第1章点、直线、平面的投影

1、第 1 章点、直线、平面的投影在工程图样中，为了在平面上表达空间物体的形状，广泛采用投影的方法。本章介绍投 影法的基本概念和如何在平面上表示空间几何要素（点、直线和平面）的方法。1.1 投影法的基本知识在日常生活中，物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生一个物体的影子。人们 根据这一自然物理现象，创造了用投影来表达物体形状的方法，即：光线通过物体向选定的 面投射，并在该面上得到图形，这种现象就叫投影（projection）。这种确定空间几何元素和物体 投影的方法，称为投影法（projection method） 。投影法通常分为中心投影法（perspective projection me

2、thod）和平行投影法（parallelproject ion method）两种。1.1.1中心投影法如图1-1所示，设一平面P（投影面）与光源S（投影中心）之间，有一个厶ABC（被投 影物）。经投影中心S分别向ABC顶点A、B、C各引一直线SA、SB、SC（称为投射线）， 并与投影面P交于a、b、c三点。贝U a、b、c三点就是空间A、B、C三点在P平面上的投影， abc就是空间厶ABC在P平面上的投影。S 投影中心魚被投影物图 1-1 中心投影法这种投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。中心投影法的投影中心位于有限远 处，该投影法得到的投影图形称为中心投影。由于中心投影法得到的物体投

3、影的大小与物体的位置有关，如果改变物体（ABC）与投影中心（S）的距离，投影（abc）的大小也随之改变，即不能反映空间物体的实际大小。因 此，中心投影法通常不用于绘制机械图样，而用于建筑物的外观透视图等。1.1.2平行投影法如图1-2所示，若将投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到无穷远处，则所有投射线将趋于相互平行。这种投射线相互平行的投影方法，称为平行投影法。平行投影法的投影中 心位于无穷远处，该投影法得到的投影图形称为平行投影。投射线的方向称为投影方向。由于平行投影法中，平行移动空间物体，即改变物体与投影面的距离时，它的投影的形 状和大小都不会改变。平行投影法按照投射线与投影面倾角的不同

4、又分为正投影法(Orthogonal method)和斜投影法(Oblique projection method)两种：当投影方向(即投射线的方向)垂直于投影面时称为 正投影法，如图1-2(a)所示；当投影方向倾斜于投影面时称为斜投影法，如图1-2(b)所示。正投影法得到的投影称为正投影，斜投影法得到的投影称为斜投影。(a)正投影法(b)斜投影法图 1-2 平行投影法正投影法是机械图样绘制中最常用的一种方法。本教材后续章节中提及的投影，若无特 殊说明，均指正投影。1.2 点的投影点(point)是构成形体最基本的几何元素，一切几何形体都可看作是点的集合。点的投影(point projecti

5、on)是线(line)、面(surface)、体(body)的投影基础。1.2.1点的单面投影如图1-3所示，已知投影面P和空间点A，过点A作P平面的垂线(投射线)，得唯一投 影a。反之，若已知点的投影a,就不能唯一确定A点的空间位置。也就是说，点的一个投影不能确定点的空间位置，即：单面投影不具有“可逆性”。因此，常将几何形体放置在相互垂直的两个或三个投影面之间，然后向这些投影面作投影，形成多面正投影。1.2.2点的两面投影如图1-4(a)所示，设置两个互相垂直的平面为投影面(projection plane)，其中一个是正立投影面(vertical projection plane)用V表示

6、，另一个是水平投影面(horizontal projection plane)用H表示，V面和H面组成两投影面体系。两投影面的交线为投影轴(projection axis)用OX表示。在两面投影体系中，设一空间点A,从A点分别向H面、V面作垂线(投射线)，其垂足 分别是点A的水平投影a和正面投影a。由于Aa丄V、Aa丄H,故投射面Aaa丄OX轴并交于 点ax，因此，a ax 丄OX、aax丄OX。如图1-4(a)中A点投影a、a分别在H面、V面上，要把两个投影表示在一个平面上，按 照国家制图标准规定：V面不动，将H面绕OX轴、按图1-4(a)中所示箭头的方向，自前向下旋转90与V面重合，如图1

