专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题(解析版)

1、2021 年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图 1,等腰直角三角形 A8C 中,乙 4c8=90.,CB=CA9直线经过点 C,过 A 作于点D,过B作BELED于点E.2、已如,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为6,0、点 8 的坐标为0,8,点.在 y 轴上,作直线AC 点 8 关于直线 AC 的对称点方刚好在 x 轴上,连接 C 夕.点.在线段 AC 上,连接.尻 DB、BB,当 405 夕是等腰直角三角形时,求点.坐标;3如图 2,在2的条件下,点 P 从点 8 出发以每秒 2 个单位长度的速度向原点.运动,到达点.(1)写出点用的坐标,并

2、求出直线 AC 对应的函数表达式:(2)求证：二BEgACDA：9时停止运动,连接 PQ,过.作.尸的垂线,交 x 轴于点.,问点户运动几秒时AO.是等腰三角形.3、定义：在平面直角坐标系中,对于任意尸xi,yi,O%2,冷,假设点河x,y满足 x=3AI+A-2y=3那么称点 M 是点尸,.的“美妙点.例如：点尸1,2,0-2,1,当点河x,y满足 x=3x1-2=-3,y=3x2+1=9 时,那么点“-3,9是点尸,.的“美妙点1点 K-1,3,B3,3,C2,-2,请说明其中一点是另外两点的“美妙点：2如图,点.是直线尸冬+2 上的一点.点 E3,0,点 Mx,y是点.、E 的“美妙点.

3、匚求 y 与 x 的函数关系式：假设直线 DM 与 x 轴相交于点 F,当二 MEF 为直角三角形时,求点.的坐标.4、如图,过点 H1,3的一次函数 y=h+6原 0的图象分别与 x 轴,?轴相交于 8,C两点.1求上的值；2直线/与 y 轴相交于点 Z0,2,与线段 3C 相交于点 E.力假设直线/把二 8OC 分成面积比为 1：2 的两局部,求直线/的函数表达式；二连接 3,假设二E 是以,铝为腰的等腰三角形,求满足条件的点 E 的坐标.5、建立模型：如图 1,等腰 Rt 二 1BC 中,rj5C=90%CB=BA,直线 HD 经过点 3,过乂作二皮于 Q,过 C 作CE二ED于E.那么

4、易证二 U5Zj 匚 BEC.这个模型我们称之为“一线三垂直它可以把倾斜的线段,48 和直角二四 C 转化为横平竖直的线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用.模型应用：1如图 2,点.40,4,点 33,0,二/C 是等腰直角三角形.口假设二 43c=90.,且点 C 在第一象限,求点.的坐标：口假设43 为直角边,求点 C 的坐标：2如图 3,长方形 MEM9,.为坐标原点,F 的坐标为8,6,N 分别在坐标轴上,P 是线段NF 上动点,设 PN=,己知点 G 在第一象限,且是直线 y=2x6 上的一点,假设二版 PG 是以 G 为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点 G 的坐标.图

5、36、如图 1,直线/：产点+2 与 x 轴交于点,4,与轴交于点 8.点 C-2,0.1求出点 K,点 3 的坐标.2尸是直线,43 上一动点,且二 3.尸和二.尸的面积相等,求点尸坐标.3如图 2,平移直线,分别交 x 轴,y 轴于交于点为,过点 C 作平行于 y 轴的直线小,在直线加上是否存在点 0,使得二 4 山边是等腰直角三角形？假设存在,请直接写出所有符合条件的点.的坐标.7、如图 1,等腰直角三角形,8C 中,二dCB=90.,CB=CA,直线 DE 经过点 C,过 M 作二 QE 于点.,过B作BE二DE于点、E,那么 CBEC 二二 CQ4,我们称这种全等模型为“K 型全等.

6、不需要证实【模型应用】假设一次函数 y=h+4样 0的图象与 x 轴、y 轴分别交于,4、B两点.1如图 2,当 k=-l 时,假设点 8 到经过原点的直线/的距离 3E 的长为 3,求点.4 到直线/的距离,如的长；2如图 3,当 k=-当时,点 M 在第一象限内,假设二 4 氏 M 是等腰直角三角形,求点 M 的坐标；33当土的取值变化时,点,4 随之在 x 轴上运动,将线段绕点 8 逆时针旋转 90.得到 8.,连接 O0,求.长的最小值.(1)如图 1,等腰直角三角形 ABC 中,NAC8=90.,CA=CB,直线 EQ 经过点 C,过 A 作于点.,过B作BE1.ED于点E.求证：h

