. 设 , n为大于1的正整数, 证明: .证明: 令t = , 那么 因为  > 0, (0 < t < 1). 所以 于是   立即得到 

42、     五. 设f(x)在0, 1连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < a < b < 1的任何 a, b, 有             证明: 令 (x ³ a), ., (这是因为t £ a, x ³ a, 且f(x)单减).所以  , 立即得到 六. 设f(x)在a, b上二阶可导, 且 < 0, 证明:   &

43、#160;         证明: "x, tÎa, b, £ 令 , 所以 二边积分                          = .七. 设f(x)在0, 1上连续, 且单调不增, 证明: 任给a Î (0, 1), 有

44、0;            证明: 方法一: 令 (或令 )        , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) ³ F(0) = 0. 即       , 即        方法二: 由积分中值定理, 存在xÎ0, a, 使 ;由积分中值定理

45、, 存在hÎa, 1, 使 因为 .所以                    八. 设f(x)在a, b上具有二阶连续导数, 且 , 证明: 在(a, b)内存在一点x, 使     证明: 对于函数 ，用泰勒公式展开：       "t, x Î a, b    &

46、#160;                      =    (1)(1)中令x = a, t = b, 得到                 (2)(1)中令x = b, t = a, 得到  &

47、#160;                 (3)(3)(2)得到  于是                        = 注: 因为需要证明的等式中包含 , 其中二阶导数相应于(ba)的三次幂,

48、所以将 泰勒展开; 假设导数的阶数和幂指数相同, 一般直接将f(x)泰勒展开.九. 设f连续, 证明:   证明:      = 所以  2   即    十. 设f(x)在a, b上连续, 在a, b内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:               ,  (a < x < b)证明: ,

49、 所以    , 即  ;即  所以 即    ,  (a < x < b)十一. 设f(x)在0, 1上具有二阶连续导数 , 且 , 试证:           证明: 因为0，1上f(x) ¹ 0, 可设 f(x) > 0因为f(0) = f(1) = 0$x0 Î (0,1)使  f(x0) = (f(x)所以 >   

50、0;       1在0，x0上用拉格朗日定理      在x0, 1上用拉格朗日定理    所以因为 所以 由1得十二设f(x)在a, b上连续, 且f(x) > 0,那么       证明: 将lnx在x0用台劳公式展开     1令      x = ft   代入1将上式两边取 ，最后

51、一项为0，得十三. 设f(x)在0, 1上有一阶连续导数, 且f(1)f(0) = 1, 试证:                 证明: 十四. 设函数f(x)在0, 2上连续, 且 = 0, = a > 0. 证明: $ x Î 0, 2, 使|f(x)| ³ a.解. 因为f(x)在0, 2上连续, 所以|f(x)|在0, 2上连续, 所以$ x Î 0, 2, 取x使|f(x)| = max |

52、f(x)| (0 £ x £ 2)使|f(x)| ³ |f(x)|. 所以        一. 计算以下广义积分:(1)    (2)    (3) (4)       (5)          (6) 解. (1) (2) (3) 因为 , 所以 积分收敛.所以=2 (4) (5) (6

53、) 微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微, 对于0, 1上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且 , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在x Î (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 Î (0, 1), 不妨假设x2 < x1, 满足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是   x1x2 =

54、f(x1)f(x2) = . (x2 < h < x1). 所以 , 矛盾.二. 设函数f(x)在0, 1上连续, (0, 1)内可导, 且 . 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使 .证明: , 其中x1满足 .由罗尔定理, 存在x, 满足0 < x < x1, 且 .三设函数f(x)在1, 2上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使  .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 < x1 < 2, 满足 . 所以 .所以存在x

55、, 满足1 < x < x1, 且 .四. 设f(x)在0, x(x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使   .证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理      ,  x Î (0, x)所以  , 即 五. 设f(x)在a, b上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个x Î (a, b), 使   

56、60;      证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令 . 在a, b上使用拉格朗日定理      六. 设函数f(x), g(x), h(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个x Î (a, b), 使            证明: 令 , 那么F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个x Î (a, b), 使&#

57、160;           七. 设函数f(x)在0, 1上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个x Î (0, 1), 使             证明: ( , 二边积分可得 , 所以 )令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在h Î (0, 1), . 所以F(h) = F(1) = 0, 所以存在 x Î

58、; (h, 1), . 立即可得 八. 设f(x)在x1, x2上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个x, 使             证明: 令 , 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满足              九. 假设x1x2 > 0, 证明: 存在一个

59、x Î (x1, x2)或(x2, x1), 使             证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令 , 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满足            立即可得    .十. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f(

60、a) = f(b) = 0, g(x) ¹ 0, 试证: 至少存在一个x Î (a, b), 使      证明: 令 , 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个x Î (a, b), 使        , 于是    .十一. 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个x Î (a, b), 使    

