固体物理倒格矢

1、S0ABOPS1 正格矢与倒矢点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢a1，a2，a3构成的矢量，S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍射后光程差为：)(000S-SRSRS-ROBAlll原子可向空间任何方向散射X光线，只有一些固定方向可形成衍射。当X光为单色光，衍射加强的条件为： Rl(S-S0)=u 令 ，代入上式，衍射加强条件变为： Rl （k -k0） = 2 u根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间中的位置矢量，令：有 Rl Gh = 2 u ( Rl和Gh 不一定平行) 2k 200SSk)(200SS k -kGh可见

2、， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3，则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.(b1，b2，b3)如何确定？（1）.倒矢与正格矢的关系： 原胞体积原胞体积， )(222321213132321aaaVVaabVaabVaab321aaa、点点阵阵：原原胞胞基基矢矢正点阵原胞基矢 ：a、a、a倒易点阵原胞基矢 ：b、b、b321321原胞体积 )(222321213132321aaaVVaabVaabVaab构成的晶面族的面间距、是：构成的晶面的法线方向、的方向沿：32111321221a

3、addbaab jijibaijji 0 22 (1)，系：两个点阵基矢之间的关VaabVaabVaab213132321222。，GRhhhbhbhbhGZlllalalalRhlhl点阵的位矢则另一个矢量必为倒易为正点阵位矢且其中一个矢量的整数倍若两矢量点积为结论则有、倒格矢倒易点阵：、正格矢正点阵：系：两个点阵格矢之间的关2 ：Z 2 ： Z (2)321332211321332211为什么在倒易关系中存在2 因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G G与T T之间满足下面简洁的恒等式： 1TiGeCBABCACBAVV*VbbbV*)()( )2()( (3)3321上式利用了互为

4、倒数与可见的关系：两个点阵原胞体积之间： 2 )( / (4)321321332211321证明如下法线方向则有：倒易点阵中倒格矢：）面指数为：（正点阵中一族晶面，晶之间的关系：倒格矢和正点阵晶面族hhhhhhdGhhhGbhbhbhGhhh(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵(6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性返回返回CBCACBCAOCOBCBOCOACAhhhhGGGGhahahaha0033223311hhhhhhhGGhbhbhbhaGGhad2)(13322111113213.倒易点阵与傅里叶变换 112233)()()()()()(321332211321332211nnnnn

5、nrGinnnrGinllnneCeCrrrrrZlllalalalRRrrRxxxaxaxaxrr：作傅里叶级数展开，有将为周期函数则有、，若有、 ( (示意图示意图) ) nnrGinnrGinnnnnnnnnrGinnnrGinnnnneGrGrderVCZnnnbnbnbnGGeCeCr)()()()(1)(321332211112233、，为倒格矢， 的的傅傅里里叶叶变变换换是是)()(rGn的傅里叶逆变换是)()(nGrTdeFtfdtetfF-ti-ti2)(21)( )()( 傅里叶逆变换：傅里叶逆变换：傅里叶变换：傅里叶变换：晶体点阵晶体点阵倒易点阵倒易点阵实际晶体结构实际晶

6、体结构虚构虚构显微图像显微图像衍射图像衍射图像微观粒子微观粒子一族晶面一族晶面线度量纲：线度量纲：L线度量纲：线度量纲：L1位置空间位置空间坐标空间坐标空间倒易空间倒易空间傅里叶空间傅里叶空间K空间空间iabiaa 2 11 (1) 一维晶格一维晶格(2) 二维晶格二维晶格 321132321321332122 aaaaabaaaaabkaaaa ，令，令构造构造、 jaaaaaabiaaaaaabjaaiaa 2222 32113232132121 a. 简立方晶格简立方晶格1b格格倒易点阵仍为简立方晶倒易点阵仍为简立方晶 kabjabiabkaaj aaaia 222321321倒易空间倒

7、易空间示意图示意图2b3b1b体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞常数为 。 ab ) ji (ab)ki (ab)kj (ab)kji (aa)kji (aa)kji(aa4222222321321a4面心立方晶格的倒易晶格是体心立方，其晶胞常数为 。abkjiabkjiabkjiabjiaakiaakjaa4)(2)(2)(2)(2)(2)(2321321a4示意图示意图倒易原胞VaV32 体简约布里渊区：简立方返回返回ABC倒易倒易离原点最近的有离原点最近的有个倒格点个倒格点体心立方的倒易点体心立方的倒易点阵是面心立方阵是面心立方 第一布里渊区第一布里渊区原点和原点和12个近邻格点连

8、线的垂直平分面围成的正十二面体个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：)()()(2321213132321knnjnninnannnKbbbn倒格矢),(2213132nnnnnna).1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2a

9、aaaaaaaaaaa相应的倒格矢长度这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：其体积正好等于倒格子原胞的体积大小22),(321aKnnn返回返回倒易原胞面体简约布里渊区：正十二VaV322 21,21,212 111 0 ,21,212 110 0 , 0 , 12 100 0 , 0 , 0a Pa Na H ：坐标原点：坐标原点面心立方的倒面心立方的倒易点阵是体心易点阵是体心立方立方倒易倒易离原点最近的有离原点最近的有个倒格点个倒格点布里渊区。因此正8面体不是第一是而第一布里渊区的体积，面体的体积是332282298)a()a(个次个次邻格点邻格点 第一布里渊区第一布里渊区 八个面是正六

10、边形八个面是正六边形 六个面是正四边形六个面是正四边形返回返回倒易原胞倒易原胞体体简约布里渊区：十四面简约布里渊区：十四面VaV 324 21,21,212 0 ,43,432 0 , 0 , 12 0 , 0 , 02 aLaKaXa： 第一布里渊区为十第一布里渊区为十四面体四面体 布里渊区中某些对称布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点量较为容易计算，这些点的标记符号的标记符号布里渊区原点布里渊区原点000六方面的中心六方面的中心(,)Laaa 四方面的中心四方面的中心2(,0,0 )Xa 计为计为 轴轴 方向方向X)100(计为计为 轴轴 方向方向L)111( 将零级近似下的波矢将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量移入简约布里渊区，能量变化的图像，图中定性画变化的图像，图中定性画出了沿出了沿 轴的结果轴的结果29/29图5 闪锌矿结构的本征GaN材料的能带结构图，导带最小和价带最大。1 试证简单立方晶格的倒易点阵仍为简单立方晶格，体心立方和面心立方互为倒易点阵。分别计算其第一布里