高等数学课程教学大纲(9)

1、.高等数学课程教学大纲 Advanced Mathematics           课程编号:             适用专业: 理学(非数学)、工学、管理学各专业             总学时:176 学分数 10      

2、60;      执笔人： 高等数学课题组 编写日期 2003年6月   一、             课程的性质和目的   高等数学是高等院校理学（非数学）、工学、管理学各专业学生的一门重要的基础理论课和工具课。它是以上各专业的必修课、学位课。通过本课程的学习，使学生系统的获得微积分、空间解析几何、级数、常微分方程的基本知识、基本理论和基本运算技能技巧，在传授知识的同时，逐步培养学生的抽象思维能

3、力、逻辑推理能力与空间想象能力，培养学生综合运用所学知识分析、解决实际问题的能力，同时培养学生的自学能力，全面提高学生的数学素质，为学习后继课程、进一步获得数学知识，奠定必要的数学基础。   二、             课程的教学内容及深广度   第一章             函数与极限（16学时） 理解函数的概念，了解函数

4、的基本性质（有界性、单调性、周期性、奇偶性）。理解反函数和复合函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及图形。能列出简单实际问题中的函数关系。理解极限的概念（但对 定义中给定 求N或 不作过高要求）,并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。掌握极限的性质与四则运算法则。了解两个极限存在准则，会用两个重要极限求极限。了解无穷小，无穷大的概念，掌握无穷小的比较。会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，会判断间断点的类型。了解初等函数的连续性，知道闭区间上连续函数的性质。   第二章       &

5、#160;     导数与微分（12学时）   理解导数概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系，能用导数描述一些物理量、几何量等。熟悉导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。了解高阶导数的概念，会求反函数的导数。能熟练地求初等函数的一阶和二阶导数。掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。理解微分概念，理解导数与微分的关系，了解微分的四则运算法则，了解一阶微分的形式不变性，会用微分进行简单的近似计算。   第三章        

6、;     中值定理与导数的应用（16学时）   理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日(Largrange)定理。掌握它们的应用方法。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理并会应用。理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法。会判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，能描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会解较简单的最大值和最小值的应用题。熟练掌握罗必塔(L Hospital)法则。知道曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。知道求方程近似解的二分法和切线法。   第四章  

7、           不定积分（12学时）   理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。会求有理函数、简单的三角函数有理式及简单无理函数的积分。    第五章             定积分（14学时）   理解定积分的概念及性质。掌握定积分的换元积分法与分部积分法。理解变

8、上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。了解广义积分的概念，并会利用定义判定简单广义积分的敛散性。知道定积分的近似计算法（矩形法与、梯形法和抛物线法）。   第六章             定积分的应用（10学时）   掌握定积分的元素法,会用元素法求平面图形的面积、平面曲线的弧长，旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积。会用元素法求功、水压力、引力、平均值和均方根。   第七章

9、0;            空间解析几何与向量代数（16学时）   理解空间直角坐标系与向量的概念。掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）。了解向量的混合积及其几何意义。掌握两个向量夹角的求法、垂直与平行条件。熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量的运算。熟悉平面方程和直线方程及其求法。理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其图形，掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。知道空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲

10、线在坐标面上的投影。   第八章             多元函数微分法及其应用(18学时)   理解多元函数的概念。了解二元函数的极限、连续性等概念，知道有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数、全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，掌握全微分的计算方法。理解方向导数的概念，并掌握其计算方法。熟练掌握复合函数的偏导数的求法，并会求二阶偏导数。会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的导数。了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们方程的

11、求法。理解多元函数的极值概念，会求二元函数的极值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。   第九章             重积分（12学时）   理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。熟练掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标），掌握三重积分的计算法（直角坐标、柱坐标、球坐标）。会用重积分计算平面图形的面积、空间立体的体积、以及曲面的面积等几何量，会用重积分计算质量、重心、转动惯量、引力

12、等物理量。   第十章             曲线积分与曲面积分（16学时）   理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。掌握两类曲线积分的计算方法。熟悉格林（Green）公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。会二元函数的全微分求积。理解两类曲面积分的概念，了解两类曲面积分的性质及两类曲面积分的关系。会计算两类曲面积分。掌握高斯（Gauss）公式，了解斯托克斯(Stokes)公式。了解散度、旋度的计算方法。了解场的概念，会

