大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第五章平面向量与复数题组27含解析

1、1题组层级快练(二十七)1.(2016 东威海质检)已知 a= (1, 2),2a b = (3, 1)，贝 U a b=()A . 2B. 3C. 4D. 5答案 D解析/ a= (1, 2), 2a b = (3, 1),b = 2a (3 , 1) = 2(1, 2) (3, 1) = ( 1, 3).a b=(1,2) (-1,3)= 1+2X3=5.2.(2016 长沙雅礼中学月考)已知 a, b 为单位向量，其夹角为60,则(2a b) b=()A . 1B. 0C. 1D. 2答案 B22解析 由已知得 |a|= |b|= 1,a, b = 60,(2a b) b = 2a b

2、b = 2|a|b|cosa, b |b| = 2X1x1Xcos60 12=0,故选 B.3.已知点 A( 1 , 1), B(1 , 2), C( 2, 1), D(3 , 4)，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为2A.B.3 152C.穿答案 A3 152解析AB = (2, 1), CD = (5, 5), |CD|= 5 .2，故 AB 在 CD 上的投影为AB CD 153 -盂=5,2= 22.4. (2014 新课标全国 n )设向量 a, b 满足 |a+ b|= 10, |a b|= ,6，贝 U a b=()A . 1B. 2C. 3D. 5答案 A解析由条件可得(a

3、 + b)2= 10, (a b)2= 6，两式相减，得 4a b = 4，所以 a b= 1.5. (2016 珠海质检)已知 a, b 均为单位向量，(2a+ b) (a 2b)= 寸，则向量 a, b 的夹角为(7tA.?7tBG33n5nC.D.-46答案 A解析 因为 a, b 均为单位向量，所以(2a + b) (a 2b)= 2 2 3a b =-，解得 a b=，所以 cos = |两=2，又 0,n，所以 = .6. (2015 广东文)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB = (1, 2), AD = (2,A. 2C.1答案 B解析利用向

4、量的运算列式求解.(a + b) a= 0,a2+ b a = 0，由题意知(2a + b) b = 0,即、2a - b+ b2= 0,将x2 ，得 2a2 b2= 0.Ab2= |b|2= 2a2= 2|a|2= 2，故 |b|= 2.& (2013 福建)在四边形 ABCD 中，AC = (1, 2), BD = ( 4, 2)，则该四边形的面积为( )A. .5B . 2 . 5C. 5D. 10答案 C解析 AC BD = (1, 2) (- 4, 2) = 0,故 AC 1BD.故四边形 ABCD 的对角线互相垂直，面积S=；|AC| |BD| =,5x2 5= 5，选 C

5、.9.已知 a, b 是非零向量，且向量 a, b 的夹角为专，若向量 P =话+吉，则|p|=()A . 2+ .3B. ,2+ . 31)，则 AD -AC =(A.5C. 3答案 A解析由 AC = AB + AD = (1 , 2) + (2, 1)= (3,B.4D. 21),得 AD AC = (2, 1) (3, 1) = 5,故选 A.7. (2014 大纲全国理)若向量 a, b 满足:|a|= 1, (a+ b)丄 a, (2a + b)丄 b，则 |b|=(B/.2D.4C. 3答案 D10.已知两个非零向量a, b，满足|a + b|=|a b|,则下面结论正确的是（）

6、A . a/ bB. a 丄 bC. |a|= |b|D. a + b= a b答案 B解析 由|a+ b|= |a b|,两边平方并化简，得a b= 0.又 a, b 都是非零向量，所以a 丄 b.11.已知向量 a= (1, 2), a b= 5, |a b|= 2 ,5，则 |b|等于()A. .5B . 2 , 5C. 5D. 25答案 C解析 由 a= (1, 2)，可得 a2= |a|2= 12+ 22= 5.|a b|= 2 5,.a2 2a b+ b2= 20.5 2X5+ b2= 20.b2= 25. |b|= 5，故选 C.12.如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P

