第2章_材料的结构第2节晶面晶向指数

1、12晶向晶向（crystal directions） ：通过晶体中任意两个通过晶体中任意两个结点的连线的方向，代表了结点的连线的方向，代表了晶体中原子列的方向。晶体中原子列的方向。晶面：晶面： （crystal planes）晶体结构中不在同一直线上任三个阵点所构成的晶体结构中不在同一直线上任三个阵点所构成的平面，代表了晶体中原子面的方向。平面，代表了晶体中原子面的方向。.什么是晶向和晶面什么是晶向和晶面?3（1 1）. .不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。（2 2）. .材料的许多性质和行为材料的许多性质和行为( (如各种物理性质

2、、力学行为、如各种物理性质、力学行为、相变、相变、X X光和电子衍射特性等光和电子衍射特性等) )都和晶面、晶向密切相关；都和晶面、晶向密切相关；、如何表征晶向和晶面？如何表征晶向和晶面？4（1 1）. .解析法：用一组解析法：用一组(3(3或或4 4个个) )数字表征晶面和晶向。数字表征晶面和晶向。这组数就称为晶面指数或晶向指数。它是材料科学工这组数就称为晶面指数或晶向指数。它是材料科学工作者的共同语言。作者的共同语言。晶向符号晶向符号( (指数指数) ) ：表示晶向方位的数字符号。：表示晶向方位的数字符号。晶面符号晶面符号( (指数指数) )：表示晶面在空间方位的符号。：表示晶面在空间方位

3、的符号。（2 2）. .图示法：用各种晶体投影图表征晶面或晶向。图示法：用各种晶体投影图表征晶面或晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际国际上通用密勒指数上通用密勒指数（iller indices ）来统一标定晶向指数来统一标定晶向指数与晶面指数。与晶面指数。5一一. . 晶向符号晶向符号( (三轴，如立方三轴，如立方) )用三指数用三指数u，v，w表示晶向符号。表示晶向符号。确定确定三轴坐标系下晶向指数三轴坐标系下晶向指数 的步骤如下：的步骤如下： 设坐标设坐标以晶胞的某一阵点以晶胞的某一阵点O为原点，过原点为原点，过原点O的晶轴为坐标轴的晶轴为坐标轴x, y , z, 以

4、晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。6(2) (2) 求坐标求坐标过原点过原点O作一直线作一直线OP，使其平行于待定晶向。，使其平行于待定晶向。在直线在直线OP上任取（除原点外）上任取（除原点外）一个阵点一个阵点P，确定，确定P点的点的3个个坐标值坐标值X、Y、Z。方法上可作平方法上可作平行六面体，从行六面体，从而求而求X、Y、Z，不能向各晶轴不能向各晶轴面作垂线求坐面作垂线求坐标。标。7(3)以轴单位以轴单位a、b、c来度量，得系数来度量，得系数U、V、W.U=X/a，VY/b，WZ/cr = U a + V b + W c OP8(4) (4)

5、 化为互质整数比化为互质整数比将这将这3个坐标值化为互质的最小整数个坐标值化为互质的最小整数u，v，w。不求倒数不求倒数。(5)(5) 列括号列括号，u v wu v w即为待定晶向的晶向指即为待定晶向的晶向指数。数。若晶向上一坐标值为负值则在指数上加一负号。若晶向上一坐标值为负值则在指数上加一负号。不加不加逗号逗号e.g., x-axis 100 y-axis 010 z-axis 001111110 U V W 晶向晶向Miller指数指数X/a：Y/b：Z/cu：v：w910（1 1）找出该晶向上两点的坐标）找出该晶向上两点的坐标(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )和和(x(

6、x2 2,y,y2 2,z,z2 2););（2 2）将）将(x(x1 1-x-x2 2) )，(y(y1 1-y-y2 2) )，(z(zl l-z-z2 2) )化成互质整数化成互质整数u u，v v，w;w;（3 3）满足）满足u u：v v：w w(x(x1 1一一x x2 2) )：(y(y1 1一一y y2 2) ) ：(z(zl lzz2 2) )。若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：1121112（1 1）与原点位置无关；每一符号代表一组在空间相互平）与原点位置无关；每一符号代表一组在空间相互平行且方向一致的所有晶向。行且方向一致的所有晶

