自动控制原理(梅晓榕)4..

1、v根轨迹：控制系统的某一个参数由零变化到无穷大时，闭环系统根轨迹：控制系统的某一个参数由零变化到无穷大时，闭环系统的特征根（闭环极点的特征根（闭环极点)在在s平面上形成的轨迹。平面上形成的轨迹。v例如例如KksskssKssKsG2 )2()2(2) 15 . 0()(kkksssDksssDkssksGsGsRsCs11s11s 02)(02)()2()(1)()()()(2122变化。不随位于一条直线上，实部合在一起。两个负实数闭环极点重）上。，（均为负实数，在负实轴极点。此时闭环极点就是开环根轨迹kssksksskskssks212, 122, 121, 1j1 1 1 , 1 02 ,

2、 10 2, 0, 0 对于一般的反馈控制系统，对于一般的反馈控制系统，其结构图如右图所示。它的其结构图如右图所示。它的开环传递函数为开环传递函数为 sDsNKpszsKsDsDsNsNKKsGgnjjmiig11212121而闭环系统特征方程式为而闭环系统特征方程式为 011sGsDsNKg（1）（2）（1）式中）式中 为根轨迹增益为根轨迹增益gK 方程式（方程式（2）表达了开环传递函数与闭环特征方）表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系。绘制根轨迹，实质上就是当某一参数变程式的关系。绘制根轨迹，实质上就是当某一参数变化时，寻求闭环系统特征方程式的解的变化轨迹。化时，寻求闭环系统特征方程式

3、的解的变化轨迹。 根轨迹一旦画出，那么，对应某一根轨迹一旦画出，那么，对应某一 （或其他参（或其他参数）的变化，就可以获得一组特征根，于是可判断系数）的变化，就可以获得一组特征根，于是可判断系统的稳定性；再考虑到已知的闭环零点，就可以确定统的稳定性；再考虑到已知的闭环零点，就可以确定系统的品质，这就解决了对系统的分析问题。系统的品质，这就解决了对系统的分析问题。 当然，也可根据规定的品质指标，利用根轨迹法，当然，也可根据规定的品质指标，利用根轨迹法，去合理安排开环系统零、极点的位置和适当调整去合理安排开环系统零、极点的位置和适当调整 值。值。gKgK4.1根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念系

4、统的特征方程式为系统的特征方程式为 01sDsNKghuo或可写为或可写为 gnjjmiiKpszssDsN111（3）令令 代入（代入（3）式可得）式可得js sDsNpszssDsNnjjmii11 gKsDsN1 （4）（4）式是一个复数，它的幅值和幅角分别为）式是一个复数，它的幅值和幅角分别为 sDsN sN sDmi 1izsnj 1jps -= ，2101211njjmii njjmiinjjmiiLlpszssDsN1111gKss1的矢量长度之积开环极点到的矢量长度之积开环有限零点到（5）（6）ij上式中：上式中： 开环有限零点开环有限零点- 到到s的矢量幅角；的矢量幅角； 开

5、环极点开环极点- 到到s的矢量幅角；在测量幅角时，的矢量幅角；在测量幅角时，规定逆时针方向为正。规定逆时针方向为正。 ij （5）式和（）式和（6）式分别称为特征方程式的幅角条件）式分别称为特征方程式的幅角条件和幅值条件。满足幅值条件和相角条件的和幅值条件。满足幅值条件和相角条件的s值，就是特值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。征方程式的根，也就是闭环极点。 因为因为 在在 范围内变化，总有一个范围内变化，总有一个 值能满值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是幅角条件，足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是幅角条件，即特征方程所有的根都应满足（即特征方程所有的根都应满足（5）式，幅角的总

6、和等）式，幅角的总和等于于 。换句话说，在。换句话说，在s平面上所有满足平面上所有满足(5)式的式的s点都是系统的特征根，这些点的连线就是根轨迹。点都是系统的特征根，这些点的连线就是根轨迹。120gKgK 利用幅值条件计算利用幅值条件计算 值比较方便，它可以作为计值比较方便，它可以作为计算算 值的依据。值的依据。gKgKv绘制根轨迹依据的条件。绘制根轨迹依据的条件。v负反馈系统的特征方程为负反馈系统的特征方程为v幅值条件幅值条件v相角条件（充要条件）相角条件（充要条件）), 2 , 1 , 0( 1)()(1)()( 0)()(1)360180()()(ieesHsGsHsGsHsGijsHs

