2016-2017年天津市五校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中）高三（上）期末数学试卷（理科）(解析版)

1、2016-2017学年天津市五校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中）高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知集合A=1，4，B=y|y=log2x，xA，则AB=（）A1，4B0，1，4C0，2D0，1，2，42（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值为（）AB3C0D13（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A4B5C6D74（5分）已知ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则AB=（）ABCD35（5分）设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为单调递

2、增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）ABCD7（5分）在ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP设=x+y（x，yR），则x，y的值分别为（）ABCD8（5分）已知f（x）=（x23）ex（其中xR，e是自然对数的底数），当t10时，关于x的方程f（x）t1f（x）t2=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A（2e，0）B（2e，0C2e，6e3D（2e，6e3）二、填空题（共6小题，每

3、小题5分，满分30分）9（5分）已知a，bR，i是虚数单位，若（12i）（2+ai）=b2i，则a+b的值为10（5分）在的展开式中，x3的系数为（用数字作答）11（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是12（5分）在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为13（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（为参数，a1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为14（5分）已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，

4、f（x）的最小值为2，求a的值16（13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望17（13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，ADBC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA平面ABCD（1）求证：平面PDE平面PAC；（2）若PAB为等腰直角三角形（i）求直线PE与平面PAC所成

5、角的正弦值；（ii）求二面角APCD的余弦值18（13分）已知数列an的前n项和，数列bn的前n项和为Bn（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列cn的前n项和Cn；（3）证明：19（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值20（14分）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C（1）若函数f（x）在0，+）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y

6、=f（x）m有两个零点，（），且x=为f（x）的极值点，求2+的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x0）处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由2016-2017学年天津市五校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中）高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2016秋天津期末）已知集合A=1，4，B=y|y=log2x，xA，则AB=（）A1，4B0，1，4C0，2D0，1，2，4【分析】先分别求出集合A和B

7、，由此能求出AB【解答】解：集合A=1，4，B=y|y=log2x，xA=0，2，AB=0，1，2，4故选：D【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用2（5分）（2016秋天津期末）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值为（）AB3C0D1【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x2y得：y=xz，平移直线y=x，结合图象直线过A（，）时，z最小，z的最小值是：，故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题3（5分

8、）（2016秋天津期末）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A4B5C6D7【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=1时不满足条件i0，退出循环，输出v的值为6【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i0，执行循环体，v=6，i=1不满足条件i0，退出循环，输出v的值为6故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环次数不多或由规律时，常采用模拟运行程序的方法来解决，属于基础题4（5分）（2016秋天津期末）已知ABC是钝角三角形，若AC=1，B

9、C=2，且ABC的面积为，则AB=（）ABCD3【分析】根据题意和三角形的面积公式求出sinC的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件【解答】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则×sinC=，解得sinC=，由0C得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC22ACBCcosC=1+42×1×=3，AB=，则A是最大角，cosA=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC22ACBCcosC=1+4+2×1

10、×=7，则AB=，故选：B【点评】本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力5（5分）（2016秋蓟县期末）设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为单调递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：等比数列1，2，4，满足公比q=21，但an不是递增数列，充分性不成立若an=1（）n1为递增数列，但q=1不成立，即必要性不成立，故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】

11、本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键6（5分）（2016秋天津期末）已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）ABCD【分析】利用焦点的渐近线的距离为2，双曲线的一条渐近线与直线x2y+3=0平行，求出a，b，即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线的焦点的渐近线的距离为2，可得b=2；双曲线的一条渐近线与直线x2y+3=0平行，可得，解得a=4所求双曲线方程为：故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力7（5分）（2016秋天津期末）在ABC中，D在A

