线性代数期末复习试题

1、2009-20102009-2010 学年第一学期线性代数 B B一、填空题（每空 3 3 分，共 2424 分）1 1 设1,2,3均为 3 3 维向量，已知矩阵A （1,2,3）,B （123,3192273,214283），且A 1，那么B _。A的特征值，B的所有对角元的和为5，则矩阵B的全体特征值为 _ 。8 8设Jn是所有元素均为1的n阶方阵（n 2），则Jn的互不相同特征值的个数为 _。200100112、（1010 分）已知矩阵A 011，B052，C101，矩阵P,X031021030满足PA B，PX C，求矩阵X。2.2.设分块矩阵CA，B均为方阵，则下列命题正确的个数为

2、（A）若A，B均可逆，则C也可逆（B）若A，B均为对称阵，则C也为对称阵（C）若A，B均为正交阵，则C也为正交阵3 3设D23 4 134 5 145 6 17 8 9 1D D 的第一列上的所有元素的代数余子式之和为4.4.设向量组（I I）：1,2丄,r可由向量组（IIII）：1,2丄,s线性表示，则（注此题单选）。（A A ）当r s时，向量组（ IIII）必线性相关（B B） 当r s时，向量组（IIII）必线性相关（C C）当rs时，向量组（ 1 1）必线性相关（D D）当rs时，向量组（ 1 1）必线性相关25.5.已知方阵A满足2A 3A O，则（A E）6.6.当矩阵A满足下面

3、条件中的（注：此题可多选）（A A）A可逆（C C）A的列向量组线性无关_ 时，推理“若AB O，则B O”可成立。（B B）A为列满秩（即A的秩等于A的列数）（D D）A O7.7.设矩阵A，B分别为 3 3 维线性空间V中的线性变换T在某两组基下的矩阵,已知1, 2为1 1）此方程组无解2 2）此方程组有唯一解3 3）此方程组有无穷多解四、（1010 分）设A为 4 4 阶方阵，4 4 维列向量b 0,R A方程组Ax b的解向量，且满足2320p1p2，p2p3，p3p40231344211 1） （6 6 分）求齐次方程组Ax 0的一个基础解系。2 2） （ 4 4 分）求Ax b的通

4、解。222x1,x2,x3x14x26x34x1x24x1x38x2x3用正交变换化为标准形。六、（1414 分）设V为所有 2 2 阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间，定义V上的变x13x2x3三、 （1010 分） 设线性方程组x14x2ax32x1x23x30b，问当参数a,b取何值时,5换T如下：对任意x V，T XAX XTA，其中A1221，XT表示X的转置矩阵。（1 1）（ 6 6 分）证明T是V上的一个线性变换。1 0E010000（2 2）（ 8 8 分）求T在V的基E11，E12，E21，E220 012001001下的矩阵。b1a1a2b2a2a3七、（1 1）（8

5、 8 分）已知向量组a1,a2,L ,an线性无关， 向量组b1,b2,L ,bn满足Mbn 1an 1anbnana1分别讨论当n 4和n5时，向量组bi,b2,L ,bn是否线性相关2 2）（ 8 8 分）设1，2为方阵A的两个不同的特征值,1,2为A相应于1的两个线性2，若p1, p2, p3, p4都是非齐次五、（ 1616 分）将二次型2,3为A相应于2的两个线性无关的特征向量，证明向量组1,2,3,4线性无关。无关的特征向量 ，2007-20082007-2008 学年第-学期线性代数 B B2007-20082007-2008 学年第-学期线性代数 B B、（2424 分，填空与

6、选择题）1 1. .设A是 m m 阶方阵，B是 n n 阶方阵，且A2 2设A,B，A B均为可逆矩阵，则矩阵A1B1也可逆,则其逆矩阵为（A.A.B(AB)1A1 1B.B.A (A B) BC.C.(A1B1)TD.D.(ATBT)13 3. .若A是 5 5 阶方阵，且A 4，则1A411A*A2A.A.1- - B.B.2C.C.8D.D. 以上答案均不正确。4.4.设3,4是齐次线性方程组Ax0的基础解系，则下列向量中不再是Ax 0的基础解系的为（34( B B)(C)12,23,31,4(D(D)2，21，415.5.若 3 3 阶方阵A的特征值为1,0,2，则与方阵A32E相似

7、的对角矩阵6 6设3是非齐次线性方程组Axb的解,，则是Ax b的解的充分必要为k3，则AxO的解的充分必要为7 7设A、B为 n n 阶方阵，且秩相等，即R（A）R（B），则有（A.A.R(A B) 0B.B.R(A B) 2R(A)C.C.R(A, B) 2R(A)D.D.R(代B) R(A) R(B)8.8.已知实二次型为正定二次型f为公2,怡2 2 2为2x32ax1X22x2x3，则实常数a的取值范围为（1010 分）设矩阵A 0 2 2,已知多项式g xx32x21,求行列式g A。1 0 3（8 8 分）设A和B都是 3 3 阶方阵，E为单位阵，AB E A2B，其中101A020，求B。10113311四、（1010 分）已知向量组10，2n，35与向量组13，2110m22有相同的秩，并且3可由1,2线性表示，求m, n的值。五、（1010 分）已知线性方程组x1ax22x31x1x2ax32，问a取何值是方程组有无穷多解并用其对应的齐次线性方程组的基5x15x24x31础解系表示其通解。1六、 （1212 分）设三阶实对称矩阵A的秩为2，126是A的二重特征值，若110221都是A的属于特征值6特征向量，求A及它的另一个特征值与特征向量。1七、