数学物理方程第四章 格林函数法简化

1、第四章第四章 格林函数法格林函数法主要内容第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题）第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）格林第一（二）公式调和函数的基本性质*格林函数的定义格林函数的定义 及特殊区域上格林函及特殊区域上格林函数的求法数的求法.关系产生这种场的源之间的定解问题表征的是场和从物理上看，数学物理.关系源产生的场的源之间的格林函数表示的各种点.源函数所以格林函数又称作点.函数法格林函数法又称作点源.法）的基本思想格林函数法（点源函数生的效果温度、电量）的量所产一个连续分布（如力、从力学和物理学上看，.生的效果总和多集中在各点的量所产等效于把它看成许许多(1.2) )(),

2、(), 0( (1.1) 0, )() 1 (022222xxtuxxutxx,tfxuatut(1.2) )(),(), 0( )1(1. 0,)( )2(022222xxtwxxwtx,txxwatwtdtxw,fdtxut0),()(),(.1),(）格林函数称作初值问题（txw例如初值问题 )(),(), 0( )()( )2(022222xtwxxw,tx,fxwatwt1 拉普拉斯方程边值问题的提法拉普拉斯方程边值问题的提法 静态薄膜的横向位移静态薄膜的横向位移-二维拉普拉斯方程（也称调和方程）二维拉普拉斯方程（也称调和方程）(1.1) 02 22 22 22 22 2Ryxyux

3、u ),()(1.1 03 32 22 22 22 22 22 2Rzyxzuyuxuu ),(. 称称作作拉拉普普拉拉斯斯算算子子2 22 22 22 22 22 2zyx . 0 0 u，）物物理理量量，与与时时间间无无关关描描述述的的是是稳稳态态时时（静静态态. 0 0 u.!只给出边界条件就可以只给出边界条件就可以故不提初始条件故不提初始条件 ),( 0) 1 (222222zyxzuyuxuu）满足方程（可以验证111),(222rzyxzyxu.1称解称作拉普拉斯方程的对ru cossinsincossinrzryrx 0)sin1()(sin)sinsin22uururrr ),

4、( 0) 2 (2222Dyxyuxuu）满足方程（可以验证21ln1ln),(222rzyxyxu01122222urrurrusincosryrx(1.2) ),(),(1.1) ),( 03222222zyxfzyxuRzyxzuyuxuuDirichlet问题提法拉普拉斯方程边界条件第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）(1.3) ),(),(1.1) ),( 0222222zyxfnzyxuzyxzuyuxuuNeumann问题 ),(),(zyxfnzyxu (1.2) ),(),(zyxfzyxu(1.3) ),(zyxfnu（2）第二边值问题(牛曼（Neumann）问题）(

5、1.1) ),( 03222222Rzyxzuyuxuu(1.1) ),( 03222222Rzyxzuyuxuu事实上如果不加以限制，外问题的解不一定是唯一的。 1 11 1 ),(zyxurzyxzyxu1 11 12 22 22 22 2 ),(上述问题可以表示为 都是解。 0 1 11 11 12 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2zyxzyxuzyxzyxzuyuxuu),(),(可以证明0 0 ),(limzyxur2 22 22 2zyxr 二维情形要求在无穷远处的极限有界，即),(limyxur2 调和函数调和函数21 格林公式格林公式格林第一

6、公式：,zvuRyvuQxvuP 令令则有格林第一公式：(2.2) dVzvzuyvyuxvxudsnvudVvu)()( (2.1) dsznRynQxnPdVzRyQxP),cos(),cos(),cos()(,代入下式代入下式zvzuyvyuxvxuzvyvxvuzRyQxP )(2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2zvuzvzuzRyvuyvyuyQxvuxvxuxP ,),cos(),cos(),cos(znRynQxnP nvuznzvynyvxnxvu ),cos(),cos(),cos()(2.2 dVzvzuyvyuxvxudsnuvdVu