7、-4(b)所示，称为点的两面投影图。由于投影面是无限的，故在 投影图上通常不画出它的边框线，这样便得到如图1-4(c)所示的点的两面投影图。从图1-4(a)和图1-4(c)，根据立体几何知识，可以知道平面Aaaxa为一矩形，展开后aa形成一条投影连线并与OX轴交于点ax,且aa丄OX轴。同时，a ax=Aa，反映点A到H面的 距离；aax=Aa，反映点A到V面的距离。这里需要说明的是：规定空间点用大写字母表示(如A)，点的水平投影用相应的小写字母表示(如a),点的正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示(如a)。VaxHaa(c)投影图(a)立体图XO从上面可以概括出点的两面投影特性：(1

8、)点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即：aa丄0X;(2)点的正面投影到0X轴的距离等于点到H面的距离，点的水平投影到0X轴的距离 等于点到V面的距离，即：a ax=Aa,aax=Aa。123点的三面投影虽然点的两面投影已能确定该点的位置，但为了更清楚地图示某些几何形体，在两投影面体系的基础上，再增加一个与V面、H面都垂直的侧立投影面W表示，如图1-5(a)所示。三个投影面之间两两相交产生三条交线，即三条投影轴OX、0Y、0Z,它们相互垂直并交于O点，形成三投影面体系。如图1-5(a)所示：从A向W面作垂线(投射线)，垂足即为A点的侧面投影，记作a。这 里需要指出的是，规定点的侧面(W

9、面)投影用空间点的相应小写字母右上角加两撇表示。在三投影面体系中，三条投射线每两条可以确定一个投射面，即平面Aaa、Aaa、Aa a，它们分别与三投影轴OX、OY、0Z交于点ax、aY、aZ。为了将三个投影a、a、a表示在一个平面上，参照两面投影体系，根据国家制图标准规 定：V面不动，H面、W面按图1-5(a)中箭头所示方向分别绕0X轴自前向下旋转90、绕0Z轴自前向右旋转90。这样，H面、W面与V面就重合成一个平面。这里投影轴0Y被分成YH、YW两支，随H面旋转的0Y轴用0YH表示，随W面旋转的0Y轴用0YW表示，且0Y轴上的ay 点也相应地用aYH、avw 表示，如图1-5(b)。与两面投

10、影体系一样，投影图上不画边 框线，得到空间点A在三投影面体系中的投影图，如图1-5(c)。在投影图中，0Y轴上的点aY因展开而分成aYH、aYw。为了方便作图，可以过0点作一条45的辅助线，aaYH、a aYw 的延 长线必与该辅助线相交于一点。从图1-5(a)和图1-5(c)，同样，根据立体几何知识，可知：展开后aa形成一条投影连线 并与0Z轴交于点az,且aa丄0Z轴。同时，a ax=a aYw=Aa，反映点A到H面的距离；a az=aaYH=Aa，反映点A到W面的距离；a aZ=aax=Aa，反映点A到V面的距离。(profile projection plane),用从上面可以概括出点

11、的三面投影特性：(1)点的投影连线垂直于相应的投影轴，即：aa丄OX,a a丄0Z;(2)点的投影到相应投影轴的距离等于点到相应投影面的距离，即：aax=a aYW=Aa,aaz=aaYH=Aa,a az=aax=Aa。禾U用点在三投影面体系中的投影特性，只要知道空间一点的任意两个投影，就能求出该点的第三面投影(简称为二求三)。1.2.4点的三面投影与直角坐标的关系如图1-6(a),若将三投影面当作三个坐标平面， 三投影轴当作三坐标轴， 三轴的交点0作 为坐标原点，则三投影面体系便是一个笛卡儿空间直角坐标系。因此，空间点A到三个投影面的距离，也就是A点的三个直角坐标X、Y Z。即，点的投影与坐

12、标有如下关系：点A到W面的距离Aa =a az=aaYH=Oax=XA;点A到V面的距离Aa =a az=aax=Oay=YA；点A到H面的距离Aa=a ax=a aYw=Oaz=ZA。由此可见，若已知A点的投影(a、a、a),即可确定该点的坐标，也就是确定了该点的 空间位置，反之亦然。从图1-6(b)可知，点的每个投影包含点的两个坐标，点的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两个投影，也可确定点的空间位置。图 1-6 点的三面投影与直角坐标【例】 已知A点的直角坐标为 为mm时，不需标注计量单位)。解步骤如下：(1)作相互垂直的两条细直线为投影轴， 并且过原点O作一条45辅助线