7、Gj或1)()(sHsG)1,2, 0(i 360180)()(isHsG4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则v绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式)( )()()()()()(2121mnpspspszszszsksHsGnm ) 1() 1)(1() 1() 1)(1( ) 11() 11)(11()() 11() 11)(11( )( )()()()()()(21212112112121 sTsTsTssssKspspspspszszszzkpspspszszszsksHsGnvvvmnvvvnviimmjjnmnviimjjpzkK11)()

8、( K为根轨迹增益或根轨迹放大倍数为根轨迹增益或根轨迹放大倍数K为系统的开环放大倍数。为系统的开环放大倍数。无开环零点时取无开环零点时取1jz4.2.1 根轨迹的分支数根轨迹的分支数v规则一规则一 根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即开环极点个数。开环极点个数。 4.2.2 根轨迹的根轨迹的 连续性与对称性连续性与对称性v共轭复根。共轭复根。v规则二规则二 根轨迹连续且对称于实轴根轨迹连续且对称于实轴。0)()()()( m)(n 0 )()()()(1)()(1 21212121 mnnmzszszskpspspspspspszszszsksHsG得由4.

9、2.3 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点v根轨迹的根轨迹的 起点是指起点是指k=0时的特征根位置，根时的特征根位置，根轨迹的终点是指轨迹的终点是指 时的特征根位置。时的特征根位置。v根轨迹起始于开环极点。根轨迹起始于开环极点。 此时开环极点就是闭环极点。此时开环极点就是闭环极点。k ), 2 , 1( 0)()( 00)()()()( 212121nipspspspskzszszskpspspsinmn ，由v规则三规则三 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若nm,则有则有(n-m)条根轨迹终止于条根轨迹终止于s平面无穷远处。平面无穷远处。都是根

10、轨迹的终点。开环零点和无穷远处，点。开环零点是根轨迹的终 szskkpspsspspspszszszmnmjzszszszskzszszskpspspspspspszszszskjnmmmjmmnnm 1)()(111111 ), 2 , 1( 0)()( 0)()( )()( 0)()()()(112121 21212121214.2.4 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线vnm，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于条根轨迹沿什么方向趋于s平面平面 无穷远处无穷远处?渐近线可认为是渐近线可认为是 时的根轨迹。时的根轨迹。条直线。是上式说明根轨迹渐近线。是渐近线应满足的方程是实数设时，当mnmnlmnl

11、sllsmnksskspspszszszsspspspszszszskaamnamnaaanmnm) 1, 2 , 1 , 0( ) 12()(), 2, 1, 0( ) 12()()( )( 1)( . 1)()()()(1212121sk,mnzpspzssmnssmnsskspzsszsspskmjjniiamnmjniijmnmnamnmnamnmnamnmjniijmnmmjjmnniina11111111111111 )( )()( 由二项式定理，由多项式除法，。求规则四规则四 如果如果mn,k时时，根轨迹有渐近线根轨迹有渐近线 n-m条。这些条。这些渐近线在实轴上交于一点渐近线在

12、实轴上交于一点 ， 渐近渐近 线与实轴正方向的夹角是线与实轴正方向的夹角是mnzpmjjniia11a) 1, 2 , 1 , 0( ,12)(mnlmnlsa4.2.5 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 v设设 其中其中 是共轭复数极点。是共轭复数极点。)()()()()(3211pspspszsksHsG21, pp0180180)()( )()()()()()(,)180180)(0 )()( )()()()(,3212322212122131211111131pszspspspszssHsGszpspspszssHsGspz有中间取非根轨迹的点，在（则有之间取根轨迹上的点与在v规则五规则五

