基本初等函数的导数公式

1、§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 湖南师大附中海口中学 李明【教学目标】1.知识与技能：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数2.过程与方法：通过例题的讲解，使学生掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则；通过应用题的分析，使学生形成数学的应用意识；最后通过课堂练习，巩固新知3.情感态度与价值观：通过例题中的实际问题的解决，使学生体会到数学来源于生活又服务于生活；通过例题中函数求导的讲解，使学生明白事物是相互联系的；通过对新知的理解，使学生体会到成功的喜悦，培养学生的学习兴趣【教学重点与

2、难点】1.重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用【教学手段】1.多媒体幻灯片；2.使用“学生课堂活动活页”.【教学过程】教学内容设计意图一、新课引入上节课学习了5个常用函数的导数，但是利用导数定义求导数，其过程非常复杂！所以，我们都希望有一些现成的导数公式可以直接使用今天，根据导数的定义，课本就给出了如下几个基本初等函数的导数公式，同学们只要熟记，并能够利用它们求简单函数的导数即可引入基本初等函数的导数公式，激发学生学习兴趣.（学生阅读课本第14页表格，并完成“活页”，教师再用幻灯片展示）基本初等函数的导数公式表如下：函数导

3、数1.2.3.4.5.6.7.8.给出基本初等函数的导数公式，并要求学生熟记.师：（1）上节课我们已经用定义求得，常数函数的导数为0；（2）公式2是幂函数的求导，的导数是把拿到前面做系数，指数要减1；（3）由公式3和公式4得，的导数为、的导数为负的；（4）公式5是指数函数的求导，的导数为乘以；而公式6可以看成公式5的特殊情况，这个函数非常特殊，其函数和导数是一样的；（5）公式7是对数函数的求导，的导数为；而公式8可以看成公式7的特殊情况，的导数是引导学生观察、分析公式的特征和联系，加深对公式的记忆.二、例题讲解例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有

4、如下函数关系，其中为时的物价假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？应用导数的定义和求导公式解决实际问题.通货膨胀就是货币贬值，物价随之上涨. “在第10个年头的价格上涨的速度”就是函数在处的瞬时变化率，即函数在处的导数. 因为，所以，即阅读题目并分析、理解题意，建立数学模型.解：根据基本初等函数导数公式表，有所以（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨运用导数公式求导，解决实际问题.思考：若上式中某商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？当时，. 这时，求关于的导数可

5、以看成求函数与乘积的导数. 我们根据刚刚8个求导公式，不能解决这个问题. 下面“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题通过该问题，使学生认识到引入导数的运算法则的必要性.运算法则（学生阅读课本第14页表格，并完成“活页”）导数的运算法则123给出导数的运算法则，并要求学生熟记.1.两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)；2.两个函数的积的导数，第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数；3.两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方观察导数的运算法则，帮助学生记忆.思考：常数与函数的积的

6、导数是什么？根据“求导的乘法法则”有，由此我们得到一个常用的结论，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即：运用导数的乘法法则，得出重要推论，方便日后应用于是，在思考题中，若，则（元/年），即在第10个年头，这种商品的价格约为0.40元/年的速度上涨运用导数的运算法则.例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数的导数解：因为，所以，函数的导数是进一步巩固导数的运算法则（幻灯片展示图片，教师讲述）随着世界工业的进一步发展，世界环境问题日益凸显，有些地区干旱缺水，有些地区水质受到污染，遇到有水不能用的尴尬.因此目前，水的净化已经越来越受到关注. 下面这道例题就是关于水净化与所需净化

7、费用的问题.通过图片和语言，使学生身临其境，并培养学生自觉建立数学模型，解决实际问题的意识.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）； （2）运用导数的运算法则，解决实际问题.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数（1）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨（2）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨使学生进一步掌握导数的运算法则，加强学生运用法则解决实际问题的能力.函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化

8、的快慢由上述计算可知，它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快由此可见，函数求导在实际生活中，有着非常重要的地位，是考察事物变化快慢的重要参考.知识升华，让学生明确数学与生活密切相关；并利用这个机会加强学生的环保意识，培养学生的社会责任感.三课堂练习求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）参考答案：（1）（2）（3）观察学生对基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的掌握情况，并及时纠正错误.四小结回顾1.八个基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，都是在导数定义下产生的结论，它们是求导数的