13、平分/YHOYW。依据XA= Oax，沿OX轴取Oax=15mm，得到点ax,如图1-7(a);(2)过点ax 作OX轴的垂线，在此垂线上，依据ZA=a ax,从ax 向上取a ax=20m m,得 到点A的15,10,20),求点A的三面投影(图样中的尺寸单位z(a)立体图(b)投影图正面投影a;依据YA=aax，从ax 向下取axa=10mm，得到点A的水平投影a,如图1-7(b)；(3)现已知点A的两面投影a、a,可求第三投影。即：过a作直线垂直于OYH并与45辅助线交于一点，过此点作垂直于OYW的直线，并与过a所作OZ轴的垂线a az 的延长线交于a,a即为点A侧面投影，如图1-7(c

14、)。(也可不作辅助角平分线，而在a az 的延长线上直125两点的相对位置及重影点1.两点的相对位置空间两点的相对位置，是指它们之间的左右、前后、上下的位置关系，可以根据两点的其前后关系由两点的Y坐标差来确定，Y值大者在前方；其上下关系由两点的Z值大者在上方。在图1-8(a)中，可以直观地看出A点在B点的左方、后方、下方。在图1-8(b)中，也可从坐标值的大小判别出同样的结论。2.重影点(overlapping points)若空间的两点位于某一个投影面的同一条投射线上，则它们在该投影面上的投影必重合， 这两点称之为对该投影面的重影点。重影点存在着在投影重合的投影面上的投影有一个可见， 而另一

15、个不可见的问题。如图1-9(a)，A、B两点的水平投影重合，沿水平投影方向从上往下看，先看见A点，B点被A点遮住，则B点不可见。在投影图上若需判断可见性，应将不可 见点的投影加圆括号以示区别，如图1-9(b)。需要指出的是空间两点只能有一个投影面的投影 重合，重影各同面投影之间的坐标关系来判别。其左右关系由两点的X坐标差来确定,X值大者在左方;Z坐标差来确定,点的可见性判断方法如下：(1)若两点的水平投影重合，称为对H面的重影点，且Z坐标值大者可见;(2)若两点的正面投影重合，称为对V面的重影点，且Y坐标值大者可见；(3)若两点的侧面投影重合，称为对W面的重影点，且X坐标值大者可见。上述三原则

16、，也可概括为：前遮后，上遮下，左遮右。图 1-9 重影点及可见性1.3 直线的投影空间任意两点确定一条直线，因此，直线的投影(line projection)就是直线上两点的同面投影(同一投影面上的投影)的连线。需要注意的是直线的投影线(空间直线在某个投影面上 的投影)规定用粗实线画。如图1-10所示，直线的投影一般仍为直线(如图中直线 垂直于投影面时，其投影积聚为一点(如图中直线 图中D点属于CE，CE),但在特殊情况下，当直线 此外，点相对于直线具有从属性，如(a)立体图YWAB） 。1.3.1各种位置的直线在三面投影体系中，直线相对于投影面的位置有三种：投影面的平行线、投影面的垂直 线、

17、一般位置直线。前两种又统称为特殊位置直线。另外，根据国家标准规定：空间直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角，且直线 与H、V、W三个投影面的夹角依次用、表示。1.投影面的平行线(parallel line of projection plane)平行于某一投影面而倾斜于另两投影面的直线，称为投影面的平行线。根据直线所平行 的投影面的不同，又可分为：水平线(horizontal line)平行于H面，倾斜于V、W面的直线； 正平线(frontal line)平行于V面，倾斜于H、W面的直线； 侧平线(profile line)平行于W面，倾斜于V、H面的直线。表1-1列出了这三种平行线的立体

18、图、投影图及其投影特性。表 1-1 投影面的平行线从表1-1可以概括出投影面平行线的投影特性： (1)直线平行于某投影面，则直线在该投影面的投影反映实长，且该投影与投影轴的夹 角，分别反映直线对另外两投影面的真实倾角。(2)直线另两个投影面的投影平行于相应的投影轴，且不反映实长，比实长短。2.投影面的垂直线(vertical line of projection plane)垂直于某一投影面(必与另外两个投影面平行)的直线，称为投影面的垂直线。根据直 线所垂直的投影面的不同，又可分为：铅垂线(vertical line)垂直于H面，平行于V、W面的直线；正垂线(horizontal-profi