13、用曲线积分与曲面积分来计算一些几何与物理量（如面积、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。   第十一章 无穷级数(18学时)   理解无穷级数收敛、发散以及和的概念.了解无穷级数收敛的必要条件与无穷级数的基本性质。熟悉几何级数和p-级数的敛散性。掌握正项级数的比较审敛法及极限审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法及根值申敛法。掌握交错级数的莱布尼兹(Leibniz)定理，并能估计交错级数的截断误差。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。理解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基

14、本性质，会利用幂级数的性质求幂级数的和函数,了解函数展开为泰勒（Taylor）级数的充要条件。掌握1/1-x，e ，sinx，cosx，ln(1+x)和(1+x) 的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并会利用这些展开式将一些简单的初等函数展开成为幂级数。会用幂级数进行一些近似计算。理解函数展开成为傅里叶（Fourier）级数的狄里赫莱（Dirichlet）条件，并能将定义在（- ），（-,）上的函数展开成为傅里叶级数，能将定义在（0,）上的函数展开成为正弦级数或余弦级数。知道傅里叶级数的复数形式。   第十二章 常微分方程(16学时)   了解微分方程、解、通

15、解、初始条件和特解等概念。会识别下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性方程，贝努力方程和全微分方程。熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法.会解齐次方程和贝努力方程,从中领会用变量代换求解方程的思想。会解全微分方程，知道积分因子的概念。知道一阶常微分方程的欧拉(Euler)-柯西(Cauchy)近似法。了解下列几种特殊的高阶方程y =f(x)、y =f(x,y )和y =f(y,y )的降阶法，了解线性微分方程解的结构。熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶

16、常系数非齐次线性微分方程的解法。知道欧拉方程及其解法、常微分方程的幂级数解法。会用微分方程解决一些简单的几何与物理问题。   说明：(1)概念理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，运算方法从高到低用“熟练掌握”、 “掌握”、“会”或“能” 三级区分，“熟悉”相当于“理解”并“熟练掌握”。   三、 本课程与其他课程的联系   1、高等数学在高等院校的教学计划中是大学一年级学生的必修课，它的后继课有：复变函数、积分变换、概率论与数理统计、数学实验、数学建模、普通物理、理论力学、材料力学、弹性力学等基础理论课及技术基础理论课。这些课程都将以高等数学为工具

17、。2、本课程与数学实验课的联系：由于一些高等数学的内容可以作为数学实验课的基础实验，如：函数作图、方程的近似解的二分法和切线法、定积分近似计算法（矩形法、梯形法和抛物线法）、用幂级数进行近似计算、微分方程的幂级数解法等，这部分内容可以在高等数学课中作简单介绍，再在数学实验课中通过实验来加深对内容的理解，这样既能充分利用学时，又能提高教学效果，实现数学教学的整体优化。3、本课程与数学建模的联系：要把数学建模的最基本的内容和最基本的方法，融于高等数学教学过程之中，使学生在学习微积分的过程中，同时学会应用数学方法建立数学模型,提高学生应用数学方法解决实际问题的意识与能力,同时为进一步学习数学建模打下

18、良好基础。   四、 对本课程教学的建议   1、本课程以课堂教学为主，同时，选择部分内容在教师指导下由学生自学，自学内容如：第一章中的四则运算法则；第二章的微分在近似计算中的应用；第三章的方程近似解；第五章的定积分近似计算；第十一章的用幂级数进行近似计算与傅里叶级数的复数形式；第十二章的微分方程的数值解法等。2、在教学过程中，注意将微积分发展史和数学方法论的有关内容融入整个高等数学的教学过程中，使学生清楚所学的重要概念的来龙去脉，加深对所学内容的理解，并提高学生的学习兴趣。3、在以教材为主进行教学的同时，给学生指定适当的参考书，拓宽学生的知识面，加深学生对所学内容的理解，并有教学过程给学生介绍有关微积分的英语词汇，以提高学生的英语水平。4、在一些班级利用多媒体教学，进行教学手段、教学方法的改革试点。5、本课程每学期安排一次期中考试，学期结束时进行全校统考（教改试点班除外），实行教考分离，试题由教务处组织非任课专家从试题库组题。教改班根据实际情况单独命题考试。