7、CDA义MEC.【模型运用】(2)如图 2,直线小),=去+4 与坐标轴交于点 A、B,将直线八绕点 A 逆时针旋转 90.至直线 3 求直线的函数表达式.【模型迁移】如图 3,直线/经过坐标原点.,且与 a轴正半轴的夹角为 30.,点 A 在直线/上,点 P 为 X 轴上一动点,连接 AP,将线段 AP 绕点尸顺时针旋转 30.得到 3P,过点 3 的直线 8C 交 x 轴于点 C,NOCB=30.,点B 到 x 轴的距离为 2,求点 P的坐标.S1S29、如图 1,在平面直角坐标系中,直线,=-今+匕与 X 轴、,轴相交于 A、8 两点,动点 C,0在线段.4 上,将线段 CB 绕着点 C

8、 顺时针旋转 90.得到 CD,此时点 D 恰好落在直线 AB 上,过点 D 作 DEx 轴于点 E.1求,和的数量关系；2当机=1 时,如图 2,将BC.沿 x 轴正方向平移得夕 CO,当直线夕.经过点.时,求点用的坐标及8.平移的距离：3在2的条件下,直线 A3 上是否存在一点 P,以 P、C、.为顶点的三角形是等腰直角三角形?假设存在,写出满足条件的 P 点坐标：假设不存在,请说明理由.10、如图,一次函数 y=-x+7 与正比例函数尸告 x 的图象交于点 A,且与 x 轴交于点从1求AOB 的面积:2在 y 轴上找一点.使 AC+BC 最小,求最小值及.点坐标.3点 P 从.出发向 8

9、 点以 1 个单位每秒的速度运动,点.从 8 点出发向 A 点以同样的速度运动,两个点同时停止,当ABP.为等腰三角形时,求.点坐标.11、一边长为 4 正方形 QAC8 放在平而直角坐标系中,其中.为原点,点 A、3 分别在 x 轴、y 釉上,D为射线 08 上任意一点.图 1 图 2 图 31如图 1,假设点.坐标为0,2,连接 AD 交.于点 E,那么 ZiAOE 的面积为；2如图 2,将A0.沿力.翻折得AEO,假设点 E 在直线图象上,求出 E 点坐标：3如图 3,将A.沿翻折得AEO,.石和射线 8c 交于点 F,连接 AF,假设 NZMO=75.,平而内是否存在点.,使得AF.是

10、以 AF 为直角边的等腰直角三角形,假设存在,请求出所有点.坐标：假设不存在,请说明理由.2021 年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图 1,等腰直角三角形 A8C 中,ZACB=90,CB=CA,直线 EO 经过点 C,过 A 作于点D,过B作BELED于点E.求证：BEC冬ACDA；解：(1)由题意可知：ABEOAAOD(K 型全等),*OE=AD:k=-1,y=-x+4,：.B(0,4),：.OB=4.BE=3,:OE=5：AD=544(2)k=-不时,y=-万 x+4,2(3,0),当且 8W=A8 时,过点 M 作 MMLy 轴,:ABMN

11、WAABO(A4S),:MN=OB,BN=OA,MN=4,BN=3,(4,7)：当且 AAf=AB 时,过点 M 作 x 轴垂线 MK,A8O 色AMK(AAS),：OB=AK,OA=MK9AK=4.A/K=3,：.M(7,3)；当 AMLBM,且从 M=BM 时,过点“作 M_Lx 轴,时 G_Ly 轴,:ABMG也4AHM(AAS),：BG=AH,GM=MH.:.GM=MH,7:.MH=3,乙77七,)；乙乙77.上所述：M(7,3)或 M(4,7)或 M 七,彳)；乙乙4(3)之 k0 时,AO=.k过点.作 QSLy 轴,：4BO9ABQS(AAS),:.BS=OA9SQ=OB.:Q(

12、4,4-卷),当 k=l 时,.最小值为 4：当上0 时,.4,4-%,当 k=l 时,.最小值为 4,与&VO 矛盾,0.的最小值为 4.* .=.=J16(2B图32、已如,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为6,0、点 3 的坐标为0,8,点 C 在,轴上,作直线AC 点 8 关于直线 AC 的对称点夕刚好在 x 轴上,连接.夕.1写出点夕的坐标,并求出直线 AC 对应的函数表达式；2点.在线段 AC 上,连接.8、DB：B8,当Q8B是等腰直角三角形时,求点.坐标；3如图 2,在2的条件下,点尸从点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度向原点.运动,到达点.时停止运动,连接尸.