19、le line)垂直于V面，平行于H、W面的直线； 侧垂线(frontal-profileline)垂直于W面，平行于V、H面的直线。表1-2列出了这三种垂直线的立体图、投影图及其投影特性。从表1-2可以概括出投影面垂直线的投影特性：（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。（2）直线另两个投影面的投影垂直于相应的投影轴，并反映实长。3.一般位置直线（general position line）倾斜于各投影面的直线， 称为一般位置直线。 如图1-11（a）所示，空间直线AB对三个投影面都是倾斜关系，则直线的三面投影分别为ab=ABcos , ab=ABcos , a b =ABcos，均

20、小于实长AB。图1-11（b）为直线AB的三面投影图，其投影特性是：（1）三面投影都倾斜于投影轴，且投影长度小于空间直线的实长。（2）投影与投影轴的夹角，不反映空间直线对投影面的倾角。图 1-11 一般位置直线的投影1.3.2两直线的相对位置空间两直线的相对位置关系有三种：平行(parallel)、相交(intersection)和交叉(cross)。其中平行和相交属于共面直线，交叉是异面直线。1.平行两直线若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必相互平行。如图1-12(a)，空间两直线AB/CD,因为两投射平面ABba/CDdc,所以在H面上的投影ab/cd。同理，可以得到a b/cd,a

21、b/c d，如图1-12(b)。反之，若两空间直线的同面投影是相互平行的，则该两直线在空间 是平行关系。图 1-12 平行两直线(a)立体图(a)立体图YW2.相交两直线若空间两直线相交，则它们的同面投影必相交，且其交点符合点的投影规律。 如图1-13(a),空间两直线AB、CD相交于点K，因交点K在两直线上，故其投影也应在两直线的同面投影 线上。因此，空间相交两直线的同面投影一定相交，且交点的投影符合点的投影规律，如图1-13(b)。反之，若空间两直线的同面投影相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直 线在空间必定是相交关系。3.交叉两直线空间两直线既不平行又不相交的是交叉直线。交叉两直

22、线的同面投影可能相交，如图1-14(a)，但投影交点是两直线对该投影面的一对重影点，图中ab与cd的交点，分别对应AB上的I点和CD上的n点，按重影点可见性的判 别规定，对于不可见点的投影加括号表示。交叉两直线同面投影的交点不符合点的投影规律，如图1-14(b)。【例】已知如图1-15(a)所示两侧平线，判断其是否平行。分析：两直线处于一般位置时，只要其任意两面投影相互平行，即可判断空间两直线相交叉两直线(b)投影图互平行。但是，当两直线同时平行于某一投影面时，则要检验两直线在所平行的投影面上的投影是否平行，才可判断空间两直线是否平行。如图1-15(b)，虽然ab/cd、a b/cd，但是,a

23、 b不平行于c d，因此，空间直线AB与CD不平行，是交叉两直线。(a)已知条件(b)作图过程与结果图 1-15 判断两直线是否平行【例】已知如图1-16(a)所示一般位置直线AB与侧平线CD，判断其是否相交。(a)已知条件(b)作图过程与结果图 1-16 判断两直线是否相交分析：对于两条一般位置直线，通常只要其任意两面投影分别相交，且交点符合点的投 影规律，则可判断空间两直线相交。但是，当两直线中有投影面平行线时，则要检验它所平 行的那个投影面上的投影，才能判断是否相交。如图1-16(b),a b与c d虽然相交，但该交点与两直线正面投影交点的连线与Z轴不垂直，即：交点不符合点的投影规律，因

24、此，两直线不相交，为交叉两直线。XYH1.4.1平面的表示法在投影图上表示空间平面可以用下列几种方法来确定：(1)不在同一直线的三点，如图1-17(a)所示；(2)一直线和该直线外一点，如图1-17(b)所示；(3)两条平行直线，如图1-17(c)所示；(4)两条相交直线，如图1-17(d)所示；(5)任意的平面图形(如三角形、四边形、圆等) ，如图1-17(e)所示。 以上几种确定平面的方法是可以相互转化的，且以平面图形来表示最为常见。图 1-17 用几何元素表示平面1.4.2各种位置平面及其投影特性在三面投影体系中，平面相对于投影面有三种不同的位置：投影面垂直面垂直于某一个投影面而与另外两