7、v)()( (2.2) dVzvzuyvyuxvxudsnvudVvu)()( （2.2）-(2.2)可得格林第二公式：(2.3) dsnuvnvudVuvvu)()(互互换换vu,)(2.2 dVzvzuyvyuxvxudsnuvdVuv)()( baaFbFdxxf)()()( CDdyyxQdxyxpdxdyypxQ),(),()(2.1) dsznRynQxnPdVzRyQxP),cos(),cos(),cos()( 莱莱布布尼尼茨茨公公式式牛牛顿顿-格格林林公公式式2.3 调和函数的基本性质 )()( dsnuvnvudVuvvu),(zyxMr),(0000zyxM202020)(

8、)()(zzyyxxr),(zyxM变点.,01是调和函数在vKM),(10000zyxMrv有奇点 0)()(01MSdsnuvnvudVuvvu 0)()(0MSdsnuvnvudsnuvnvu0)()(MSdsnuvnvudsnuvnvu00MMSK的边界是球面记作0 01 1 vu内有内有在在 0 0MSdsnuvnvudsnuvnvu )()( 0 01 11 11 11 1MSdsnurrnudsnurrnu )()(由由于于上上在在,0 0MS 2 22 21 11 11 11 1 rrrrnnv)()(nuudsnuudsdsnurrnuMMMSSS 4 44 41 11 11

9、 11 10 00 00 02 2)(nuudsnurrnudsnurrnuMS 4 44 41 11 11 11 10 0)()(),(,)()( nuMuudsrnunurMu0 00 00 01 11 14 41 1 ( 代入将rv1 dsrnunurMu)()(1 11 14 41 10 0 dVrudsrnunurMu)()()(1 11 14 41 10 0 )()(011MSdsnuvnvudVuvdVuvvu 0)( )()(01MSdsnuvnvudsnuvnvudVru性质2.2 meumann问题有解的必要条件 ).(1 11 12 2 0 dsnu1),(zyxv0,

10、0nvv(2.3) dsnuvnvudVuvvu)()(dsnudV). 10)00(0 0 dsnu证明 令有 代入格林公式：性质2.3 （平均值公式）(2.12) 41)(020MSudsMu 有有对对于于解解析析函函数数),(zf dzfzfi 20 )Re()(0 00 02 21 1证明 由 dsrnunurMu)()(1 11 14 41 10 0 000204141)1(141MMMSSSudsdsnudsrnunur 0 02 20 04 41 1MSudsMu )(n表明调和函数在区域内任意一点的函数值等于它在球面上各点的平均值。结论 0 02 22 22 2 dVzwywx

11、wdsnwwdVww)()()()(解的唯一性定理狄利克雷内问题的解是唯一的；牛曼内问题的解除了相差一个常数外也是唯一的。 ),(),(),(zyxfzyxuzyxu 0 0),(),( 0zyxfnuzyxu2 21 1uuw 则则 0 00 0),(),(zyxwzyxw 0 00 0nwzyxw),( 满足狄利克雷内问题（牛曼内问题)： )(2.2 )()(dVzvzuyvyuxvxudsnuvdVuv2 21 1uuwvu 取取 0 2 22 22 2)()()(zwywxw 0 zwywxwc x,y,zw )(0nwczyxw),(cuu 2 21 1对于牛曼内问题0 0 w0 0

12、 ),(zyxw2 21 1uu 对于狄氏内问题3 格林函数格林函数21 格林函数的定义格林函数的定义以狄 利克雷内问题为例。 dsrnunurMu)()(1 11 14 41 10 0 (1.2) (1.1) 0),(),(),(zyxfzyxuRzyxzuyuxuu3 32 22 22 22 22 22 2(2.3) dsnuvnvudVuvvu)()( ，求求狄狄氏氏问问题题的的解解从从下下面面的的格格林林公公式式出出发发(2.9) )1(141)(0dsrnunurMu ),(,),(zyxgzyxg0 0即即函函数数在在格格林林公公式式中中，取取调调和和(1) 0 0dsnugngu

