八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解【DOC范文整理】

1、八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解专题 11 双曲线阅读与思考形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使 用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台 的灯光达到变幻的效果； 又如过湿地时，在地面上铺上木板， 人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.反比例函数的基本性质有：反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；的正负性，决定双曲线大致位置及 y 随 x 的变化情况；双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图 形，对称轴是直线及.反比例函数与一次函数有着内在的联系.如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是 通

2、过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得的矩形的面积，如图：求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解 析式组成的方程组得到.求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和 几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程，解方程求得相 关点的坐标.解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这 样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型 之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建 立模型，又要综合方程、一次函数等知识.例题与求解【例 1】如图，已知双曲线

3、经过矩形oABc 边 AB 的中点F 且交 Bc 于点 E，四边形 oEBF 的面积为 2,则.如图， P1oA1, P2A1A2 都是等腰直角三角形， 点 P1,P2 在函数的图象上，斜边 oA1，A1A2 都在 x 轴上，则点 A2 的坐标是.解题思路：对于，通过连线，把相关图形的面积用表示；对于，设，把 A，c 两点坐标用 a，b 表示.【例 21如图，P 是函数图象上一点，直线交 x 轴于点 A, 交y 轴于点 B, P 丄 x 轴于，交 AB 于 E, PN y 轴于 N,交 AB 于 F,则的值为.解题思路：设，把 AF, BE 用 a, b 的式子表示.【例 31如图，已知直线与

4、双曲线交于A、B 两点，且点A 的横坐标为 4.求的值；若双曲线上一点 c 的纵坐标为 8,求厶 Aoc 的面积； 过原点 o的另一条直线 I 交于 P、Q 两点，若由点AB、 P、Q 为顶点组成的四边形面积为 24,求点 P 的坐标.解题思路：对于，有下列不同的解法：图 1 图 2 图 3对于，需要思考的是，四边形 APBQ 的形状，P 点与 A 点 有怎样的位置关系.【例 4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的 图象经过，两点.求反比例函数的解析式；如图，已知 A 点在象限且同时在上述两个函数的图象上，求 A点坐标；利用的结果，请问：在 x 轴上是否存在点卩，使厶 AoP 为等腰三角

5、形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.解题思路：对于，应分类讨论，并注意A 点坐标隐含的信息.【例 5】一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于点、N, 与反比例函数的图象相交于点 A、B,过点 A 分别作 Ac 丄 x 轴， AE 丄 y轴，垂足分别为 c, E;过点 B 分别作 BF 丄 x 轴，BD 丄 y 轴，垂足分别为 F, D, Ac 与 BD 交于点，连接 cD.若点 A, B 在反比例函数的图象的同一分支上，如图1,试证明：1；.若点 A，B 分别在反比例函数的图象的不同分支上，女口图 2,则 AN 与 B 还相等吗？试证明你的结论.图 1 图 2解

6、题思路：对于，通过连线证明面积相等，进而可证ABIIDe,贝 U 四边形 ANDc DeB 为平行四边形；方法同.例 5 的拓展变化：如图，点，N 在反比例函数的图象上，过点作E 丄 x 轴，过点 N 作 NF 丄 y 轴，垂足分别为 E、F,则 N/ EF.【例 6】点，与点 e 构成边长是 3, 4, 5 的直角三角形， 如果点 e 在反比例函数的图象上，求可能取的一切值.解题思路： 本题是与反比例函数相关的综合题， 运用了 代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法.能力训练A 级已知是反比例函数，贝 U .若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条件的 正整数的值是.已知双曲线经

7、过点，如果，两点在该双曲线上，且，那已知函数的图象上有三点，贝 y,的大小关系是.如图，一次函数与反比例函数相交于A,B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是.如图，B 为双曲线上一点，直线 AB 平行于 y 轴交直线于 点 A，若，则.如图，直线与双曲线交于 A、B 两点，过点 A 作 A 丄 x 轴 于点，连接 B,若，则的值是A.2B.C.D.4如图，反比例函数的图象与直线的交点为 A、B,过 A 作 y 轴的平行线与过 B 作 x 轴的平行线相交于点 c,则厶 ABc 的 面积为A.8B.6C.4D.2函数与在同一坐标系中的图象可能是0.如图，Rt ABo 的顶

8、点 A 是双曲线与直线在第四象限 的交点，AB 丄 x 轴于 B,且.求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A,c 的坐标和厶 Aoc 的面积.1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与 y 轴、x 轴分别交于点 A、点 B,与反比例函数在象限的图象交于点、， 过 c 点作cE 丄 y 轴于 E,过点 D 作 DF 丄 x 轴于 F.求，n 的值；求直线 AB 的函数解析式；求证： AEZADFB.如图所示，已知双曲线的图象上有两点，且，分别过， 向 x轴作垂线，垂足为 B，D,过，向 y 轴作垂线，垂足分别 为 A，c.若记四边形和四边形的面积分别为，周长分别为，试比较和，和的大小

9、；若 P 是双曲线上一点，分别过 P 向 x 轴、y 轴作垂线， 垂足分别为，N.试问当 P 在何处时四边形 PoN 的周长最小， 最小值为多少？B 级已知，且与成反比例，与成反比例 .且当时，；当时，. 当时，.直线与双曲线交于，两点，则.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点 A，c， 自点A 和点 c 作 x 轴的垂线，垂足分别为 B 和 D,则四边形 ABcD 的面积等于.已知函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 c，B，与双曲 线交于点 A，D，若，则的值为.两个反比例函数和在象限内的图象如图所示，点P 在的图象上，Pc 丄 x 轴于点 c，交的图象于点 A，PD 丄 y 轴于

10、点 D, 交的图象于点 B，当点 P 在的图象上运动时，有以下结论：厶 oDB 与厶 ocA 的面积相等；2四边形 PAoB 的面积不会发生变化；3PA 与 PB 始终相等；4当点 A 是 Pc 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点.其中一定正确的是.如图，正方形 oABc, ADEF 的顶点 A D, c 在坐标轴上， 点 F在 AB 上，点 B，E 在函数的图象上，则点E 的坐标是A.B.c.D.如图，两个反比例函数和在象限内的图象依次是曲线和，设 P 点在上，PE 丄 x 轴于点 E,交于点 A, PDL y 轴于点 D 交于点 B,贝 U 四边形 PAoB 的面积为A.B.c.D.等

11、腰直角三角形 ABc 位于象限，直角顶点 A 在直线上， 其中 A 点的横坐标为 1,且两条直角边 AB Ac 分别平行于 x 轴、y 轴，若双曲线与 ABc 有交点，则的取值范围是A.B.c.D.如图，正方形 oABc 的面积为 9,点 o 为坐标原点，点 A 在 x轴上，点 c 在 y 轴上，点 B 在函数的图象上，点是函数 的图象上的任意一点，过点P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E, F,并设矩形 oEPF 和正方形 oABc 不重合部分的 面积为 S.求 B 点坐标和的值；当时，求点 P 的坐标；写出 S 关于的函数关系式.0.如图，已知直线交 x 轴于 A,交 y 轴于 B, P 为反比例 函数上一点，过 P 作 x 轴平行线交直线 I 于 E，过 P 作 y 轴 平行线交直线I 于 F.求的值.11.已知一次函数与反比例函数 的图象交于点，.求一次函数与反比例函数的解析式；求厶 oN 的面积.已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，且.这条曲线是函数的图象 在象限内的一个分支，点 P 是这条曲线上任意一点，它的坐 标是，由点 P 向 x轴、y 轴作垂线 P，PN 分别与直线