12、B上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP设=x+y（x，yR），则x，y的值分别为（）ABCD【分析】由D、P、C三点共线，则存在实数使得=+（1），以及E、P、B三点共线，同理存在实数使得=+，根据平面向量基本定理即可得，解得或，再根据平面向量基本定理即可求出x，y的值【解答】解：由D、P、C三点共线，则存在实数使得=（），=（），=+（1），AD：DB=1：2，=，=+（1），由E为AC中点，由E、P、B三点共线，同理存在实数使得=+，解得=+，=x+y（x，yR），x=，y=，故选：C【点评】本题考查共线向量基本定理，以及向量的减法，以及平面向量基本定理，属

13、于中档题8（5分）（2016秋天津期末）已知f（x）=（x23）ex（其中xR，e是自然对数的底数），当t10时，关于x的方程f（x）t1f（x）t2=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A（2e，0）B（2e，0C2e，6e3D（2e，6e3）【分析】求出f（x）的导数，单调区间和极值，画出f（x）的大致图象，讨论t1的范围，确定t2的范围，通过图象即可得到所求范围【解答】解：f（x）=（x23）ex的导数为f（x）=（x2+2x3）ex=（x1）（x+3）ex，当3x1时，f（x）0，f（x）递减；当x1或x3时，f（x）0，f（x）递增可得f（x）的极小值为f（1）=2e，极大

14、值为f（3）=6e3，作出y=f（x）的图象，如图：当t10时，关于x的方程f（x）t1f（x）t2=0恰好有5个实数根，即为f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5个实数根，若t16e3，f（x）=t1只有一个实根，不合题意；若0t16e3，f（x）=t1有三个实根，只要2et20，满足题意；若t1=6e3，f（x）=t1有两个实根，只要0t26e3，满足题意；综上可得，t2的范围是（2e，6e3）故选：D【点评】本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合思想方法运用，以及导数的运用：求单调区间和极值，属于中档题二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）（2016秋天津期末）已知

15、a，bR，i是虚数单位，若（12i）（2+ai）=b2i，则a+b的值为8【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案【解答】解：（12i）（2+ai）=（2+2a）+（a4）i=b2i，解得则a+b的值为：8故答案为：8【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题10（5分）（2016秋天津期末）在的展开式中，x3的系数为24（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1=（4x2）6r（）r=（1）r46rx123r，令12

16、3r=3，解得r=5，展开式中x3的系数为24故答案为24【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11（5分）（2016秋天津期末）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×4=4，底面周长为：2+4+=6+2，故棱柱的表面积S=2×4+4×（6+2）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱

17、锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础12（5分）（2016秋天津期末）在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为4ln3【分析】由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+，即可得出结论【解答】解：由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+=（3xlnx）+2=4ln3故答案为4ln3【点评】本题考查封闭图形的面积的计算，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13（5分）（2016秋天津期末）在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（为参数，a1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为【分析】

18、求出曲线C1的普通方程为x2y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a1，由此能求出结果【解答】解：曲线（t为参数），曲线（为参数，a1），曲线C1的普通方程为x2y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a1，C1恰好经过C2的焦点（，0），a21=4，解得a=故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程的互化及椭圆、双曲线性质的合理运用14（5分）（2016秋天津期末）已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为（，e）【分析】画出分段函数与y=kx的图象，利用方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，判断看的范围即可【解答】解：，若方

19、程f（x）=kx有且仅有一个实数解，就是分段函数与y=kx的图象只有一个交点，如图：显然k小于OA的斜率时满足题意，y=ex，x1，导函数为y=ex，是增函数，当x=1时函数取得最小值，此时OA的斜率最小，最小值为：e，可得ke故答案为：（，e）【点评】本题考查函数的零点的求法，导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查计算能力三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）（2016秋天津期末）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+，利用f（x）的最小值为2

20、，求a的值【解答】解：（1）函数=，（4分）f（x）的最小正周期为；（2）当时，2x+，f（x）的最小值为1+a+1=2，a=2【点评】本题考查二倍角、辅助角公式，化简函数，考查函数的性质，属于中档题16（13分）（2016秋天津期末）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【分析】（）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（）