25、个投影面倾斜的平面；投影面平行面平行于某一个投影面的平面；一般位置平面一一与三个投影面都倾斜的平面。通常我们将前两种统称为特殊位置平面。平面对H、V、W三投影面的倾角，依次用 、 表示。平面的投影(planes projection)般仍为平面，特殊情况下积聚为一直线。画平面图形的投 影时，一般先画出组成平面图形各顶点的投影，然后将它们的同面投影相连即可。下面分别 介绍各种位置平面的投影及其特性。1.投影面的垂直面(Vertical plane of projection plane)在投影面的垂直面中，只垂直于V面的平面，称为正垂面；只垂直于H面的平面，称为铅垂面；只垂直于W面的平面，称为侧

26、垂面。表1-3列出了三种垂直面的立体图、投影图及其投影特性。由表1-3可以概括出投影面垂直面的投影特性：(1)平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，该直线与投影轴的夹角反映 该平面对另外两个投影面的真实倾角;1.4 平面的投影bc(e)XddOccO(2)另外两个投影面上的投影，均为小于空间平面图形的类似形。2.投影面的平行面(Parallel plane of projection plane)在投影面的平行面中，平行于H面的平面，称为水平面；平行于V面的平面，称为正平面；平行于W面的平面，称为侧平面。表 1-3 投影面垂直面平面的位置 立体图投影图投影特性铅垂面1.水平投影积聚成

27、一直线，并反映真实倾角2.正面投影、 侧面投 影不反映实形，为空间平 面的类似形。正垂面1. 正面投影积聚成一直线，并反映真实倾角、 。2. 水平投影、侧面投影不反映实形，为空间平 面的类似形。侧垂面1.侧面投影积聚成 一直线，并反映真实倾角2.水平投影、 正面投 影不反映实形，为空间平 面的类似形。表1-4列出了三种平行面的立体图、投影图及其投影特性。由表1-4可以概括出投影面平行面的投影特性：(1)在所平行的投影面上的投影，反映实形；(2)另两个投影面上的投影，均积聚为平行于相应投影轴的直线。(a)立体图(b)投影图图 1-18 一般位置平面般位置平面的投影特性是：三面投影均是小于空间平面

28、图形的类似形，不反映实形,平面的位置立体图表 1-4 投影面平行面1.水平投影反映实形；2.正面投影、侧面投影均积聚为直线，且分别平行于OX、OYW车由1yq0qYH1正面投影反映实 形；2水平投影、侧面 投影均积聚为直线， 且分别平行于OX、OZ轴r日0r1侧面投影反映实形；2.水平投影、正面投影均积聚为直线，且分别平行于OYH、OZ轴3.一般位置平面(general position plane)一般位置平面与三个投影面都是倾斜关系，如图1-18所示。ZXZYWXZYHYWYW也不反映空间平面对投影面的倾角真实大小。4.特殊位置平面的迹线(vestige line)表示法当平面垂直于投影面

29、，而在投影图上只需要表明其所在位置时，则可以用平面与该投影 面的交线一一迹线来表示。用迹线表示垂直平面时，是用粗实线画出平面有积聚性的迹线，并注上相应的标记即可，如图1-19所示。平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH标记；平面Q与V面的交线称为正面迹线，用QV标记。(a)铅垂面的迹线表示(b)水平面的迹线表示图 1-19 用迹线表示特殊位置平面143平面上的点和直线点和直线在平面上的几何条件是：(1) 平面上的点，必定在该平面的某条直线上。由此可见，在平面内取点，必须先在平 面内取直线，然后在此直线上取点。(2) 平面上的直线，必定通过平面上的两点；或者通过平面内一点，且平行于平面内任 一条

30、直线。图1-20给出了上述几何条件的立体图，图1-21是其投影图。图 1-21 一般位置平面内取点、线投影图特殊位置平面由于其所垂直的投影面上的投影积聚成直线，因此，这类平面上的点和直线，在该平面所垂直的投影面上的投影，位于平面有积聚性的投影或迹线上，如图1-22。(a)点在平面 ABC 内的条件(b)直线在平面 ABC 内的条件图 1-20 平面上的点和直线立体图图 1-22 特殊位置平面内取点、线投影图解分析与作图(1)D点若在ABC平面内的某条直线上，则点D在平面上，否则就不在平面上。判断 方法如图1-23(b)所示：连接ad并延长交bc于点m，在b c上作出m对应的正面投影点m, 连接