7、6， 则下列向量的数量积中最大的是（）C.P1P2 P1P5D.P1P2 P1P6答案 A-2解析由于 P1P2IP1P5，故其数量积是 0,可排除 C; P1P2与 P1P6的夹角为 3 冗，故其数量积小于 0，可排除 D;-32-2设正六边形的边长是a,则P1P2P1P3= |P1P2|P1P3|cos30右 a , P1P2P1P4= |P1P2|P1P4|cos60 弋.故选 A.n13. (2014 陕西文)设 002，向量 a= (sin20, cosQ), b = (1, cos0)，若 a b= 0，则tan0 =_.1答案 1D. ,3解析T|p2=1+1+n2cos,IPK

8、A/3.A.P1P2P1P3B.p1P2P1P45解析 利用向量的数量积列出关于0的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解.2 2因为 a b=0,所以 sin20cos0=0,2sin0cos0=cos0.6n1因为 0B0 ,得 2sin0=cos0,tan B.n14.（2013 江西理）设 e1, e2为单位向量，且 e1, e2的夹角为，若 a= e1+ 3e2, b = 2 斜，则向量 a 在 b 方向3上的投影为_ .5|b|= |2ei| = 2cosa, b =.15 .若平面向量 a, b 满足|2a b| 3，则 a b 的最小值是 _则 D(0, 0)

9、, A(i , 0), B(i , i), C(0 , i).设 E(i, a)(OWa i)，所以 DIECB= (i, a) (i, 0)= i, DE DC =(i , a) (0, 1) = a又 a b=(ei+3e2)2ei=2ei2+6eie2=2+6x|=5,解析由 |2a b|w3 可知,4a2+ b2 4a b 9，所以 4a2+ b2 2|2a| |b| 9i6 .已知正方形 ABCD 的边长为 i，点 E 是 AB 边上的动点，贝 U DE - CB 的值为 为_.答案 i , i解析 以 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示.;DE DC 的最大值7解析由向量

10、2tei+ 7e2与 ei+ te?的夹角为钝角，得(2tei+ 7e2)( ei+ te2)|2t ei+ 7e2|ei+ t 呦0,答案（一乙82n + p= (2sinA ,4cos2A2) = (2sinA , 2cosA).|2n + p|=4sin2A+备选1.(2014 重庆理)已知向量 a = (k, 3), b = (1, 4), c= (2, 1)，且(2a 3b)丄 c,则实数 k=C.15D2答案解析因为 2a 3b= (2k 3, 6), (2a 3b)丄 c,所以(2a 3b) c= 2(2k 3) 6 = 0,解得 k = 3,选 C.当夹角为n时，也有(2t&a

11、mp; + 7eg) (e+ teg)0.但此时夹角不是钝角.设 2tei+ 7e2=入(+ 102)，入0,2t=入，入=_ J14,可求得 S 7 = Xt , f品U 0, It=- 2 .所求实数 t 的范围是(一 7,弓U(弓一 2).318.(2016 浙江余杭高中期中)已知向量 m= (1, 1),向量 n 与向量 m 的夹角为 qn,且 m-n = 1.(1)求向量 n；n亠曰2A若向量 n 与向量 q = (1, 0)的夹角为 y，向量 P= (2sinA , 4cos),求|2n+ p|的值.答案 (1) n = ( 1, 0)或 n = (0, 1)(2)2解析(1)设

12、n = (x , y),由 m-n = 1，有 x + y= 1.3m n=|m|micosn= 1,4|n|= 1,贝Ux2+ y2= 1.x=-1 ,x=0,由得或 j即 n= ( 1, 0)或 n= (0, 1).I y=0 I y=-1 ,由 n 与 q 垂直，得 n= (0, 1).3692. (2014 天津)已知 ABC 为等边三角形，AB = 2设点 P,Q 满足 AP =瓜 B ,AQ = (1 入 AC ,入 R，若 BQ -CP=-3，则入=()A.1B12B. 21 10 C. 2答案 A3 2 ;2 D 2 解析 以点 A 为坐标原点，AB 所以直线为 x 轴建立平面