7、向。 晶向符号特征及规律：晶向符号特征及规律：（2 2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反。）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反。 110110与与平行的晶向平行的晶向, ,方向相反。方向相反。 11011013（3 3）有些晶向在空间位向上不同，但晶向原子排）有些晶向在空间位向上不同，但晶向原子排列情况相同，这些晶向可归为一个列情况相同，这些晶向可归为一个晶向族晶向族，用表示。如用表示。如111111晶向族包括晶向族包括111111、T11T11、1T11T1、11T11T、TT1TT1、1TT1TT、T1TT1T、TTT TTT 。 同一晶向族中晶向上原子排列因对称关同

8、一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。系而等同。 14 晶向族：等价晶向晶向族：等价晶向 e.g., =100+010+001 +100+010+001 (立方晶体立方晶体)区别区别: :晶族晶族(crystal group)(crystal group)15=?=?=110+101+011+T10+1T0+T01+10T+0T1+01T+TT0+T0T+0TT16晶向族晶向族: :任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数。任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数。 =?=? =111+ 11+1 1+11 =111+ 11+1 1+11 TT1TT11TT1TTT1TT1TTTTTTT1

9、11 =?=? =?=?17二二. . 晶面指数晶面指数( (三轴，如立方三轴，如立方) )1 1、确定、确定立方晶系晶面指数立方晶系晶面指数（）的步骤如下（）的步骤如下: : 设坐标设坐标： 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；相同；原点设在待求晶面以外原点设在待求晶面以外。 晶面符号中应用最广的是晶面符号中应用最广的是米氏符号米氏符号，由英国学者米勒尔在，由英国学者米勒尔在1839年创立。年创立。18 求截距系数求截距系数： 顺序求待标晶面在三个轴上的顺序求待标晶面在三个轴上的截距系数截距系数(p(p、q q、r)r)，即由

10、该晶，即由该晶面在三个晶轴上的截距用相应面在三个晶轴上的截距用相应的轴单位去度量而求得。的轴单位去度量而求得。 因为截距的具体值不便应用，因为截距的具体值不便应用，且轴单位相同用具体值也不必且轴单位相同用具体值也不必要，所以取截距系数。要，所以取截距系数。 截距系数相同的晶面，由于晶截距系数相同的晶面，由于晶系的不同，其在各晶轴上所截的真系的不同，其在各晶轴上所截的真正长短也并不一定相等。正长短也并不一定相等。19 取倒数取倒数：取各截距系数的倒数；取各截距系数的倒数； 1/x, 1/y, 1/z 化整数化整数：将三倒数化为互质的整数比将三倒数化为互质的整数比h：k：l 取倒数是为了使一些平行

11、于某晶轴的晶面能标定其取倒数是为了使一些平行于某晶轴的晶面能标定其符号，否则如符号，否则如：1等无法标定。不存在某位为零等无法标定。不存在某位为零而无法求倒问题，因为晶面符号表示一系列平行晶面，而无法求倒问题，因为晶面符号表示一系列平行晶面，如某面的截距为零，则平移即可。如某面的截距为零，则平移即可。 求比是因为对诸如截距系数为：求比是因为对诸如截距系数为：1、2、4；2、4、8等晶面，其位向实际上完全相同，性质也一样，而这些平等晶面，其位向实际上完全相同，性质也一样，而这些平行的晶面在晶体中近于无穷多个，用截距系数或倒数作符行的晶面在晶体中近于无穷多个，用截距系数或倒数作符号将会有无数个，不