13、 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 ：实轴上的某一区域，：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域是根轨迹。则该区域是根轨迹。举例举例4.2.6 根轨迹在实轴上的分离点和会合点根轨迹在实轴上的分离点和会合点 v图中的点图中的点A 和点和点B 分别是根轨迹在实轴上的分离点和会合点分别是根轨迹在实轴上的分离点和会合点 。 显然，显然，分离点和会合点是特征方程的实数重根。分离点和会合点是特征方程的实数重根。v规则六规则六 根轨迹在实轴上的分离点根轨迹在实轴上的分离点 和会合点和会合点 的坐标应满足方程的坐标应满足方程0)()(dd 0d)

14、(d)(d)(d)( )()( 0d)(dd)(d 0d)(d , d)(d)()()(2d)(dd)(dd)(d)()()()()( 0)()()( )( )( ),(N(s) ;)()()()(21121111sNsDsssNsDssDsNsNsDkssNkssDssfsspssspssssNkssDssfspssskNsDsfsskNsDsfpssDzssDskNsHsGniimjj在分离点和会合点特征方程有两重根设特征方程为0)()(dd 0d)(dsNsDsssf v例例 4-2-1 负反馈系统的开环负反馈系统的开环 传递函数为传递函数为 绘制系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹。v解解

15、开环极点为开环极点为v1）根轨迹的分支数等于）根轨迹的分支数等于3。v2）根轨迹起点为（）根轨迹起点为（0，j0)，(-1，j0)，(-2，j0)。 终点均为无穷远。终点均为无穷远。)2)(1()()(sssksHsG2 , 1 , 0 321ppp v3）渐近线三条，实轴上交点坐标是：）渐近线三条，实轴上交点坐标是：v渐近线与实轴正方向夹角：渐近线与实轴正方向夹角： v4）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹（-，-2段及段及-1，0段。段。v5）求）求实轴上的分离点坐标实轴上的分离点坐标 是根轨迹与实轴分离点的坐标，是根轨迹与实轴分离点的坐标， 不不是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。1302101

16、1mnzpmjjniia60 30035:2 ; 18033:1 ; 603) 12(:0或llmnll578. 1,422. 0 0263d)(d 023)(21223ssssssfkssssf，1s2s4.2.7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 v规则七规则七 根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程有纯虚根。虚轴上的闭环极点，即特征方程有纯虚根。 ceekjHjGjHjGjHjGjjHjGjHjG , 0)()(1Im0)()(1 R0)()(1Im)()(1 R0)()(1v例例 4-2-2 负反馈系统的开环传递函数为负

17、反馈系统的开环传递函数为求系统根轨迹与虚轴交点的坐标及参数临界值求系统根轨迹与虚轴交点的坐标及参数临界值 。v解解 特征方程是特征方程是ck，系统将不稳定。，代入cckkkjkkkjjjsksss 6 262 0203- 023 023322323)2)(1()()(sssksHsG4.2.8 根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角v出射角：根轨迹离开开环复数极点出射角：根轨迹离开开环复数极点 处的处的 切线方向与实轴正方向的夹角，切线方向与实轴正方向的夹角， 如如 。v入射角：根轨迹进入开环复数零点入射角：根轨迹进入开环复数零点 处的切线方向与实轴正方向的夹角，处的切线方向与实轴正方向

18、的夹角， 如如 。v在根轨迹上取一试验点在根轨迹上取一试验点 ，21,pp21,zz11ps )()()(180 )()()()()(180)()( )( 31211131211111111ppppzpppppzpsHsGsHsGpsppp，v出射角表达式出射角表达式v同理可求出入射角表达式同理可求出入射角表达式v规则八规则八 始于开环复数极点处的根轨迹的出射始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的入射角按上两式计角和止于开环复数零点处的入射角按上两式计算。算。mjniijpppzp1211)()(1801nimjjizzzpz1211)()(1801v例例 4-2-3 负反馈

