一题学懂极值点偏移5大套路

1、题弄懂极值点偏移 5 大套路12f(x)=xlnx5mx-x,m*R.右f(x声两个极值点x1,x2,且x1Mx2,求一2证：X1X2e(e为自然对数的底数).解法一：齐次构造通解偏移套路2证法1:欲证xx2e,需证1nxi+lnx2A2.假设f(x)有两个极值点x1,x2,即函数f(x)有两个零点.又fx)=1nxmx,所以,x1,x2是方程f(x)=0的两个不同实根.1nx1-mx1=0十ZE,有SJlnx2-mx2=0lnx2-lnxlnxlnx2从而可得,一2一1二-12.又2Xx21+逐ln&于是,lnx#lnx2=( (1nxiK-JJx1x2-xx2_1x2一/1tlnt

2、,/又0 x11.因此,lnx+lnx2=,t1.x1t-1t1lnt2t-1要证1nx1+1nx22,即证：2,t1.即：当t1时,有1nt1设t-1t1212t1-2t-1t-1t之1,那么h(t)=-2-tt1tt1所以,h(t)为(1.+00)上的增函数.注意到,h(1)=0,因此,h(t庐h(1)=0.xx2另一方面,由Jlnx1一mx1二0Inx2-mx2=0得lnx2-lnx1=m(x2-x1),2t-1函数h(t)=lnt,t1至0,口,2t-12于是,当t1时,有lnt.所以,有lnx十lnx2a2成立,xx2e.设gx=fx-fi2-xix-I0,11m八Im刀22mx-1

3、,gxx2mx0,故g(x)在0,m1一.2,即g(x)g,=0,故f(x)f.mm1由于fx=-m=x1一mx1一一一.一.2设为(一-x1m解法三构造函数现实力证法3：由x1,x2是方程fx)=0的两个不同实根得mlnx,一1-lnxg(x)=g(x2),由于g(x)=,因此,xg(x)在(1,e)2设1x1ee,只需证实x12eau(0,e),只需证实f(x1)fx2,e2)即f(x2)fI,即f(x2)-f0,故h(x)在(1,e),解法二变换函数能妙解、一,、一2证法2:欲证xx2e,需证ln为+lnx2A2.右f(x)有两个极值点x1,x2,即函数f(x)有两个零点.又fx)=ln

4、xmx,所以,x1,x2是方程f(x)=0的两个不同实根.显然m0,否那么,函数f(x)为单调函数,不符合题意.,lnx,-mx)=0,=lnx11nx2=mx1x2,lnx2-mx2=01212r 一r一rr2即只需证实m(x+x2)2即可.即只需证实xi+x2.m2e(e,+=c),f(x/(e,+=c所以x2,即x1解法四巧引变量一证t4:设g0,1,/,那么由：21mx；得)-2(ek-1)(k0),g(k)=kek-ek+1,g(k)=kek0,故g(k)在(-0,0,故g(kkg(0)=0,故g(kW(-00,.),因此g(k)g(0)=0,命题得证.解法五巧引变量二证?去5：设匕

5、-0,1,MD,那么由卷二二故h(x)h(e)=0,即f(x)e.t2=me=.卜=et2kek,设k=t1一t22.即只需证实ti+t22,即k1ek2二k(1+ek)2(ek-1)uk(1+ek)-2(ek-1)e,需k-1证1nxi+lnx2A2,即只需证实t1+t2A2,k1Ink2k-12=Ink:二uInk2k-10,故gk在0,1,因此g(k)e2变式：函数f(x)=lnx-ax2,a为常数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)假设有两个零点x1,x2,试证实：x1x2e.偏移新把戏一拐点偏移PK极值点偏移常规套路如何选择合理的函数1-极值点偏移问题专题2.f(x)=x2+ax+s

6、in,x=(0,1);(1)假设f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围；(2)当a=-2时,记f(x)取得极小值为f(x0)假设f(x1)=f(x2),求证x1+x22x0.1o3 .f(x)=Inx-ax+x,(awR)2(1)假设f(1)=0,求函数f(x)的最大值；(2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间；(3)假设a=-2,正实数x1,x2,满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证实：x1+x2三立一-24 .设a0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-(1)证实:当x1时,g(x)0恒成立；(2)假设函数f(x)无零点,求实数a的取值范围；

7、(3)假设函数f(x)有两个相异零点x1,x2,求证：x1x2e22(x-1)x15 .f(x)=|x-2a-alnx,常数awR.(1求f(x)的单调区间；(2)f(x)有两个零点x1,x2,且x1cx2；(i)指出a的取值范围,并说明理由；(ii)求证：x1x28a3x6.设函数 f(x)=eax+a(awR),其图象与x轴交于 A(xi,0),B(x2,0)两点,且x1x2.(1)求a的取值范围；(2)证实：f(历；)0,那么函数 f(x)是单调增函数,这与题设矛盾.所以 a0,令f(x)=0,那么 x=lna.当 xlna 时,f(x)0,f(x)是单调增函数；于是当 x=lna 时,