61、         证明: "x, t Î a, b, 有 取 t = , 分别取x = b, x = a, 得到二式相加, 得 所以存在x Î (a, b), 使得      十二. 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在x、h Î (a, b), 使得         &#

62、160;     证明: 对于 在a, b上使用拉格朗日定理, 在(a, b)内存在h, 使得          所以在(a, b)内存在x, 使得    即是         常微分方程一. 求解以下微分方程：1. 解. .令 .(将y看成自变量),  所以  ,   ,   , 

63、60; ,    .2. 解. 令 .,  所以  ,   . 由 所以  c = 0. ,   得到 ,  ,  即 .二. 求解以下微分方程：1. 解. 令 . 得到,      为一阶线性方程解得 .  即 .2. 解. 原方程可化为  . 即  , 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量).解得:   .3. 解. 令 , 那么 . 原方程化为, 为贝奴利方程.令 ,

64、 那么 . 方程化为  , 为一阶线性方程. 解得  . 即 ,  .三. 求解以下微分方程：1. 解. . 于是 . 所以方程解为 .2. 解. 设函数 满足 = .所以 ,  所以 . 于是 所以原方程的解为 3. 解. 由原方程可得 得到  . 于是原方程解为  .四. 求解以下微分方程:1. 解. 令 ,  得到 为一阶线性方程. 解得.即  2. 解. 该方程为贝奴利方程.令    ,   . 解得  于是  五. 设 在实轴上连续, 存在, 且

65、具有性质 , 试求出 .解. ,  ,  ,  .i) . 对于任何x有 所以 .所以  .ii) 上式令 , 得到解得  .六. 求解以下方程:1. 解. 可得 . 这是以y为自变量的一阶线性方程.解得 . ,  . 所以得解  .2. 解. 令 . 可得 ,   ,  .,   ,  .解为  .七. 求解以下方程:1. 解. 令 . 所以  ,  所以  ,  ,  于是  解为 

66、  .2. 解. 令 ,  ,  令 于是得到  ,    为u对于x的一阶线性方程解得  ,  ,  得c = 0. ,  ,  ,  所以 3. 解. 令 得到  令 , 得到 为关于y的一阶线性方程. 且 解得  所以 ,  .于是  ,  ,  ,  ,  得到 ,  得解  八. 求解以下微分方程:1. 解. 特征方程 于是得解  2. 解. 特征

67、方程 ,           ,    ,   得通解为  由  四. 求解以下二重积分:1. 2. 3. , D: 由x = y2及 所围成4. , D: 由y = x4x3的上凸弧段局部与x轴所形成的曲边梯形5. , D: y ³ x及1 £ x2 + y2 £ 2解. 1.    =    =    = 2.   

68、0; = = 3. D: 由x = y2及 所围成.解.   因为 满足 , 且积分区域关于x轴对称, 所以该二重积分等于0.4. , D: 由 的上凸弧段局部与x轴所形成的曲边梯形.解. , . 解得 . 此时图形在x轴下方. 所以     5. , D: y ³ x及1 £ x2 + y2 £ 2.解. 使用极坐标变换          = 0五. 计算以下二重积分:1. , D: .解. 令 ,  .雅可比行列式为

69、60;     2. , D: , 并求上述二重积分当 时的极限.解.       = 所以 .3. 解.    =    =  4. ,  D: x2 + y2 £ 1, x ³ 0, y ³ 0.解.                    = .六. 求证: , 其中D是由x

70、y = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.证明: 令u = xy, y = vx. 即 , . . 所以   七. 求证: 证明: 令 ,  .  . 所以             = 八. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证:         证明: 左 =    &#

71、160;     =右九. 设p(x)是a, b上的非负连续函数, f(x), g(x)在a, b上连续且单调递增, 证明:        £ 证明: 令    F(0) = 0, 且    +                   = 上面不等式成立是由于p(x)是a,

72、 b上的非负连续函数, f(x), g(x)在a, b上连续且单调递增. 所以F(x)单减. 于是      £ 十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明:            证明: 区域     D既对x轴对称, 又对y轴对称.当m为奇数时 为对于x的奇函数, 所以二重积分为0;当n为奇数时 为对于y的奇函数, 所以二重积分为0.向量填空题1. 设 , 那么k =

73、 _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式                  = 13k +5 = 0.       2. 设 , 那么t = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式            

74、0;     . 所以对任何t, a1, a2, a3, a4线性相关. 3. 当k = _时, 向量b = (1, k, 5)能由向量 线性表示.解. 考察行列式  得k =8. 当k =8时, 三个向量的行列式为0, 于是 线性相关. 显然 线性无关, 所以 可用 线性表示.4. , 那么秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 将a1, a2, a3, a4表示成矩阵          .   所以   r (a