19、系统的开环传递函数为负反馈系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹。解解v1）根轨迹的分支数等于）根轨迹的分支数等于2。v2）根轨迹起点是）根轨迹起点是 。 终点是终点是 及无穷远。及无穷远。v3）因为）因为n=2,m=1,所以只所以只 有一条渐近线，是负实轴。有一条渐近线，是负实轴。v4）实轴上的根轨迹是）实轴上的根轨迹是 （-，-。 25. 33) 1()()(2sssksHsG1 01 5 . 1 025. 3312, 12zsjpss。2, 1pp1zv5）根轨迹在实轴上的会合点坐标根轨迹在实轴上的会合点坐标 是根轨迹与实轴分离点，是根轨迹与实轴分离点，不不是根轨迹上的

20、点，是根轨迹上的点，舍去。舍去。v）出射角）出射角12. 0 ,12. 2 025. 02 0125. 33dd2122ssssssss1s2s6 .2066 .206906 .116180)()(1806 .1162arctan180)(21211111ppppzpzp4.2.9 闭环极点的和与积闭环极点的和与积v根据代数式方程根与系数的关系可写出根据代数式方程根与系数的关系可写出v对于稳定的系统对于稳定的系统v例例4-2-4 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ，与虚轴交点，与虚轴交点 对应的极点为对应的极点为 求对应的求对应的 。0)()( ,0)()(1 2111121nnnnnns

21、sssssasasassssnsHsG则有个根为的设控制系统特征方程式niniaas1n1ii1)s( ninias1)2)(1()()(sssksHsG , 22, 1js 3cks及 6 3)2(233 3 023 32121332123ssskjjssssssksssc特征方程为解v根轨迹放大系数根轨迹放大系数v开环放大系数开环放大系数4.2.10 放大系数的求取放大系数的求取1 1112121无零点时分母为mjjlniillnmzspskpspspszszszskniimjjsaniimjjsvniimjjsppzksHsGsKpzksHssGKpzksHsGK3120210110)(

22、)()()(lim)()()()(lim )()()()(limv例例 4-2-5 开环传递函数开环传递函数 ，)2)(1()()(sssksHsG。求对应的开环放大系数，临界值 6 vccKk 32116)(1 21ppkKcvc解v例例 4-2-6 绘系统的根轨迹图并求与虚轴交点对应的放大系数绘系统的根轨迹图并求与虚轴交点对应的放大系数和闭环极点，开环传递函数为和闭环极点，开环传递函数为)22)(73. 2()()(2ssssksHsG45 31547 :3 135 22545 :213543 :1 454) 12( :018. 104073. 2j1j10)3, 2)4 1)73. 2j

23、,1j,1, 0 1143214321或或角为渐近线与实轴交点与交止于无穷远。起于。根轨迹分支数为开环极点为解lllmnllmnzpppppppppmjjniiav4）实轴上的根轨迹（-2.73，0）。v5）根轨迹与实轴的分离点坐标。v6）根轨迹的出射角。v7）根轨迹与虚轴的交点。06. 2s 0)22ss)(73. 2s ( s dsd1275753090135180)()()(1803423212p2ppppppp23. 7)0)(07. 10) 0(046. 573. 4046. 71324ckkskk及)(33. 1)73. 2()1)(1 (123. 7)()(121sjjpzkKn

24、iimjjcvc84. 0365. 2, 3 . 623. 773. 473. 423. 7 07. 1:)()()(73. 4046. 546. 773. 4)(43214321432, 143214321234jssssssssskjskssssssssksssssDc，闭环极点为系统在临界状态时两个系统的特征方程为：4.2.11 零度根轨迹零度根轨迹若式若式)( )()()()()()(2121mnpspspszszszsksHsGnm 中的中的 ,则相应的根轨迹称为零度根轨迹或正反馈则相应的根轨迹称为零度根轨迹或正反馈根轨迹。这时前述的根轨迹方程和规则中需要修改的内根轨迹。这时前述的根轨迹方程和规则中需要修改的内容如下。容如下。(1)根轨迹方程为根轨迹方程为(2)渐近线与实轴正方向的夹角为渐近线与实轴正方向的夹角为(n-m个不同位置个不同位置)1, 2 , 1 , 02 mnlmnlsa(3)实轴上某线段右侧的开环零极点个数之和为偶数时，实轴上某线段右侧的开环零极点个数之和为偶数时， 该线段是根轨迹。该线段是根轨迹。(4)根轨迹的出射角根轨迹