13、,过.作.p 的垂线,交 X 轴于点.,问点 P 运动几秒时 4 人.是等腰三角形.解：1YA 的坐标为6,0、点 8 的坐标为0,8,OA=6,03=8, :NAO8=90.,AB=10,IB 与 8 关于直线 AC 对称, AC 垂直平分 88,：.BC=CBA8=A3=10,(-4,0),设点 C(0,】), *OC=Hlt:CB=CB=8-m, ;在 RtACO 夕中,ZCOB=90,AM2+16=(8-m)2,/.m=3,：.C(0,3),设直线 AC 的解析式为,=仙+)(胫 0),把 A(6,0),C(0,3)代入可得人得=3,乙.1、 =一爱+3：(2)4C 垂直平分 8B,：

14、.DB=DBBOB是等腰直角三角形,/.NBDB=90.,过点.作轴,OF_Ly 轴,/.ZDFO=/DFB=NDEB=90.,ZEDF=360-NDFB-ZDEO-/EOF,NEOF=90.,：NEOF=90.,:./EDF=/BDB,：.ZBDF=ZEDB：.FDBEDB(AAS),:DF=DE,设点.(,)代入 y=-小+3 中,乙Aa=29：.D(2,2)：(3)同可得NPDF=NQDE,:DF=DE=2,NPDF=/QDE,：4PDF岭AQDE(AAS),；PF=QE,当.=时,JDEL,轴,：.QE=AE=4.:PF=QE=4,:BP=BF-PF=2.,点 P 运动时间为 1 秒:

15、当胃.=月.时,VA(6,0)、D(2,2),:AD=2代.=2 日:PF=QE=2厌-4,：.BP=BF-PF=102店,点 P 的运动时间为 5-4 豆少:当 QD=QA 时,设.石=,那么.O=0A=4-,在 RDE.中,ZDE0=9O,4+2=(4-)2,/.=1,5,：.PF=QE=.5,；BP=BF+PF=75,.点 P 的运动时间为 3.75 秒,V0/22直线,把二 BOC 分成面积比为 1：2 的两局部,那么 S 二皿=2 或 4,iri5 二 X4%XE=2或 4,22那么玄=或 2,故点 Eh3或2,0,将点 E 的坐标代入直线 7 表达式并解得：直线,的表达式为：y=x

16、+2,二设点-3 加+6,而点工.的坐标分别为：1,3、0.2,那么,出=w-12+3-3m2,AD2=29ED2=m2+4-3m时,加-143-3/w2=2,解得：尸空屋或上返：55当 JT-ED 时,同理可得：加=3；2综上,点 E 的坐标为：-3或口戈-,.5555225、建立模型:如图 1,等腰 Rt 二 15C 中,二速 C=90.,CB=BA.直线切经过点 8,过乂作 JZCED 于.,过 C 作 CE二ED于E.那么易证二山匚 8EC.这个模型我们称之为“一线三垂直它可以把倾斜的线段,45和直角二C转化为横平竖直的线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用.模型应用：1如图 2

17、,点工0,4,点 83,0,二C 是等腰直角三角形.匚假设二：LSC=90.,且点 C 在第一象限,求点.的坐标：匚假设.48 为直角边,求点 C 的坐标：2如图 3,长方形MFNO,.为坐标原点,下的坐标为8,6,河、N 分别在坐标轴上,尸是线段NF 上动点,设PN=n,点 G 在第一象限,且是直线 y=2x6 上的一点,假设二 MPG 是以 G 为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点 G 的坐标.解：1二过点 C 作 CQ 二 x 轴于点 Q,M0图3过点尸作尸 8 二 3/于&过点、G作GH二PE于H,二点点 M 重合,二 G 尸=?,3=42设 G 点坐标为x,2x-6,6-

18、2A-6=4,得 x=4,易得 G 点坐标4,2：如图 3,:kMGP=90.时,MG=PG 时,同理得 G 点坐标型,骂,33匕可知,:条件的点 G 的坐标分别为4,2或型,骂.336、如图 1,直线/：7=泰+2 与 x 轴交于点,4,与,轴交于点 8.点 C-2,0.1求出点 X,点 3 的坐标.2尸是直线上一动点,且二 3.尸和二 COP 的而枳相等,求点尸坐标.(3)如图 2,平移直线/,分别交式轴,y 轴于交于点乂山 1,过点 C 作平行于 y 轴的直线加,在直线打上是否存在点.,使得二人所.是等腰直角三角形？假设存在,请直接写出所有符合条件的点.的坐标.解：(1)设 y=0,那么