12、现实也没必要。由于其方位相同，性号将会有无数个，不现实也没必要。由于其方位相同，性质相同，所以应采用同一符号，故应质相同，所以应采用同一符号，故应求比求比并且并且化简化简。h：k：l1/p：1/q：1/r20 加括号加括号：去掉比号，加一小括弧，去掉比号，加一小括弧，记为记为（hklhkl），），即表示该晶面的米氏符号，即表示该晶面的米氏符号，如果所求晶面在晶轴上截距如果所求晶面在晶轴上截距为负数（为负数（该晶面与该轴负方向相截该晶面与该轴负方向相截）则在指数上加一负）则在指数上加一负号。号。其中其中h h、k k、l l称为晶面指数（米勒指数），它们是一称为晶面指数（米勒指数），它们是一组小

13、的、互质的整数。组小的、互质的整数。21222.2.晶面指数特点与规律：晶面指数特点与规律：（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的晶面，晶面，而不是某一晶面而不是某一晶面。(2) (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为对称中心，且相互平行的晶面。如（对称中心，且相互平行的晶面。如（110110）和（）和（TT0TT0）互）互相平行。相平行。 （3） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大，晶面指数是截距系数的

14、倒数，因此，截距系数越大，则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距系数为系数为，对应的指数为，对应的指数为1/0.（100100）与）与 平行的晶面平行的晶面, ,方向相反。方向相反。 （ 0000）123（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如：如：111 （111）、）、110 （110）、）、100 （100）。该）。该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则(hkl)与与hkl不垂直。不垂直。晶面晶面（hk

15、l）的法线与晶向）的法线与晶向hkl的方向平行，这就是晶面指的方向平行，这就是晶面指数的几何意义。数的几何意义。 （100100）与）与 100100？有何关系？有何关系？24动画动画-晶面指数的确定方法晶面指数的确定方法25例例: (由晶面符号画出晶面由晶面符号画出晶面)263 3、晶面族、晶面族 在晶体内在晶体内凡晶面间距和凡晶面间距和晶面上原子排晶面上原子排列分布情况完列分布情况完全相同，只是全相同，只是空间位向不同空间位向不同的一组晶面的的一组晶面的集合集合称为称为晶面晶面族族。27晶面族表示方法：晶面族表示方法：用花括号用花括号hklhkl表示表示。它代表它代表由对称性相联系的若干组

16、等效晶面的总和。由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。 如如100包括包括(100)、(010)、(001)、(T00)、(0T0)、(00T)。 110110 ？111111？28 h k lh k l 晶面族：等价晶面晶面族：等价晶面晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果。晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果。110=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)+(0T1)+(01T)+(TT0)+(T0T)+(0TT)晶面族中等价晶面的个数用于多晶晶面族中等价晶面的个数用于多晶x x射线衍射中多重性因射线衍射中多重性因子的表示。

17、子的表示。立方立方晶系晶系晶体晶体29)121() 112()112()211()112() 121 ()211()121()211()211 ()121()112(112 111=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+(TT1)+(1TT)+(T1T)(TTT)立方晶系：立方晶系：再加上以上各指数均取相反数的符号。再加上以上各指数均取相反数的符号。立方晶系：立方晶系：30)132() 123()213()321()231()213()123()312()321() 312()132()213()123() 132()312()231()213()231 ()321()132()31

18、2() 321 ()231()123(123 再加上以上各指数均取相反数的符号。再加上以上各指数均取相反数的符号。31立方晶体中重要晶面的原子排列和面密度立方晶体中重要晶面的原子排列和面密度plane indicesBCCFCCatomic arrangementplanar densityatomic arrangementplanar density100110111221414aa224 . 121414aa2258. 023613aa2221414aa224 . 12212414aa223 . 223213613aaaaaa2a2a2a2aaaa2a2a2a232linear indi

19、cesBCCFCCatomic arrangementlinear densityatomic arrangementlinear densityaa1212aa7 . 02212aa16. 131212aa1212aa4 . 121212aa58. 03212aaa2a2a3a3立方晶体中重要晶向的原子排列和线密度立方晶体中重要晶向的原子排列和线密度33 为何用四轴坐标? 该系统的独特对称性决定的。.34)100(110100)011 (六方晶系的晶向指数和六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用晶面指数同样可以应用上述三轴方法标定，这上述三轴方法标定，这时取时取a1，a2（b），），c为为