13、dVuggu)()(2) dsrnunurMu)()(1 11 14 41 10 0 (3.1) dsngrnunugrMu)()()(1 11 14 41 10 0 )()(2 21 14 41 1 (3.1) dsgrnunugrMu)()()(1 11 14 41 10 0 (3.2) )1(41)1(41)(0dsgrnfdsgrnuMu满满足足数数如如果果能能找找到到一一个个调调和和函函),(zyxgrzyxg1 1 ),(3.2) )1(41)1(41)(0dsgrnfdsgrnuMu(3.3) ),(),(0 00 01 1MMgrMMG 令令)(3.2 dsnGfMu 4 41

14、 10 0)(.),(),(00的正则部分称为格林函数MMGMMg),;,(),(0000zyxzyxgMMgg是什么？那么202020)()()(11zzyyxxr ),( ),(4000zyxzzyyxxu 0 ),(1),(),(000MMgrMMGMMG满足：(3.3) ),(1),(00MMgrMMG三维格林函数：)(3.3 ),( 1ln),(00MMgrMMG二维格林函数：找到了格林函数就找到了狄利克雷问题的解：),(),(),( 0zyxfzyxuzyxu)(3.2 41)(0dsnGfMu(3.4) dsnGfMu 2 21 10 0)(其中：其中：),(),(),( 0yx

15、fyxuDyxu)(3.3 ),(ln),(0 00 01 1MMgrMMG 3.2 格林函数的性质和物理意义0),()20MMG(3.3) ),(),(0 00 01 1MMgrMMG 在感应电场时在物理上可以看作是存表明),(1),() 100MMgrMMG.),(.0就表示感应电荷的电位这样一来，正则部分单位点电荷的电位MMg.M) 3000的效果总和在点的值是各个源是点源，被看做观察点。MMMMrzyxvzyxv1),(),( 0),(),(),( 0zyxfzyxuzyxu.)2地的电位相等（为零）所产生的总电位都和大单位点电荷和感应电荷表明在边界每一点处由.电位分布体内部的单位点电

16、荷的上反映的是位于接地导因此格林函数在静电学),(),()300MMGMMG但是由于对称性释发生了困难是观察点。使得物理解是点源。实际上.M0M具体做法：例4.1圆域上的格林函数 ) 1 10 01 12 21 12 21 10 0MMMMrCrMMGln(ln),( 1 10 02 22 2,iyyxxriiMMi )()(),(),( 1 10 01 10 0的反演点，坐标为的反演点，坐标为点取点取，则，则的坐标为的坐标为在极坐标下，设在极坐标下，设MMM2 21 1R 且满足且满足xyo),(0 00 00 0yxM),( yxM),(1 11 11 1yxM),(yxp该该有有点点移移

17、动动到到边边界界上上时时，应应当当M 0 ),(0 02 21 1MMG POMOPM1 10 0 这时，有这时，有ROPOMPMPM 0 01 10 00 ) 1 10 00 01 12 21 1PMCPMMPGln(ln),( 0) RPMCPMMPG 0 00 00 01 12 21 1ln(ln),(RPMPM 0 01 11 11 1 RC 结论：圆域格林函数：结论：圆域格林函数： RrrMMGMMMM1 10 01 11 10 0lnln),( (2) 1 10 01 11 10 0MMMMrRrMMG ),(对于球域我们同样求得xyo),(0 00 00 0yxM),( yxM)

18、,(1 11 11 1yxM),(yxp1 10 01 11 10 0MMMMrrMMG );(2 20 02 20 02 20 02 20 02 20 02 20 01 11 1)()()()()()(zzyyxxzzyyxx )(3.2 dsnGfMu 4 41 10 0)(dxdyzzyyxxzzyyxxzyxfMuz 0 02 20 02 20 02 20 02 20 02 20 02 20 00 01 11 14 41 1)()()()()()(),()( 3 32 20 02 20 02 20 00 00 02 2)()()(),()(zzyyxxdxdyyxfzMu 1 10 01 11 10 0MMMMrrMMGlnln);( 2 20 02 2