13、直角坐标系，贝 U B(2 , 0), C(1 ,3),由 AP = ?AB ,得 P(2 入 0)，由 AQ = (1 入 AC ,得 Q(1人 73(1 入)所以 BQ CP =31(入一 1, 3(1 入) 21, *3)=(甘 1)(2 1) 3X寸 3(1 X) 2，解得 入=2 3.已知 a, b 都是单位向量，a b=扌，则|a b|=()A. ,3B. 3C. 2D. 1答案A解析 |a b|1 2= (a b)2= |a|2 2a b + |b|2= 3,/.|a b|= , 3.4.设a, b, c 是单位向量，且 a + b= c,贝 U a c 的值为()A. 21%C

14、. 31D.1答案B解析由|a|=|b|=|c|= 1,|b|= |c|a|,两边平方得b2=(c a)2,= 1 + 1 2ac,1 15.(2016 海淀区期末)设向量 a= (1, 0), b = Q，刁，则下列结论中正确的是(A . |a|= |b |D. a b 与 b 垂直答案 D6.已知 |a|= 1, |b|= .3, a + b = C 3, 1)，贝 U a + b 与 a b 的夹角为()a13610a - b=C. a/ bC.2nD.11答案 C解析 由 a+ b = ( 3, 1)得 |a + b|2= (a+ b)2= 4，又 |a|= 1, |b|=3,所以 |

15、a|2+ 2a b + |b|2=解得 2a b= 0,所以 |a b|= “ a b|2=- |a|2 2a b+ |bf= 2,设 a+ b 与 a b 的夹角为02 2(a+ b) ( a b)|a| |b|12得 cos0=孑且00,n，所以0=2n,即 a+ b 与 a-|a+b|ab|2x2237.在平行四边形 ABCD 中，AD = 1 , / BAD = 60, E 为 CD 的中点.若 AC BE = 1,则 AB答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC=AB+AD,f f f1f fBE=BC+CE=AB+AD所以 AC BE = (AB + AD) ( AB

16、 + AD)= ABf+ |ADf+ _AB AD = ?|AB| + ?AB |+ 11-f1=2（舍去|AB = 0），所以线段 AB 的长为 &在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，若 AB = 3, BD= 1,则 AB CD =解析 如图所示，ABAD=AB(AB+ BD) = 9+3xcos120=25，故填 号.9.(2015 天津文)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB / DC , AB = 2, BC = 1,ZABC = 60线段 BC 和 DC 上，且则AE AF 的值为36解析 方法一：作 CO 丄 AB 于 O,建立如图所示的平面直角坐标系,1 +

17、2 a b+ 3 = 4,则由夹角公式可2b 的夹角为 3n.的长为_=1 ,解方程得|AB点 E 和 F 分别在答案291812方法二：也可利用向量的线性运算解.=2,则AE- BF 的值是1)(1 .2, 2) = .2.11._ 已知 a= (2, 3), b= ( 3, 4)，贝 U a b 在 a + b 方向上的投影为 _答案 6 2解析 因为 a b = (5, 7), a+ b = ( 1, 1)，所以(a b) (a + b)= 5 7= 12, |a + b|= ( 1)2+ 12=2,所以 a b 在 a + b 方向上的投影为12._ 若向量 OA = (1, 3), |O)A|= |O)B|,OA - O)B = 0,则 |AB |=_ .答案 25解析 方法一：设 OB = (x, y)，由 |OA |= |OB,知、.：x2+ y2= , 10.又 OA OB = x 3y= 0，所以 x = 3, y = 1,或 x = 3, y= 1当 x= 3, y