迭代法解线性方程组-数值分析实验报告

1、精选优质文档-倾情为你奉上数学与计算科学学院数值分析 课程设计题 目： 迭代法解线性方程组 专 业： 信息与计算科学 学 号： -24 姓 名： 谭 孜 指导教师： 郭 兵 成 绩： 二零一六年 六月 二十日一 、前言：（目的和意义） 1.实验目的  掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。 了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。  2.实验意义    迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯

2、-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。二、数学原理：设有方程组 将其转化为等价的，便于迭代的形式 (这种转化总能实现，如令),并由此构造迭代公式 式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量，由式可求得向量序列，若，则就是方程或方程的解。此时迭代公式是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式是否收敛，取决于迭代矩阵B的性1.雅可比迭代法基本原理设有方程组 矩阵形式为,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且从式中第i个方程中解出x，得其等价形式 取初始向量，对式应用迭代法，可建立相应的迭代公式： 也可记为矩阵形式： 若将系数矩阵A分解为A=D-L-U， 式中 ，

3、， 。则方程Ax=b变为 得 于是 于是式中中的 。式和式分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。2.高斯赛德尔迭代法高斯赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为 （i=1,2,n）也可以写成矩阵形式 仍将系数矩阵A分解为 则方程组变为 得 将最新分量代替为旧分量，得 即 于是有 所以 3.超松弛迭代法设已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量，（j=1,2,i-1）,现在研究如何求向量的第i个分量。 首先，有高斯赛德尔迭代法求出一个值，记为 （i=1,2,n）再将第k次迭代向量的第i个分量与进行加权平均，得

4、，即： 于是的SOR迭代公式 (i=1,2,n) 或 （i=1,2,n） 当=1时，式即为高斯赛德尔迭代法；当0<<1时，式称为低松弛方法，当某些方程组用高斯赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛；当>1时，式称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。将式写成矩阵的形式，得： 即 于是得SOR迭代的矩阵表示 式中 3、 举例说明及代码例1：解下面方程组.（雅克比迭代方法、高斯-赛德尔和松弛法的比较）解：先计算迭代矩阵： BJ与BG的特征值跟收敛半径为 所以，用雅可比迭代法求解，迭代过程收敛，而用高斯-塞德尔迭代法求解，迭代过程发散。取x0=(0;0;0),为达到精度10-

5、5，取w=0.1。雅可比迭代法松弛法3184代码：1. 雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k为迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-5;k=0;n=length(b);x=x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=500; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)

6、-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代达到上限')returnendendkInput A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;Input b=1 1 1'Input x0=0 0 0'运行结果：k = 3ans = -3 3 12.高斯-赛德尔迭代法clear;clc;A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;b=1 1 1'N=length(b);%解向量的维数fprintf('库函数计算结果：');x=inv(A)*b%库函数计算结果x=zeros(N,1);%迭代初始

7、值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代%-开始迭代-for k=1:1000%最大迭代次数为100fprintf('第%d次迭代：',k);y=B*x+g;fprintf('n与上次计算结果的距离(2范数):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 运行结果：（因为发散结果不能确定）3.松弛迭代法w=0

8、.1;dalt=1.0e-5;A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;b=1 1 1'r=size(b);a=b;x0=zeros(3,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+

9、1;end运行结果：root = 184.0000 -3.0001 3.0000 1.0000例2：（超松弛法）达到同样的精度10-5，松弛因子的不同，会使得收敛速度大大不同（w取1.01.9）代码：w=1;dalt=1.0e-5;A=4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4;b=1;1;1;1;r=size(b);a=b;x0=zeros(4,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltro

10、ot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+1;end运行结果整理：松弛因子迭代次数松弛因子迭代次数1.071.6321.181.73368（不收敛）1.2101.81946（不收敛）1.3131.91372（不收敛）1.4171.523例3：用三种方法分别计算下列方程组并进行比较：解： 雅克比迭代法1） 改写成等价形式 2） 构造迭代公式，即为雅可比迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 依次迭代，计算

