高三数学排列组合

1、基基本本原原理理组合组合排列排列排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数性质组合数性质应应用用问问题题基础知识基础知识1：知识结构网络图知识结构网络图复习 名称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同相同点点不同不同点点做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不

2、同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.基础知识基础知识2：两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系复习 名称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同相同点点不同不同点点做一件事或完成一项工作的方法数做一

3、件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第

4、做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.基础知识基础知识2：两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系复习两个原理是学好排列组合的金钥匙，必须搞清两者的区别与联系，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步，往往是解应用题的关键。名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11

5、 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmnnAnA基础知识点基础知识点3：排列和组合的区别和联：排列和组合的区别和联系系名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmn

6、nmnCC 11 mnmnmnCCC从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数11mmnnAnA基础知识点基础知识点3：排列和组合的区别和联：排列和组合的区别和联系系排列、组合是两个重要概念，只有准确、全面把握这两大概念，才能正确区分是排列问题还是组合问题。 例例1 1、 4个男同学，个男同学，3个女同学个女同学站成一排站成一排. (1) 3个女同学必须排在一起，有多个女同学必须排在一起，有多少种不同的

7、排法？少种不同的排法？ (2) 任何两个女同学彼此不相邻任何两个女同学彼此不相邻,有有多少种不同的排法？多少种不同的排法？排队问题 (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？ (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？邻，有多少种不同的排法？ (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？(3个女生身高互个女生身高互不相等不相等) (6)学生甲不站排头，学生乙不站学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？排尾，共

8、有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？ (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？邻，有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？ (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？(3个女生身高互个女生身高互不相等不相等) (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？邻，

9、有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？ (6)学生甲不站排头，学生乙不站学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？排尾，共有多少种不同的排法？ (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？(3个女生身高互个女生身高互不相等不相等) (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？邻，有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人

10、，有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？ (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？(3个女生身高互个女生身高互不相等不相等) (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？邻，有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？ (6)学生甲不站排头，学生乙不站学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？排尾

11、，共有多少种不同的排法？ (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？(3个女生身高互个女生身高互不相等不相等) (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？邻，有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？（男生）（女生）(1) 3个女同学必须排在一起，有多个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？少种不同的排法？ 解析：解析：3个女同学是特殊元素，我们个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有先把她们排

12、好，共有A33种排法；由于种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是这时是5个元素的全排列，应有个元素的全排列，应有A55种排种排法，由乘法原理，有法，由乘法原理，有A33A55种种=720种不种不同排法同排法.(1) 3个女同学必须排在一起，有多个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？少种不同的排法？ 解析：解析：3个女同学是特殊元素，我们个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有先把她们排好，共有A33种排法；由于种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好个女同学必须排

13、在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与甲同学排队，的女同学为一整体，再与甲同学排队，这时是这时是5个元素的全排列，应有个元素的全排列，应有A55种排种排法，由乘法原理，有法，由乘法原理，有A33A55种种=720种不种不同排法同排法.(1) 3个女同学必须排在一起，有多个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？少种不同的排法？ 元素相邻问题，一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其它元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列。解析：先将男生排好解析：先将男生排好, 共有共有A44种排法种排法, 再在这再在这4个男生的中间及两头的个男生的中间及两头的5个空档个空档

14、中插入中插入3个女生有个女生有A53种方案种方案, 故符合条故符合条件的排法共有件的排法共有A44A53=1440种不同排法种不同排法. (2) 任何两个女同学彼此不相邻任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？解析：先将男生排好解析：先将男生排好, 共有共有A44种排法种排法, 再在这再在这4个男生的中间及两头的个男生的中间及两头的5个空档个空档中插入中插入3个女生有个女生有A53种方案种方案, 故符合条故符合条件的排法共有件的排法共有A44A53=1440种不同排法种不同排法. (2) 任何两个女同学彼此不相邻任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？有多少种不

15、同的排法？ 元素不相邻，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在普通元素之间或两端插入不相邻的元素。(3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种人，有多少种不同的排法？不同的排法？解析：甲、乙解析：甲、乙2人先排好，有人先排好，有A22种排法种排法,再从余下再从余下5人中选人中选3个排在甲、乙个排在甲、乙2人中间人中间, 有有A53种排法种排法, 这时把已排好的这时把已排好的5人视为一人视为一个整体个整体, 与最后剩下的与最后剩下的2人再排人再排, 又有又有A33种种排法，这样总共有排法，这样总共有A22 A53A33 =720种不同种不同

16、排法排法.(3) 其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，人，有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？不同的排法？解析：解析： 安排甲、乙和丙安排甲、乙和丙3人以外的其他人以外的其他4人，有人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好故再把甲、乙排好, 有有A22种排法种排法, 最后把最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的先排好的4人的空档中有人的空档中有A52种排法种排法, 这样这样, 总共有总共

17、有A44 A22 A52=960种不同排法种不同排法.(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？解析：从解析：从7个位置中选出个位置中选出4个位置把男生个位置把男生安排好，则有安排好，则有A74种方法，然后再在余下种方法，然后再在余下的的3个空位置中安排女生，由于女生要按个空位置中安排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法，这样身体高矮排列，故仅有一种排法，这样一共有一共有A74种不同排法。种不同排法。(5) 女同学从左到右按高矮顺序排，有女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？(3个女生身

18、高互不个女生身高互不相等相等) (6)学生甲不站排头，学生乙不站学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？排尾，共有多少种不同的排法？解析：学生甲不站在排头，则他可能站在中间或排尾，故可分两类，一类是甲站在中间有5种站法，此时乙有5种站法，其他5名学生站在五个不同的位置上有A55种站法，故共有55A55=3000种站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有6种站法，其他5名同学站在五个不同的位置上有6A55=720种，由加法原理，故共有3720种站法。 (6)学生甲不站排头，学生乙不站学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？排尾，共有多少种不同的排法？解析：学生甲不站在排头，