21、求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望【解答】解：（ I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A=“恰有1位女棋手”，则，（4分）所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为（5分）（ II）随机变量X的所有可能取值为0，2，4其中，（9分）所以，随机变量X分布列为X024P随机变量X的数学期望（13分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题17（13分）（2016秋天津期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，A

22、DBC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA平面ABCD（1）求证：平面PDE平面PAC；（2）若PAB为等腰直角三角形（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角APCD的余弦值【分析】（1）由ABPA，ABAD，建立建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PDE平面PAC（2）（i）求出平面PAC的一个法向量和，利用向量法能求出直线PE与平面PAC所成角的正弦值（ii）求出平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角APCD的余弦值【解答】（本小题满分13分）证明：（1）PA平面ABCD，ABPA， 又ABAD，故可建立建立如图所示坐标系由已知D（0，2

23、，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，），（0）=（2，4，0），=（0，0，），=（2，1，0），=44+0=0，（3分），DEAC，DEAP，ED平面PAC，ED平面PDE，平面PDE平面PAC（4分）解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一个法向量是=（2，1，0），PAB为等腰直角三角形，故PA=2，设直线PE与平面PAC所成的角为，则=，直线PE与平面PAC所成角的正弦值为（8分）（ii）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），=（2，2，0），=（0，2，2），则，令x=1，则=（1，1，1），（10分）cos=（11分）二面角APCD的平面角是锐角，二面角

24、APCD的余弦值为（13分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18（13分）（2016秋蓟县期末）已知数列an的前n项和，数列bn的前n项和为Bn（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列cn的前n项和Cn；（3）证明：【分析】（1）当n2时，利用an=AnAn1可得an=2n1，再验证n=1的情况，即可求得数列an的通项公式；（2）由题意知：，利用错位相减法即可求得数列cn的前n项和Cn；（3）利用基本不等式可得，可得Bn=b1+b2+bn2n；再由bn=，累加可，于是可证明：【解答】（本小题满分13分

25、）解：（ I）当n2时，两式相减：an=AnAn1=2n1；当n=1时，a1=A1=1，也适合an=2n1，故数列an的通项公式为an=2n1；（3分）（ II）由题意知：，Cn=c1+c2+cn，两式相减可得：，（4分）即，（7分）（ III），显然，即bn2，Bn=b1+b2+bn2n； （9分）另一方面，即，即：2nBn2n+2（13分）【点评】本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题19（14分）（2016秋天津期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b（1）

26、求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值【分析】（）由已知列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程（）由题意知A1（2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），求出M坐标，由点P在椭圆上，以MP为直径的圆过点A2，则，求出x0±2然后求解m即可【解答】（本小题满分14分）解：（）由已知得，解得所以椭圆C的方程为（5分）（）由题意知A1（2，0），A2（2，0），（6分）设P（x0，y0），则，得且由点P在椭圆上，得（8分）若以MP为直径的圆过点A2，则，（

27、9分）所以.（12分）因为点P是椭圆C上不同于A1，A2的点，所以x0±2所以上式可化为，解得m=14（14分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用20（14分）（2016秋天津期末）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C（1）若函数f（x）在0，+）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）m有两个零点，（），且x=为f（x）的极值点，求2+的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x0）处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由【分析】法一：（1）求出函数的导数，根据x=1是函数的最小值点，得到关于c的不等式，解出即可；（2）求出c=2+2，根据f（）=f（）得：，从而求出和的关系；（3）求出函数f（x）的导数，得到x+2x03=0，即B点的横坐标为32x0所以过点B的曲线的切线斜率，根据k1，k2的值，作商即可法二：（1）求出函数的导数，分离参数c，根据函数的单调性求出c的范围即可；（2）根据根与关系判断即可；（3）分别求出k1，k2的值，作商即可【解答】解法一：（1）f'（x