圆知识点及练习题

1、圆知识点及练习题、圆的概念集合形式的概念：1 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充 ）2 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）；3 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线；5 5、到两条平行线距离相等的点的轨

2、迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1 1、点在圆内dr点C在圆内；2 2、点在圆上dr点B在圆上；3 3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1 1、直线与圆相离dr无交点；2 2、直线与圆相切dr有一个交点；3 3、直线与圆相交dr有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1 1）无交点dR r；外切（图2 2）有一个交点dR r；相交（图3 3）有两个交点R rd R r;内切（图4 4）有一个交点dR r;内含（图5 5）无交点dR r;五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1 1：（1 1）平分弦（不是

3、直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 4 个定理，简称 2 2 推 3 3 定理：此定理中共 5 5 个结论中，只要知道其中 2 2 个即 可推出其它 3 3 个结论，即：AB是直径 AB CDCE DE弧BC弧BD弧AC弧AD中任意 2 2 个条件推出其他 3 3 个结论。推论 2 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在OO中，TAB/CD弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理： 同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弦相等， 所对的弧相等， 弦心

4、距相等。 此定理也称 1 1 推 3 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 1 个相等，则可以推出其它的 3 3 个结论，即：AOB DOE ，AB DE;OC OF;弧BA弧BD七、圆周角定理 1 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2 2、圆周角定理的推论：推论 1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在OO中，C、D都是所对的圆周角C D推论 2 2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所对的弧是半圆， 所对的弦是直径。即：在OO中，AB是

5、直径或C 90C 90AB是直径推论 3 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OC OA OBABC是直角三角形或C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即:在OO中，四边形ABCD是内接四边形C BAD 180 B D 180 DAE C九、切线的性质与判定定理（1 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN OA且MN过半径OA外端 M

6、N是OO的切线（ 2 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。即：PA、PB是的两条切线PA PBPO平分BPA十一、圆幂定理（1 1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在OO中，弦AB、CD相交于点P,PA PB PC PD（2 2）推论： 如果弦与直径垂

7、直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在OO中，直径AB CD,2CE2AE BE（3 3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在OO中，PA是切线，PB是割线 PA2PC PB(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即：在OO中，PB、PE是割线PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。即：TOOi、OO2相交于A、B两点- O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线

8、两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长：RtRt OQOQ2C C 中，AB2CO,2O,O2CO22;(2)外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算(1 1 )正三角形在OO中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：OD:BD:OB 1:、.3:2；(2 2 )正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，OE:AE:OAOE:AE:OA 1:1:1:1: 2 2 :(3 3 )正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，AB :OB :OA 1:.3:2. .卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1 1、扇形：（1 1）弧长

9、公式:n R180（2 2 ）扇形面积公式:360-1R2n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积2 2、圆柱：（1 1 ）圆柱侧面展开图SaS侧2S底= =2 rh 2 r2（2 2）圆柱的体积：Vr2h（2 2 ）圆锥侧面展开图（1）S表S侧S底= =Rrr212（2 2）圆锥的体积：V丄r2h3选择题1.1. 右两圆相切，且两圆的半径分别是A.A. 5 52 2, 3 3,则这两个圆的圆心距是（)B.B. 1 1C.C. 1 1 或5 5D.D. 1 1 或 4 42.2.O 0和O Q的半径分别为 1 1 和 4 4,圆心距OQ= 5 5,那么两圆的位置关系是（)A.

10、A.外离B.B.内含C C .外切D.D.外离或内含3 3.如果半径分别为 1 1cm和 2cm2cm 的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为 3 3cm的圆的个数有（）A.A. 2 2 个B.B. 3 3C.C. 4 4 个D.D.5 5 个4 4.若两圆半径分别为R和r（R r）,圆心距为d,且氏+cf-r2= 2 2Rd,则两圆的位置关系是（）A.A.内切B.B.外O切C.C.内切或外0 0 和 OQOQ 的位置关系是A.A.阴影部分的面积为（D.D.相交5.5.如图，O 0的直径为 1010 厘米,弦AB的长为 6 6cm M是弦AB上的一动点，则线段0M的长的取值范围是（A.A.

11、 3 3 0M5B. 4v OMkD.D. 4 4vOIOIV5 56 6. .已知：OO O 和O0 02的半径是方程2x x 5x5x + 6 6 = 0 0的两个根,且两圆的圆心距等于C.C.外切D.D.内切7 7. .如图，ABC为等腰直角三角形, /A= 9090,AB=ACAC= . 2 2 ,O A与BC相切，则图中A.A.B.B. 1 1C.C.D.D. 1 1 - -518.8.如图，点B在圆锥母线VA上，且VB= VA3圆锥，若小圆锥的侧面积为S，原圆锥的侧面积为A.A.S=丄S3过点B作平行于底面的平面截得一个小B.B.S,则下列判断中正确的是（S=- S4C.C.S=D

12、.D.S=- S9-S6填空题1.1.若半径分别为 6 6 和 4 4 的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是2.2.O O和O Q的半径分别为 2020 和 1515,它们相交于A, B两点，线段AB=2424,则两圆的圆心距OO =_。3.3.O O和O O相切，O O的半径为 4 4cm圆心距为6 6cm,则O O的半径为OO和OO相切，OO的半径为 6 6cm圆心距为4 4cm则O 02的半径为4.4.O O、O O和O Q是三个半径为 1 1 的等圆，且圆心在同一直线上，若OO分别与O 0,0Q相交，O 0与O Q不相交，则O 0与O O圆心距d的取值范围是 _。5.5.在厶ABC/C=

13、 9090,AC= 3 3,BC= 4 4,点0是厶ABC勺外心，现在以0为圆心，分别以 2 2、3 3、为半径作O Q则点C与OO的位置关系分别是 _。B.B.切C.C.内切或外6.6.如图在O O中，直径A电弦CD垂足为P, /BAD=3030,则/AOC勺度数是度。7.7. 在 RtRtABC斜边AB=1313cm BC=1212cm以AB的中点O为圆心，为半径画圆，则直线BC和O O的位置关系是 _。8.8. 把一个半径为 1212 厘米的圆片，剪去一个圆心角为120120。的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是 _。9.9.已知圆锥的母线与高的夹角为_ 303

14、0 ,母线长为 4cm,4cm,则它的侧面积为_cm（结果保留n）o10.10.一个扇形的弧长为 4 4n,用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为_o解答证明题1.1.已知：如图，O O和O Q相交于点A、B,过点A的直线分别交两圆于点C, D点M是CD的中点直线，BMBM 分别交两圆于点E、Fo求证：C氐ABC的三边长分别为 6 6、8 8、1010,并且以A、B C三点为圆心作两两相切的圆， 求这三个圆的半径。3.3.如图所示，O O和O O相切于P点，过P的直线交O O于A, ,交 OQOQ 于B,求证：OA/ QB4.4.如图，A为O O上一点，以A为圆心的O A交O O于B C两点，O 0的弦AD交公共弦BC于E点。(1) 求证：AD