11、结果如下表：要求精度迭代次数方程组的近似解0.017（1.0994,1.1994,1.2993）0.0019（1.0999，1.1999,1.2999）0.000113（1.1000,1.2000,1.3000） 高斯-赛德尔迭代法 1） 原方程组改为等价方程组 2） 构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 迭代计算下去，得下表.要求精度迭代次数方程组的近似解0.014（1.0931，1.1957,1.2978）0.0015（1.0991,1.1995,1.2997）0.00017（1.1000,1.2000,1.3000）超松驰迭代法(取松驰因子). 利用

12、SOR方法，构造迭代公式与高斯-赛德尔方法相同，初值为.迭代计算结果列于下表.要求精度迭代次数方程组的近似解0.015（1.0986,1.1998,1.0331）0.0017（1.0999,1.2000,1.2999）0.00018（1.1000,1.2000,1.3000）代码：1.雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k为迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-5;k=0;n=length(b);x=

13、x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=500; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代达到上限')returnendendkInput A=10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5;Input b=7.2 8.3 4.2'Input x0=0 0 0'运行结果：k = 13ans = 1.1000 1.2000

14、1.30002.高斯-赛德尔迭代法clear;clc;A=10 3 1;2 -10 3;1 3 10;b=14 -5 14'N=length(b);%解向量的维数fprintf('库函数计算结果：');x=inv(A)*b%库函数计算结果x=zeros(N,1);%迭代初始值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代%-开始迭代-for k=1:100%最大迭代次数为100fprin

15、tf('第%d次迭代：',k);y=B*x+g;fprintf('n与上次计算结果的距离(2范数):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 运行结果： k= 7x = 1.0000 1.0000 1.00003.松弛迭代法w=1.3;dalt=1.0e-2;A=10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5;b=7.2,8.3,4.2'r=size(b);a=b;x0=zeros(3,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t

16、)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+1;end运行结果：root = 0 0 0 0root = 0 0.9360 1.2007 1.6475root = 1.0000 1.2396 1.3083 1.2602root = 2.0000 1.0618 1.1522 1.2896r

17、oot = 3.0000 1.1025 1.2120 1.3069root = 4.0000 1.1026 1.1985 1.2982root = 5.0000 1.0986 1.1998 1.3001例4：用三种方法分别计算下列方程组并进行比较：解： 雅克比迭代法2） 改写成等价形式 2） 构造迭代公式，即为雅可比迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 依次迭代，计算结果如下表：要求精度迭代次数方程组的近似解0.0121(1.1986,1.3939,1.5977,0.7962)0.00132(1.1996,1.3998,1.5994,0.7999)0.000153(1.2000,1.4

18、000,1.6000,0.8000) 高斯-赛德尔迭代法 1） 原方程组改为等价方程组 2） 构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 迭代计算下去，得下表.要求精度迭代次数方程组的近似解0.018(1.1880,1.3843,1.5873,0.7936)0.00114(1.1991,1.3988,1.5990,0.7995)0.000119(1.1999,1.3999,1.5999,0.7999)超松驰迭代法(取松驰因子). 利用SOR方法，构造迭代公式与高斯-赛德尔方法相同，初值为.迭代计算结果列于下表.要求精度迭代次数方程组的近似解0.016(1.196

19、1,1.3984,1.5987,0.7994)0.0018(1.1998,1.4000,1.6002,0.8000)0.000112(1.2000,1.4000,1.6000,0.8000)代码：1.雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k为迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-2;k=0;n=length(b);x=x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=5

20、00; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代达到上限')returnendendkInput A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;Input b=1 0 1 0'Input x0=1 1 1 1'运行结果：k = 21ans = 1.1986 1.3939 1.59770.79622.高斯-赛德尔迭代法clear;clc;

21、A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;b=1 0 1 0'N=length(b);%解向量的维数fprintf('库函数计算结果：');x=inv(A)*b%库函数计算结果x=ones(N,1);%迭代初始值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.01;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代%-开始迭代-for k=1:100%最大迭代次数为100fprintf('第%d次迭代：

22、',k);y=B*x+g;fprintf('n与上次计算结果的距离(2范数):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 运行结果：k= 8x = 1.1880 1.3843 1.58730.79363.松弛迭代法w=1.4;dalt=1.0e-2;A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;b=1 0 1 0'r=size(b);a=b;x0=ones(4,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t