20、晶轴，而晶轴，而a1轴与轴与a2轴的轴的夹角为夹角为120度，度，c轴与轴与a1，a2轴相垂直。轴相垂直。但这种但这种三轴方法标定的三轴方法标定的晶面指数和晶向指数，晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系不能完全显示六方晶系的对称性的对称性。用三个指数表示晶面和晶向，晶体学上等价的晶面和晶向不用三个指数表示晶面和晶向，晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。具有类似的指数。35为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得采用四指数表示。晶体来说，就得采用四指数表示。对六方晶系采用对六方晶系采用a a1 1，a a2

21、2，a a3 3及及c c四个晶轴，其中四个晶轴，其中a a1 1、a a2 2、a a3 3处于同一底面上，且处于同一底面上，且a a1 1，a a2 2，a a3 3之间的夹角均为之间的夹角均为120120，表示晶体底面的表示晶体底面的(六次六次)对称性，对称性，C C轴轴垂直于底面。这样，其晶面指数就以垂直于底面。这样，其晶面指数就以( (hkilhkil) )表示。表示。36晶面指数晶面指数(h k i l)(h k i l)四四个指数来表示。个指数来表示。 确定步骤确定步骤方法同立方晶方法同立方晶系系一样一样， (h k i l)(h k i l)为在四个坐为在四个坐标轴的截距系数倒

22、数的标轴的截距系数倒数的化简。化简。底面指数为底面指数为(0001)(0001)。1 1、晶面指数、晶面指数37 可以证明: i (hk)0110()100()0011 ()011 (根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：下关系：i ( h + k ) 。a3一(a1+a2)38六方晶体中常见的晶面六方晶体中常见的晶面39(1)(1)平移晶向平移晶向( (或坐标或坐标) )，让原点为晶向上一点，让原点为晶向上一点，取另一点的坐标取另一

23、点的坐标; ;(2)必须满足必须满足u+v+t0， 或或t=(u+v)。标定方法：标定方法：2 2、晶向指数、晶向指数晶向指数晶向指数 uvtwuvtw 四个指数来表示。四个指数来表示。000101010111011240动画动画六方晶系晶向的四轴表示和三轴表示六方晶系晶向的四轴表示和三轴表示用四轴分量表示一个矢量的方法有无穷多种，用四轴分量表示一个矢量的方法有无穷多种，为使指数为使指数唯一唯一, 设一额外设一额外限制限制条件：条件：. -Let t(uv)41(3)(3)化成最小、整数化成最小、整数比比 u u：v v：t t：w w(4) 放在方括号中放在方括号中uvtwuvtw，不加逗，

24、不加逗号，负号记在上号，负号记在上方方 。00010101011101124243 指数变换指数变换 三指数三指数四指数四指数. 四指数四指数三指数三指数 设一个矢量的设一个矢量的3轴下指数为轴下指数为U V W, 四轴下矢量为四轴下矢量为 u v t w.cwa tavauL321cWaVaU21)()(213vutaaa44or:cWaVaUcwaavuavau212121)(cWaVaUcwavuavu2121)2()2(wWuvVvuU22)2(31VUu)2(31UVvWw )(vut45For example: 0112:1000w31t31v32u46六方晶系的晶向族与晶面族六方

25、晶系的晶向族与晶面族 同一族的晶向或晶面具同一族的晶向或晶面具有等同的效果；有等同的效果； 三个水平方向具有等同三个水平方向具有等同的效果，指数的交换只的效果，指数的交换只能在他们之间进行，能在他们之间进行，Z Z轴只能改变符号轴只能改变符号； 改变符号时，前三项要改变符号时，前三项要满足满足p pq qr r0 0的相关的相关性要求。性要求。47共六个等价面；而0001只包括(0001)和(0001)两个晶面，称为基面。共六个等价面；1010=(1010)+(1100)+(0110)+(0110)+(1100)+(1010)1120(1120)+(1210)+(2110) (1120)+(1