19、则他可能站在中间或排尾，故可分两类，一类是甲站在中间有5种站法，此时乙有5种站法，其他5名学生站在五个不同的位置上有A55种站法，故共有55A55=3000种站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有6种站法，其他5名同学站在五个不同的位置上有6A55=720种，由加法原理，故共有3720种站法。例例2、为支援四川灾区、为支援四川灾区,有有6名教师去汶川甲、名教师去汶川甲、乙、丙三所不同的学校任教。按以下要求分乙、丙三所不同的学校任教。按以下要求分配各有多少种分法？配各有多少种分法？（1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。名。（2）分给甲、乙、丙三所学校，一校）

20、分给甲、乙、丙三所学校，一校1名，名，一校一校2名，一校名，一校3名。名。（3）分给甲、乙、丙三所学校，一校）分给甲、乙、丙三所学校，一校4名，名，另两所学校各另两所学校各1名。名。分组问题分组问题解析：分三步：甲学校2名，有C62种方法，乙学校2名有C42种方法，丙学校2名，有C22种方法，依据分步计数原理，所求不同方法数为C62 C42 C22 =90。（1）平均分给甲、乙、丙三所学）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。校，每校两名。解析：分两步：第一步，把6名教师分为三组，分别为一、二、三名，共有种方法; 第二步，把他们分给甲、乙、丙三所学校有种方法，依据分步计数原理，共有种方法。（2

21、）分给甲、乙、丙三所学校，）分给甲、乙、丙三所学校，一校一校1名，一校名，一校2名，一校名，一校3名。名。123653C C C33A12336533360CCC A 解析：分三步：第一步，从6名教师中选取4名有种方法；第二步,分给甲、乙、丙三所学校中的一所有种方法；第三步：余下两名教师分给剩下的两所学校有种方法；由分步计数原理有种方法。3）分给甲、乙、丙三所学校，一校）分给甲、乙、丙三所学校，一校4名，另两所学校各名，另两所学校各1名。名。46C13C22A41263290C C A 解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一

22、类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解。用乘法原理直接求解。 例例3、七名学生争夺五项射击冠军，、七名学生争夺五项射击冠军，每项冠军只每项冠军只 能由一人获得，获得冠军的可能能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（的种数有（ ）A.75 B. 57 C A75 D.C75分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5名名“客客”，每个

23、，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得75 种。种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 57 呢？呢？用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。A住店问题例例4、某城市在中心广场建造一个花圃，、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为花圃分为6个部分（如图），现要栽种个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种，且相邻种颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽种方法共种方法共有有_种种.(用数字作答用数字作答)涂色问题6123

24、45612345 解析解析 本题是一道涂色问题的应用题本题是一道涂色问题的应用题,可以将不相邻的区域合并成涂同一颜色的可以将不相邻的区域合并成涂同一颜色的区域，再用颜色进区域，再用颜色进行排列；也可以根行排列；也可以根据条件分布涂色据条件分布涂色. 把不相邻的区域合并后，成为把不相邻的区域合并后，成为4个个“大区域大区域”，然后再把，然后再把4种颜色对应全排种颜色对应全排列列1 24 35 61 24 36 51 25 36 41 25 46 31 2 35 46 共共5种合并方法，种合并方法，所以所以5A44=120种种栽种方法栽种方法.612345 例例5 5、 将将4个编号为个编号为1、

25、2、3、4的小球的小球放入放入4个编号为个编号为1、2、3、4的盒子中的盒子中.(1)有多少种放法？有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的编号与盒子的编号相同, 有多少种放法？有多少种放法？放球问题（1）每个小球都等可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4444=44=256种放法。（2）为全排列问题，共有A44种放法。(1)有多少种放法？有多少种放法？(2)每盒至多一球，

26、有多少种放法？每盒至多一球，有多少种放法？解析：先将先将4个小球分为三组有个小球分为三组有种，再将三组小球投入四个盒子中的三个种，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子有种盒子有种 投放方法，故一共有投放方法，故一共有种投放方法。种投放方法。 (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？恰好有一个空盒，有多少种放法？24C34A2344144CA 解析：解析：1个球的编号与盒子编号相同的个球的编号与盒子编号相同的选法有选法有C41种，当种，当1个球与个球与1个盒子的编号个盒子的编号相同时相同时,同局部列举法可知其余同局部列举法可知其余3个球的个球的投放方法有投放方法有2种，故共有种，故共有C412=8种

27、种.(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同球的编号与盒子的编号相同, 有多少种放有多少种放法？法？ 评注评注 1. 做排列组合应用题，首先要分做排列组合应用题，首先要分清问题的类型，是用基本计数原理，还是排清问题的类型，是用基本计数原理，还是排列问题或是组合问题列问题或是组合问题.2.掌握常见的解法策略，掌握常见的解法策略，常见策略有：特殊元素（特殊位置）优先；常见策略有：特殊元素（特殊位置）优先；合理分类与合理分步；先选后排；相邻问题合理分类与合理分步；先选后排；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；正难则反，等捆绑法；不相邻问题插空法；正难则反，等价转化法。价转化法。小结小结 ； http:/ 北京设计公司 北京标志设计公司 uyd68vau 快地一路朝着码头方向去了。江南春来早。一路上，已经到处都可以看到这美好春日里的一派新景象，闻到春的气息了。那些从临街的院落里伸出来的杏树枝桠上，已经突出了一串串粉红色的花苞；远处沿岸栽种的一排排垂柳，全都泛现出了一片片浅绿色；路边的野地里，小草已经探出头来尽情地享受着和煦春日里温暖的阳光，空