统计学——利用线性回归进行预测

1、利用线性回归进行预测 回归分析回归分析的主要的主要目的目的是根据所建立的估计的回归方是根据所建立的估计的回归方程进行程进行预测预测或或控制控制。预测预测是通过自变量是通过自变量x的取值来预测因变量的取值来预测因变量y的取值。的取值。控制控制是根据一个想要的是根据一个想要的y值值,求得所要求的求得所要求的x的值（与的值（与预测恰好相反）。预测恰好相反）。我们这里讲的主要是预测方面的内容我们这里讲的主要是预测方面的内容利用线性回归进行预测1 点估计点估计 2 区间估计区间估计 点 估 计点 估 计1.对于自变量对于自变量 x 的一个给定值的一个给定值 ，根据回归方程，根据回归方程得到因变量得到因变

2、量 y 的一个估计值就是点估计的一个估计值就是点估计点估计值有点估计值有 y 的的平均值平均值的点估计的点估计 y 的的个别值个别值的点估计的点估计3. 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同。的点估计是一样的，但在区间估计中则不同。0 x平 均 值 的 点 估 计利用估计的回归方程，对于自变量利用估计的回归方程，对于自变量 x 的的一个给定值一个给定值 x0 ，求出因变量，求出因变量 y 的平均的平均值的一个估计值值的一个估计值E(y0) ，就是，就是平均值的平均值的点估计点估计个 别 值 的 点 估 计利用估计

3、的回归方程，对于自变量利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值的一个给定值 x0 ，求出因变量，求出因变量 y 的一的一个个别值的估计值个个别值的估计值 ，就是，就是个别值个别值的点估计的点估计.0 y案例 区 间 估 计区 间 估 计对于自变量对于自变量 x 的一个给定值的一个给定值 ，根据回归方，根据回归方程得到因变量程得到因变量 y 的一个估计值的区间就是区的一个估计值的区间就是区间估计。间估计。点估计值也有点估计值也有 y 的的平均值平均值的区间估计的区间估计置信区间置信区间 y 的的个别值个别值的区间估计的区间估计预测区间预测区间3. 在区间估计条件下，即使对于同一个在区间估

4、计条件下，即使对于同一个 平均值平均值的区间估计和个别值的的区间估计也是不一的区间估计和个别值的的区间估计也是不一样的，预测区间要比置信区间宽一些。样的，预测区间要比置信区间宽一些。0 x0 x置 信 区 间 估 计 y 的期望值的置信区间估计的期望值的置信区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个的一个给定值给定值 x0 ，求出因变量，求出因变量 y 的期望值的期望值E(y0)的的估计区间估计区间 ，这一估计区间称为，这一估计区间称为置信区间置信区间1. E(y0) 在在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为niiexxxxnSty1220

5、201sy00 y预 测 区 间 估 计 y 的个别值的预测区间估计的个别值的预测区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个的一个给定值给定值 x0 ，求出因变量，求出因变量 y 的一个个别值的的一个个别值的估计区间，这一区间称为估计区间，这一区间称为预测区间预测区间 1. y0在在1- 置信水平下的预测区间为置信水平下的预测区间为niiexxxxnSty12202011置信区间、预测区间、回归方程xy10 案例案例1 选取了广东省高等学校在校生人数从1995年到2009年共15年的两个时间序列数据为样本进行分析和预测，数据分别见表1-1。 问题：运用适

6、当模型对2010年的在校生数进行预测。我国的高等学校在校生我国的高等学校在校生人数的修正指数曲线为人数的修正指数曲线为所以，将所以，将t=16代入，可代入，可以得到以得到2010年的高等学年的高等学校在校生人数的预测值校在校生人数的预测值tty)1453. 1 (112.213778.1465.17016)1453. 1x(112.213778.14y（万人）（万人）案例案例2 根据某地区历年人均收入（元）与商品销售额（万元）根据某地区历年人均收入（元）与商品销售额（万元）资料计算的有关数据如下：资料计算的有关数据如下：计算：计算： 建立以商品销售额为因变量的直线回归方程，建立以商品销售额为因

7、变量的直线回归方程， 并解释回归系数的含义。并解释回归系数的含义。 若若2002年人均收入年人均收入14000元，试推算该年商品销元，试推算该年商品销售额。售额。 9n 546x 260y 234362x16918xy 解解： 回归系数回归系数b的含义：人均收入每增加的含义：人均收入每增加1元，商品销售额平均元，商品销售额平均增加增加0.925万元。万元。 x= 14000元，2229 16918546 2600.9259 34362546nxyxybnxx 2605460.92527.2399aybx 27.230.925cyabxx 27.23 0.925 14000 12922.77cy

8、 案例3 根据5位同学西方经济学的学习时间（x）与成绩（y）计算出如下资料： 5n 40 x 310y 2370 x 220700y 16918xy 计算： 编制以学习时间为自变量的直线回归方程。（要求计算结果保留2位小数） 若某位同学的西方经济学的学习时间为X=10， 以95%的概率估计其西方经济学的成绩。解：（1） 72.4105.2020.40 y2225 274040 3105.205 37040nxyxybnxx 310405.2020.405520.405.20caybxyabxx（2）当x=10时，21.2225)5310(5207002222nynxSe（置信区间估计）75.1185370)810(5121.2212212200niieyxxxxnSS1824. 3) 25 () 2(025. 02tnt查表的因此，当西方经济学的学习时间为X=10时，可以以95%的概率估计西方经济学的分数均值在 35109.79之间。得 置信区间为： 0yE75.111824. 34 .72当x=10时，4 .721020. 54 .20y（预测区间估计）1