8、f(x)取得极小值.由于函数 f(x)=exax+a(aWR)的图象与x轴交于两点 A(x,0),B(x2,0)(XIX2),所以 f(lna)=a(2-lna)e2.此时,存在 10;存在 3lnalna,f(3lna)=a3-3alna+aa3-3a2+aA0,又由 f(x)在(-,lna)&(lna,+馅)上的单调性及曲线在 R 上不间断,可知 ae2为所求取值范围xl(2)由于 Jx一1一两式相减得 a=ee.|e2-ax2+a=0,x2-xi记=s(S0),那么,(中注=一=亭囱一(/一 3 韦,设 22x2-x12s-ssssg(s)=2s_(e-e_),那么 g(s)=2

9、_(e+e_)0,所以 g(s)是单倜减函数,xix2那么有 g(s)0,所以 f(土上土)jx 需所以f(Jx1x2)0=x1(i=1,2).xix2于是 e=aj(x11)(x21),在等腰三角形 ABC 中,显然 C=90,所以x1x2x=-2u(x1,x2),即 y0=f(x)2(I)解：f(X)=f(1X)e?令 f(X)=0,解得 X=1当 X 变化时,f(X),f(X)的变化情况如下表X(勿)1(1*)f(X)+o-f(x)n极大值n所以 f(X)在(00,1)内是增函数,在(1,十道)内是减函数.1函数 f(X)在 X=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=一e(n)证实：由

10、题意可知 g(X)=f(2-X),得 g(X)=(2-X)eX令 F(X)=f(X)-g(X),即F(X)=Xeq+(X2)eX/于是F(X)=(X-1)(e2x-1)e=当X1 时,2X-20,从而e2x-2-1A0,又e,0,所以F(X)0,从而函数 F(X)在1,+)是增函数.又 F(1)=e-1-e-1=0,所以X1时,有 F(X)F(1)=0,即 f(x)g(x).m)证实：(1)假设(X1-1)(X2一1)=0,由(I)及f(X1)=f(X2),那么*=X2=1.与X1#X2矛盾.(2)假设(X11)(X21)AO,由(I)及f(X1)=f(X2),彳#X1=X2.与X#X2矛盾.

11、根据(1)(2)得(X,-1)(X2-1)O,不妨设X,1.由(n)可知,f(x2)g(x2),那么g(x2)=f(2-x2),所以f(x2)f(2-x2),从而f(x1)f(2-x2).由于X2A1,所以2X22X2,即x1+X22.8 .函数f(X)=lnX-ax2+(2-a)x(12 分)(I)讨论 f(x)的单调性；(II)设 aO,证实：当 0Xf(1X)；aaa(III)假设函数 y=f(x)的图像与X轴交于 A、B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 Xo,证实：fx6)01-xx9.函数f(x)=2e.1x2(I)求f(x)的单调区间；(n)证实：当f(x1)=f(x2)(x1#

12、x2)时,x1+x2c0解：(i)=+1*a+R-a-xH2x-xex3-x22：2x.(1+x2)2(1+x2)2:A=22-420,y=f(x)单调递增;当xw0,+好)时,f(x)E0,y=f(x)单调递减.所以,y=f(x)在在(g,0上单调递增；在xw0,+8)上单调递减.(n)由(I)知,只需要证实：当 x0 时 f(x)f(x)即可.f(x)-f(-x)=1-xrex_；14e=-e-(1-x)e2x1x.1x1x1x令g(x)二(1一x)e2x_1x,x0=g(x)=(12x)e2x1.令h(x)=(1-2x)e2x-1=h(x)=(1-2x)e2x=-4xe2x:二0,=y=h(x)在(0,+o0)上单调递减=h(x)h(0)=0=y=g(x)在(0,+o0)上单调递减=g(x)g(0)=0-x=y=2-(1-x)e2x-1-x在(0,+0)上单调递减,但乂=0时丫=0.1x=f(x)f(x)：二0二f(x)：二f(x)所以,当f(x1)=f仪2)且入x2时,x1+x20.210.函数f(x)=alnxx.1.一,一(1)当a=2时,求函数y=f(x)在金,2上的最大值；(2)令g(x)=f(x)+ax,假设y=g(x)在区间(0,3)上不单调,求a的取值范围；(3)当a=2时,函数h(x)=f一mx的图象与 x 轴交于两点A(X