W3_8反常积分

1、1高等数学 第二十七讲2第八节反常积分 第三章 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分常义积分积分区间被积函数推广一、积分区间为无限的反常积分一、积分区间为无限的反常积分反常积分 (广义积分)ba,是有限的，即, a b是有限数。)(xf在ba,上有界。3一、积分区间为无限的反常积分一、积分区间为无限的反常积分-无穷限的反常积分无穷限的反常积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作121dxxA其含义可理解为 bbxxA121dlimbbbx11limbb11lim1若曲线为xy1和直线及 x 轴所围成的开口曲1x边梯形的面积可记作1

2、2dxxAbbxxA12dlimbbx1lnlim1lnlnlimbb积分收敛积分发散4定义定义1. 设, ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的在无穷区间的反常积分积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散 .类似地 , 若, ,()(bCxf则定义在该区间上的反常积分为xxfxxfbaabd)(limd)(5, ),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 ,

3、 就称xxfd)(发散 .无穷区间的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 .6,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF7例例1. 计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy8例例2. 证明第一类 p 积分apxxd证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1

4、p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 9二、二、被积函数有无穷间断点的反常积分被积函数有无穷间断点的反常积分-无界函数的反常积分无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积 可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy 可见把被积函数推广到在有限区间上是无界的情形是可能的，而且是有用的。10定义定义2. 设, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,x

5、xfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 （a , b 上的反常积分, 记作则定义则称此极限为函 11,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇

6、点奇点) .则定义12注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?13112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .14例例6：计算4342cosxdx解：解：xx22cos1lim21242cosxdx4322cosxdx2421cosxdxxtan42则此反常积分发散。注：若疏忽了2x是被积函数的瑕点，而将它误认为定积分来计算则有错误的结果。xtan4430机动 目录 上页 下页 返回 结束 15内容小结内容小结 1. 反常反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限说明说明: (1)