19、w2=0,解得：x=-4,设 x=0,那么 y=2,点力的坐标为(-4,0),点 8 的坐标的坐标为(0,2)：(2)匚点 C(-2,0),点、B(0,2),.=2,05=2,二尸是直线乂 5 上一动点,二设 P(HI,m+2),2二-BOP 和二 CO 尸的面枳相等,二小 2 的yX2x(会制+2),乙乙解得：5=4,当 7=-4 时,点尸与点 H 重合,口点P坐标为(4,4)：(3)存在:理由：如图 L二当点 8】是直角顶点时,BQBA二二七&.+二 03N=9O.,二BO+二.九 31=90,二二 0,山尸二 31H.NAiOB./BiHQ在二力.8】和二 BiH.中,NOAFI

20、=NHBQ,AB=BQ二二工QBi二二BiHQ3S),二BiH=AQ,OBi=HQ=2,匚Bi(0,-2)或(0,2).当点 31(0,-2)时,0(-2,2),当点 81(0,2)时,匚B(0,2),口点比(0,2)(不合题意舍去),二直线,立向下平移 4 个单位,二点.也向上平移 4 个单位,匚.(-2,2),二当点&是直角顶点时,$31=%.,口直线 4 的解析式为),=X+2,由平移知,宜线的解析式为.】、=94,乙Zzli(-2b.0),s(0,b).ZAiBiZAiO.二直线小.的解析式为丁=-2A-46匚.-2,4-46,二 4.2=-26+22+4-4b2=20-406

21、+20,二 20-40 计 20=5 儿二 6 一 2.或 b,3二.-2,-4或2,年：二当.是直角顶点时,过.作.HZp 轴于 H,-AQ=BO二二.,九.1+二工 100=90.,二 H1QC+二 C03i=9O.,二二 0dC=二 C08i,二加二 y 轴,二二CQB尸二QBH二二QAC=：QBH0 时,.=匡,k过点.作 QS：y 轴,二二ABO二二BQSTS),二BS=OA.SQ=OB,4 二.(4,4-),k二.=小 6(2 号寺.二当上=1 时,.最小值为 4：当月 V0 时,O(4,4-)k二 00=16(2),匚当上=1 时,.最小值为 4,与左0 矛盾,8、【模型建立】(

22、1)如图 1,等腰直角三角形 ABC 中,NAC8=90.,CA=CB,直线 ED 经过点 C,过 A 作 AD_LED 于点.,过 3 作 8EJ_E.于点求证：CDAQABEC.【模型运用】(2)如图 2,直线人=言犬+4 与坐标轴交于点 A、B,将直线八绕点 A 逆时针旋转 90.至直线/2,求直线八的函数表达式.【模型迁移】如图 3,直线/经过坐标原点 0,且与 x 轴正半轴的夹角为 30.,点 A 在直线/上,点 P 为 x 釉上一动点,连接 AP,将线段 AP 绕点尸顺时针旋转 30.得到 3P,过点 5 的直线 BC 交 x 轴于点 C,NOC8=30.,点 B 到 x 轴的距离

23、为 2,求点 P 的坐标.证实：【模型建立】(1):ADLDE,BEtDE,AZD=Z=90ZACB=90,AZACD=90-ZBCE=ZCBE,且 C4=BC,ZD=ZE=90CDA9ABEC(AAS)【模型运用】(2)如图 2,在/2 上取.点,使 AO=A&过.点作 OELOA,垂足为 E;直线尸急+4 与坐标轴交于点 A、B,(-3,0),8(0,4),OA=3,08=4,由(1)得BOAAAED,：.DE=OA=39AE=OB=49：.OE=7.：.D(-7,3)设/2 的解析式为 y=Z+,3=-7k+b0=-3k+b3494QQ.直线的函数表达式为：片?端【模型迁移】3假

24、设点 P 在“轴正半轴,如图 3,过点 8 作 8ELOC,解得.8C=4,将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 30.得到 BP,；AP=BP,NAPB=30.,ZAPC=ZAOC+ZOAP=NAPB+NBPC,：/OAP=NBPC.且 NO4C=NPC5=30.,AP=BP,:OAPW4CPB(AAS)：.OP=BC=49:点P(4,0)假设点 P 在工轴负半轴,如图 4,过点 B 作 8E_L.,BE=2,ZBCO=30%BEIOC：.BC=4.将线段 AP 绕点尸顺时针旋转 30.得到 BP,：.AP=BP9NAP8=30,NAPE+NBPE=30,NBCE=3G=NBPE+NPBC.；