75、1, a2, a3, a4) = 35. 设 , 那么秩(A) = _.解.         所以   r (A) = 3.6. 矩阵A = a·b, 那么秩(A) = _.解. A = a·b =   所以   r (A) = 1. 7. 向量 , 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 那么t = _.解. A = (a1, a2, a3, a4) 所以当t = 7时, r (A) = 2.向量单项选择题1. 设向量组a1, a2, a3线性无

76、关, 那么以下向量组线性相关的是(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1         (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(C) a1a2, a2a3, a3a1          (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由  得     因为向量组a1, a2, a3线性无关, 所以得关于 的方程组

77、0;             的系数行列式为     . 所以 有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵Am×n的秩为R(A) = m < n, Em为m阶单位矩阵, 以下结论正确的选项是(A) A的任意m个列向量必线性无关   (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 假设矩阵B满足BA = 0, 那么B = 0    (

78、D) A通过行初等变换, 必可以化为(Em, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(Em, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为 BA = 0, 所以  0 . 所以 = 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 那么(A) (I)相关Þ(II)相关                (B) (I)无关Þ(II)无

79、关(C) (II)无关Þ(I)无关                (B) (I)无关Û (II)无关解. 由定理: 假设原向量组线性无关, 那么由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设b, a1, a2线性相关, b, a2, a3线性无关, 那么(A) a1, a2, a3线性相关          &

80、#160;    (B) a1, a2, a3线性无关(C) a1可用b, a2, a3线性表示          (D) b可用a1, a2 线性表示解. 因为b, a1, a2线性相关, 所以b, a1, a2, a3线性相关. 又因为b, a2, a3线性无关, 所以a1可用b, a2, a3线性表示. (C)是答案. 5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 那么(A) 秩(AB) = 0     &#

81、160;              (B) 秩(A + B) = 2秩(A)   (C) 秩(AB) = 2秩(A)               (D) 秩(A + B) £秩(A) + 秩(B)解. (A) 取 且|A| ¹ 0, |B| ¹ 0那么AB ¹ 0, 那

82、么r(AB) ¹ 0. 排除(A);(B) 取A =B ¹ 0, 那么秩(A + B) ¹ 2秩(A); (C) 取A = B ¹ 0, 那么秩(AB) ¹ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) £秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.向量证明计算题1. 设有三维向量 , , , 问k取何值时i. b可由a1, a2, a3线性表示, 且表达式唯一; ii. b可由a1, a2, a3线性表示, 但表达式不唯一;iii. b不能由a1, a2, a3线性表示.解. i. 时, a1, a2, a3线性无关, 四个三维向量

83、一定线性相关, 所以b可由a1, a2, a3线性表示, 由克莱姆法那么知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以b可由a1, a2, a3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当 时  .系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以b不能由a1, a2, a3线性表示.2. 设向量组a1, a2, a3线性相关, 向量组a2, a3, a4线性无关, 问i. a1能否由a2, a3线性表出? 证明你的结论;ii. a4能否由a1, a2, a3线性表出? 证明你的结论解. i. a1不一定能由a2, a3线性表出. 反例: , , .

84、 向量组a1, a2, a3线性相关, 但a1不能由a2, a3线性表出;ii. a4不一定能由a1, a2, a3线性表出. 反例: , , , . a1, a2, a3线性相关, a2, a3, a4线性无关, a4不能由a1, a2, a3线性表出.3. m个向量a1, a2, am线性相关, 但其中任意m1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式             k1a1 + k2a2 + + kmam = 0那么这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者

85、全不为零;ii. 如果存在两个等式            k1a1 + k2a2 + + kmam = 0            l1a1 + l2a2 + + lmam = 0其中l1 ¹ 0, 那么 .解. i. 假设k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 如果某个ki = 0. 那么     

86、0; k1a1 + ki1ai1 + ki+1ai+1 + kmam = 0因为任意m1个都线性无关, 所以k1, k2, ki1, ki+1, , km都等于0, 即这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1 ¹ 0, 所以l1, l2, lm全不为零. 所以  .代入第一式得:  即   所以   , , 即   4. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.解. 假设  

87、 得    因为 a1, a2, a3线性无关, 得方程组   当行列式   时, 有非零解. 所以 时, aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 假设存在正整数k, 使线性方程组Akx = 0有解向量a, 且Ak1a ¹ 0, 证明: 向量组a, Aa, ¼, Ak1a是线性无关的.解. 假设   . 二边乘以 得           

88、0;  ,     由      . 二边乘以 得              ,                  最后可得      ,  

89、;   所以向量组a, Aa, ¼, Ak1a是线性无关.6. 求以下向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii. 解. 解. i.      所以 是极大线性无关组. 由   得方程组              解得   ,   所以     ii. 所以 是极大线性无关组. 由   得方程组    解得   ,   ,   所以     由   得方程组              解得   ,   ,&