【数学】242《平面向量的坐标运算》课件（北师大版必修4）

1、Oxya引入引入:1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建立了直角坐标系, ,点点A A可以用什么来可以用什么来表示表示? ?2.2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢? ?OxyA(a,b)aba3.3.复习平面向量基本定理复习平面向量基本定理: :如果如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有，有且只有一对实数一对实数 1 , 2 使得使得a= 1 e1+ 2 e2.不共线的两向量不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所叫做这一平面内所有向量的一组有

2、向量的一组基底基底.什么叫平面的一组基底什么叫平面的一组基底? ?平面的基底有多少组平面的基底有多少组? ?无数组无数组其中其中x叫做叫做a在在x轴上的轴上的坐标坐标，y叫做叫做a在在y轴上的轴上的坐标坐标.(1)(1)取基底取基底: : 与与x x轴方向轴方向,y,y轴方向相轴方向相同的两个单位向量同的两个单位向量i i、j j作为基底作为基底. .xyoija)y, x(a 式叫做向量的坐标表示式叫做向量的坐标表示. .注：每个向量都有唯一的坐标注：每个向量都有唯一的坐标. .（一）平面向量坐标的概念（一）平面向量坐标的概念(2)(2) 任作一个向量任作一个向量a a，由平面向量基本定理，

3、有且只由平面向量基本定理，有且只有一对实数有一对实数x x、y y，使得，使得a=xi+yja=xi+yj. .我们把我们把(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作得到实数对得到实数对: : 例例1.用基底用基底 i , j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4ABij12-2-1Oxyabcd 问问 1 :设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系? ,aAB a AB、45323(2,3)ABij 23( 2,3)bij 23( 2, 3)cij 23(2, 3)dij a 的坐

4、标等于AB的终边坐标减去起点坐标。1122( ,), (,),A x yB xy 若若 则则AB 问问2:2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问问 1 :设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系? ,aAB a AB、问问3:3:相等向量的坐标相等向量的坐标有什么关系？有什么关系？1ABij1OxyaA1B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)b2121(,)xx yy结论结论1 1:一个向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有等于表示此向量的有向线段终点的坐标减向线段终点的坐标减去始点的坐标。去始点的坐标。4321-1-2-3-

5、2246ij），（yxP( , )OPxiy jx y 向量的坐标与点的坐标关系O向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对 应应OP xiy j小结小结: :对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标向量的坐标. .(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .),(),(2211yxbyxaba ，若.,),(),(21212211

6、yyxxyxyx即则练习练习: :在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. .(1)(1,2)a (2)( 1,2)b (1,2)A.xyoaxyo( 1,2)B .b1122( ,),(,),( , ),ax ybxyab abax ya 问题: (1)已知 求 的坐标. (2)已知和实数求 的坐标.（二）平面向量的坐标运算：（二）平面向量的坐标运算： 1122(1)abx iy jx iy j1212(,)abxxyy同理得(2)(,)axiy jxiy jxy结论结论2 2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

7、量相应坐标的和与差. .结论结论3 3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标. .1212xxiyyj1212(,)xxyy 已知已知 ，求，求 的坐标的坐标. . ABOxyB(x2,y2)A(x1,y1)ABOBOA 结论结论1 1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐标。1122( ,), (,)A x yB xy从向量运算的角度从向量运算的角度2,211()( ,)x yx y2121(,)xx yy2 (2,1), (

8、3,4), , 34 abab abab 例例 ：已已知知求求的的坐坐标标. .(2,1)( 3,4)( 1,5)ab 解解：(2,1)( 3,4)(5, 3)ab 3 4 3(2,1)4( 3,4)(6,3)( 12,16)ab ( 6,19) 例例3已知三个力已知三个力1F (3, 4), 2F(2, 5), 3F(x, y)的合力的合力1F+2F+3F=0求求3F的坐标。的坐标。解：由题设解：由题设1F+2F+3F=0 得：得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)即：即：054023yx 15yx 3F( 5,1) (2,3),( 3,5),ABBA 例4、1 已知求

9、的坐标. (1, 2), (2,1),ABAB 2 已知求 的坐标. 解： BA 2,33,5 5, 2 .,解：设B x,y 1, 2,2,1 ,ABx y 1221xy 即31xy .即B 3,-1例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），求顶点求顶点D的坐标。的坐标。4321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y), )Dx y解：设顶点 的坐标为（)2 , 1 () 13),2(1(AB)4 ,3(yxDC1 23- ,

10、4)ABDCxy 有得：（ ，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是（分别是（- 2，1）、（）、（- 1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.变式：变式： 已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)，求点，求点D的坐标使这四点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：解：当平行四边形为当平行四边形为ADCB时，时，由由 得得D1=(2, 2)DCAB 当平行四边形为当平行四边形为ACDB时，时，得得D2=(4, 6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=( 6, 0)D3课堂总结课堂总结: :1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念: :2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标