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1、倍长中线巧解题中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法添加辅助线所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法下面举例说明EB D CA图1一、证明线段不等例1 如图1,在ABC中,AD为BC边上的中线求证:AB+AC2AD变式1:如图,点D、E三等分ABC的BC边,求证:AB+AC>AD+AE二、证明线段相等例2 如图2,在ABC中,ABAC,E为BC边的中点,AD为BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G求证:BF=CGA2 3GB E D CF1H图2变式2
2、:如图,D为线段AB的中点,在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE、DF、EF,求证:DEF为等腰直角三角形三、求线段的长AGB DFE1 C2图3例3 如图3,ABC中,A=90°,D为斜边BC的中点,E,F分别为AB,AC上的点,且DEDF,假设BE=3,CF=4,试求EF的长超前班选作四、证明线段倍分例4 如图4,CB,CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线,且AC=AB求证:CE=2CDF2 3A D 1 B EC图4五、证明两直线垂直例5:如图,ABC中,D为BC中点,AB=5,AD=6,AC=13。求证:ABAD。
3、 NHGFE2B D C1 MA3变式: 如图5,分别以ABC的边AB,AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH,M为FH的中点求证:MABC“截长补短法在几何证明问题中的运用图1-1例1. ,如图1-1,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC.求证:BAD+BCD=180°.图2-1例2. 如图2-1,ADBC,点E在线段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB.求证:CD=AD+BC.例3. ,如图3-1,1=2,P为BN上一点,且PDBC于点D,AB+BC=2BD.求证:BAP+BCP=180°.图3-1图4-1例4. :如图4-1,在ABC中,C2B,12.求证:AB=AC+CD.练习:ABDC1、,如右图:RtABC中,C=90°,AC=BC,AD平分BAC.求证:AC+ CD =AB ACDEB2、:如右图,ACBD,EA、EB分别平分CAB和DBA,CD过E点,求证:AB=AC+BD3.:如下左图,D是EF的中点,BE=CF,求证:ABC是等腰三角形。 4.:如下中图,AD平分BAC,A
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