25、BE=2,N8CO=30.,BELOC：.NAPE=NPBC,ZAOE=ZBCO=30：.ZAOP=ZBCP=50且NAPE=NPBC.PA=PB:OAPqMPBAAS：.0P=BC=4,点 P-4,0综上所述：点尸坐标为4,0或-4,09、如图 1,在平而直角坐标系中,直线 y=-x+与 x 轴、y 轴相交于 A、8 两点,动点 C皿,0在线段.从上,将线段 CB 绕着点 C 顺时针旋转 90.得到 CD,此时点 D 恰好落在直线 AB 上,过点 D 作 DEx 轴于点 E.1求,和的数量关系；2 当m=1时,如图2,将BCD沿x轴正方向平移得BC.,当直线夕C经过点.时,求点夕的坐标及BC

26、D平移的距离;3在2的条件下,直线 45 上是否存在一点尸,以 P、C、.为顶点的三角形是等腰直角三角形？假设存在,写出满足条件的尸点坐标：假设不存在,请说明理由.3102解：直线产-%b 与,轴相交于 B 点,乙0cE4x备用图：.B(0,b)：OB=b,；点C(*0)/OC=HlVZBCO+ZECD=90%NBCO+/OBC=9(R：./OBC=NECD.在仆 OBChECD 中,/OBC二NECDBC=CDIZBOC=ZDEC=90:OBCgAECD(AAS)/.BO=CE=b9DE=OC=m,点 Q(b+m,w)/.m-(b+m)+h乙:b=3m（2） Vm=l,b=3,点 C1,0,

27、点.4,I 宜.线八 8 解析式为：、=-,x+3 乙设直线 8.解析式为：产办+3,且过1,0,0=.+3/a=-3,直线 BC 的解析式为 y=-3x+3,设直线夕.的解析式为丁=-3*匕把.4.1代入得到 c=13,直线 8C 的解析式为 y=-3A+13,当 y=3 时,x=当尸.时,工一券：,B芈,3,C学,0.=孚 5.平移的匚二壮个单位.3当 NPCO=90.,PC=CD 时,点尸与点 5 重合,:点P0,3如图,当 NCPO=90.,PC=PD时,TBC=CD,ZBCD=90,ZCPD=90：.BP=PD 点 P 是 5.的中点,且点 80.3,点.4,1:点P2,2综上所述,

28、点 P 为0,3或2,2时,以 P、.、.为顶点的三角形是等腰直角三角形.10、如图,一次函数尸 7+7 与正比例函数尸言工的图象交于点 A,且与 x 轴交于点以(1)求AOB 的面积：(2)在,轴上找一点.,使 AC+8C 最小,求最小值及.点坐标.(3)点尸从.出发向8点以1个单位每秒的速度运动,点.从8点出发向A点以同样的速度运动,两个点同时停止,当 ABP.为等腰三角形时,求.点坐标.解：一次函数 y=-x+7 与正比例函数产看的图象交于点 A,且与 x 轴交于点 8.工点、B(7,0),-叶 7=小,1=3,点 A(3,4)AO8=X7X4=14：乙(2)如图 1,作点 8 关于 y

29、 轴的对称点(-7,0),连接力,交 y 轴于点 G丁点 A(3,4),点(-7,0),AH=也3+7)2十(4-0)2=最小值为 2 收,设直线 A解析式为：y=kx+b,且过点 A(3,4),点 H(-7,0),.4=3k+b0=-7k+b,解得:：,14b=v214,直线 A解析式为：y=1+等：DD(3)如图 2,过点.作.从 LO5,;以同样的速度运动,；BQ=OP,一次函数 y=7+7 与 y 轴交于点 D,点.(0,7),：.OD=OB=19且 NOO8=90.,NO8O=45.,且.；NQBE=NEQB=450,:QE=BE,假设PB=QB,JiOP=BQ,7：.OP=PB=BQ,乙7A/2；.BE=EQ=-4：.OE=14二点.7-2,2,44假设QP=QB,且 0EJ_O8,:PE=BE,；OB=7=OP+PE+BE,：Jh6BE+2BE,.RF14-7V2cr.BE=QE.22.7V214-7V