26、210)+(2110)48晶带晶带和晶带轴和晶带轴平行或相交于同一直线的所有晶面构成平行或相交于同一直线的所有晶面构成一个一个晶带晶带，此直线称为它们的，此直线称为它们的晶带轴晶带轴。属此晶带的晶面称属此晶带的晶面称为为晶带面晶带面。晶体上彼此交棱相互平行的一组晶面的组合构晶体上彼此交棱相互平行的一组晶面的组合构成一个晶带。成一个晶带。001如：如：NaClNaCl的立方体晶体，的立方体晶体，（010010）、（）、（001001）、（）、（0 0 0 0）、（）、（00 00 ）组成一个晶）组成一个晶带；（带；（001001）、（）、（100100）、）、（00 00 ）、（）、（ 0000

27、）组成一个）组成一个晶带；（晶带；（100100）、（）、（010010）、）、（ 0000）、（）、（0 00 0）组成一）组成一个晶带。个晶带。 11111149晶带轴晶带轴是指用以表示晶带方向的一根直线，它通是指用以表示晶带方向的一根直线，它通过晶体中心，平行于该晶带的所有晶面的交棱。过晶体中心，平行于该晶带的所有晶面的交棱。晶带用晶带轴的晶向符号表示晶带用晶带轴的晶向符号表示。uvw必须注意，虽然晶带符号与晶向符必须注意，虽然晶带符号与晶向符号是同样形式的一个符号，但作为号是同样形式的一个符号，但作为晶向符号时，它只代表一个晶棱方晶向符号时，它只代表一个晶棱方向；而作为晶带符号时，它代

28、表与向；而作为晶带符号时，它代表与此晶棱方向平行的一组晶面。此晶棱方向平行的一组晶面。50通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数：通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数： a)a) 两不平行的晶面（两不平行的晶面（h h1 1k k1 1l l1 1）和（）和（h h2 2k k2 2l l2 2）的晶带）的晶带轴轴uvw uvw 。 b)b) 二晶向二晶向uu1 1v v1 1w w1 1 和和uu2 2v v2 2w w2 2 所决定的晶面。所决定的晶面。晶带定律晶带定律(zone law)：同一晶带上晶带轴同一晶带上晶带轴uvw和和该晶带的晶带面（该晶带的晶带面（hkl）之间存在以下关系：）

29、之间存在以下关系： hu+kv+lw=0 凡满足此关系的晶面都属于以凡满足此关系的晶面都属于以u v w为晶带轴的晶为晶带轴的晶带，此关系式称作带，此关系式称作晶带定律晶带定律。Wiss Law51晶带定律的运算和应用 h h1 1u uk k1 1v vl l1 1w = 0w = 0 h h2 2u uk k2 2v vl l2 2w = 0w = 0 解出：解出： u:v:w=)( : )( : )(122112211221khkhhlhllklkwvu:由晶面（由晶面（h1 k1 l1）和晶面（）和晶面（h2 k2 l2）求晶带轴）求晶带轴.（h1k1l1）（h2k2l2）u v w5

30、2 如有两个晶面（如有两个晶面（h1k1l1）和（）和（h2k2l2）同属于某一）同属于某一个晶带个晶带uvw，则，则u、v、w值唯一，也就是说值唯一，也就是说两个不两个不平行的晶面不可能同属于两个晶带平行的晶面不可能同属于两个晶带。因为如另有一。因为如另有一个晶带个晶带rst包含此两个晶面，那么由晶带定义，包含此两个晶面，那么由晶带定义，(h1k1l1)与与(h2k2l2)有一交线属于有一交线属于uvw晶带，另有一交晶带，另有一交线属于线属于rst晶带，即两个晶面有两个交线，这是不可晶带，即两个晶面有两个交线，这是不可能的，所以它们只能同属一个晶带。反过来，同理可能的，所以它们只能同属一个晶带。反过来，同理可得：得：两个晶带不可能同时包含两个不平行的晶面两个晶带不可能同时包含两个