第4章随机过程的非线性变换

1、n 无惰性时不变非线性系统无惰性时不变非线性系统无惰性系统：无惰性系统：输出输出 Y(t) 在在 t1 时刻的特性完全由时刻的特性完全由 X(t) 在在t1 时刻的特性决定，而不取决于时刻的特性决定，而不取决于 X(t) 在其他时刻在其他时刻的特性，这样的系统称为无惰性系统。的特性，这样的系统称为无惰性系统。()()Y tg X t时不变系统：时不变系统：随机过程的非线性变换随机过程的非线性变换Y=g(x)X(t)Y(t)n 非线性系统非线性系统g(x)为非线性函数为非线性函数02bbxyxy0(1)(1)平方律检波平方律检波n 典型的无惰性时不变非线性系统典型的无惰性时不变非线性系统随机过程

2、的非线性变换随机过程的非线性变换(2)(2)全波线性检波全波线性检波n 典型的无惰性时不变非线性系统典型的无惰性时不变非线性系统0|0 xxyxxxxy0随机过程的非线性变换随机过程的非线性变换(3)(3)半波线性检波半波线性检波n 典型的无惰性时不变非线性系统典型的无惰性时不变非线性系统0(|)/200 xxyxxxxy0随机过程的非线性变换随机过程的非线性变换随机过程的非线性变换随机过程的非线性变换n 非线性变化的分析方法非线性变化的分析方法非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法非线性系统分析的级数展开法非线性系统分析的级数展开法Y=g(x

3、)X(t)Y(t)已知：已知：输入的统计特性、系统的非线性变换函数输入的统计特性、系统的非线性变换函数 求解：求解：输出的统计特征。输出的统计特征。方法：方法：直接根据定义求解。直接根据定义求解。 特点：特点：简单、直观。简单、直观。 非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法1. 概率密度概率密度),(|),(txfJtyfXY( )yg x1122( , ) |( , ) |(, )YXXfy tJfx tJfx t11/Jdxdy22/Jdxdy单调单调 ( )yg x不单调不单调 其中：其中： Y=g(x)X(t)Y(t)非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法2. 均值和自相关

4、函数均值和自相关函数( ) ( )( )( , )XE Y tE g X tg x fx t dx121212121212( ) ( ) ( ) ( )( ) ()( , , )XE Y t Y tE g X tg X tg x g xfx x t t dx dx X(t)的一维概率密度的一维概率密度 X(t)的二维概率密度的二维概率密度 若输入若输入)(tX二阶严平稳二阶严平稳)(xfX),(21xxfX则输出则输出广义平稳广义平稳的。的。Y=g(x)X(t)Y(t)非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法例例1：若若X(t)为零均值高斯平稳过程，相关函数、功率谱为零均值高斯平稳过程，相

5、关函数、功率谱密度已知，非线性系统传输特性为密度已知，非线性系统传输特性为(1) 求输出过程求输出过程Y(t)的一维概率密度；的一维概率密度； (2) 求求Y(t)的均值、方差、相关函数及功率谱密度；的均值、方差、相关函数及功率谱密度；2xy 非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法例例2：假定全波线性检波器的输入为零均值平稳正态随假定全波线性检波器的输入为零均值平稳正态随机过程，其方差为机过程，其方差为 ，求输出的一维概率密度和均值。，求输出的一维概率密度和均值。20|0 xxyxxxy0非线性变换的直接分析法非线性变换的直接分析法| ( )|g xdx若非线性函数关系满足若非线性函数关

6、系满足( )( )j xFg x edx1( )( )2j xyg xFed若非线性函数不绝对可积，则转移函数用拉氏变换。若非线性函数不绝对可积，则转移函数用拉氏变换。( )( )sxF sg x edx1( )( )2jsxjyg xF s e dsj js非线性系统的转移函数非线性系统的转移函数1. 变换法的基本公式变换法的基本公式非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法特征函数的定义特征函数的定义非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法一维随机变量的特征函数为( )j XXE e 121212( ,)j Xj XX XE e 二维随机变量的特征函数为非线性系统分析的变换法非线性系

7、统分析的变换法特征函数的逆转公式特征函数的逆转公式1( )( )d2j xXXfxe 1 12 2121212111221( ,)( ,)d d4jxjxX XX Xfx xe 一维随机变量二维随机变量121212( ) () ( ) () ( )( ) ()( , )YXRE Y tY tE h X th X th x h xfx xdx dx 1 12 212121221( , )( , )4jxjxXXfx xed d 由概率密度与特征函数关系：由概率密度与特征函数关系：非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法输出的自相关函数：输出的自相关函数：1 1221 122121212122

8、1211221221212122141414 jxjxYXjxjxXXR ( )h( x )h( x )(, )edddx dx(, )h( x )edxh( x )edx dd(, )F()F()dd如果用拉普拉斯变换表示，则为如果用拉普拉斯变换表示，则为12121221( )( )()( , )(2)YXDDRF sF ss sds dsj 非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法普赖斯（普赖斯（Price）运用特征函数法，在输入随机过）运用特征函数法，在输入随机过程是高斯分布的特定条件下，将输入端的相关函数程是高斯分布的特定条件下，将输入端的相关函数和输出端的相关函数联系起来，称为普

9、赖斯定理。和输出端的相关函数联系起来，称为普赖斯定理。 12121221( )( )()( , )(2)YXDDRF sF ss sds dsj 12121221( )(, ) () ()4YXRFFdd 2. Price Price定理定理非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法假定输入为零均值平稳正态随机过程，输出过程为假定输入为零均值平稳正态随机过程，输出过程为Y(t)=hX(t)，则输出，则输出Y(t)的自相关函数满足如下关系：的自相关函数满足如下关系： ( )( )( )121212( )( )( )12( )()()( , )( )()()kkkYXkXkkdRhx hxfx

10、xdx dxdRE hX hX 2. Price Price定理定理1X( )X tt ： 在在 时刻对应的随机变量时刻对应的随机变量2X( )X tt： 在在 时刻对应的随机变量时刻对应的随机变量非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法例例4 4：假定假定全波线性检波器的输入为零均值平稳正态随机过全波线性检波器的输入为零均值平稳正态随机过程，其自相关函数已知，求输出过程的自相关函数。程，其自相关函数已知，求输出过程的自相关函数。0|0 xxzxxx 12( )() ()( )ZXd X td X tdRE h X h XEdRdX tdX t 1010d X tXXdX t 10 10P

11、 X tX tP X tX t非线性系统分析的变换法非线性系统分析的变换法2012( ).yg xaa xa x1( )!kkkd h xakdx前提条件：前提条件： 可以在可以在 处用台劳级数展开处用台劳级数展开( )yg x0 x 2121200 112 , ( ) ( )( ) ( )YR t tE Y t Y tE aa a X t X t20122( )( )( )nnY taa X ta Xt10111( )( )( )nnY taa X ta Xt相关函数：相关函数：01 ( )( )( )nnE Y tE aa X ta Xt均值：均值：非线性系统分析的级数展开法非线性系统分析的级数展开法2012( ).yh xaa xa x1( )!kkkd h xakdx前提条件：前提条件： 可以在