31、a m，贝U AM必在平面厶ABC上，但d不在a m上，故点D不在平面上。(2)因为EF是正平线，根据正平线的投影特性，EF的水平投影应平行于0X轴，且到0X轴的距离为EF到V面的距离。因此，先从水平投影开始作图。如图1-23(c)，作ef平行于0X轴，且到OX轴的距离为20mm。ef交ab、bc于点1、2,分别在a b、b c上作出其对应 点1、2，连接1、2即得ef。ef、ef即为直线EF的两面投影。【例1-5】 如图1-24(a),已知平面四边形ABCD的正面投影和AB、BC的水平投影，试 完成该四边形的水平投影。解分析与作图四边形的四个顶点在同一平面内，已知A、B、C三点的投影。因此，

32、本题实际上是已知平面ABC上一点D的正面投影d，求其水平投影d。如图1-24(b)，可以先连接ac和ac,再 连接b d交a c(a)在三角形平面内取点线(b)在迹线面内取点线使EF到V面距离为20mm。bb(a)已知条件图【例】如图1-23(a)，已知平面ABC以及点D的两面投影，求:(1)判断点D是否在平面上；(2)在平面上作一条正平线(b)判断点 D 是否在平面上1-23 判断点是否在平面上及平面上取线X(c)求正平线 EF于e，在ac上作出e的对应点e,连接be并在其延长线上作出d的对应点d。 最后，连接ad和cd即完成四边形的水平投影。1.5 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平

33、面、平面与平面的相对位置分为平行和相交两种。其中直线位于平面上或两平 面共面是平行的特例，而垂直是相交的特殊情况。下面只讨论直线与平面、平面与平面的相对位置中有特殊位置直线或者特殊位置平面的 情况。1.5.1平行1.直线与特殊位置平面平行直线与平面平行的几何条件是：空间直线平行于平面上的任意一条直线，则该直线与平 面平行。这样，将直线与平面平行的问题，转化成直线与直线平行的问题。如图1-25，当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影线ddO(b)作图过程与结果图 1-24 完成四边形的水平投影aba(b)2.两特殊位置平面平行两平面平行的几何条件是：一平面内的两相交直线

34、分别平行于另一平面内的两相交直线, 则这两个平面相互平行。如图1-26，当两平面同为某一投影面的垂直面时，行，则两平面必定平行。图 1-26 两特殊位置平面平行1.5.2相交直线与平面、平面与平面在空间不平行必相交。其中直线与平面相交有一个交点，该点 是直线与平面的共有点；两平面相交有一条交线，该交线是两平面的共有线。因为两点确定 一直线，所以求交线时可以转化为求交线上的两点。1.直线和特殊位置平面相交如图1-27,由于平面厶DEF的水平投影有积聚性，因此，交点K点的正面投影k。(a)立体图(b)投影图图 1-27 直线和铅垂面相交直线与平面图形重影的部分有可见和不可见之分，判别可见性的方法通

35、常利用交叉直线 的重影点。由图可见，交点K把直线AB分成两部分，在投影图上直线未被平面遮住部分的投 影为可见，画成粗实线；被平面遮住部分的投影为不可见，画成虚线；所以交点是可见与不 可见的分界点。如图1-27(b)，取交叉直线DE、AB对疋.只要它们所垂直的投影面上的投影平K的水平投影k必在ab上，这样直接确定直线AB和厶DEF的交点K的水平投影,然后根据K点在AB直线上，作出OV面的重影点I、H,由1、2作出1、2，由于I点的Y坐标较大，故1可见，2不可见，则k 2也为不可见，用虚线画出，k为a b的可见性分界点，kb段可见，用粗实线画出。也可以用“上遮下、前挡后”的直观法进行判 别：由水平

36、投影可以看出，直线AB的KB段，位于平面DEF的前面，因而KB段正面投影可见，用粗实线画出；可类似判断出KA段正面投影不可见。2.一般位置平面和特殊位置平面相交求两平面交线的问题，可以看作是求两个共有点的问题。如图1-28(a)，欲求一般位置平面厶ABC与铅垂面厶DEF的交线，只要求出属于交线的任意两点(如M、N)就可以了。显 然，M、N是AC、BC两边与铅垂面DEF的交点，利用一般线与特殊面交点的求法(如图1-27)即可求得。交线求出后，需要对两平面重影部分判断可见性。方法同线、面相交时的可见性判别，通常运用重影点来判断，但要注意，两平面的交线总是可见的，应用粗线画出，其他如图1-28(b)

37、所示。图 1-28 一般位置平面与铅垂面相交1.6 换面法空间直线或平面在投影体系中处于特殊位置时，投影反映实长、实形及对投影面的倾 角，但当它们是一般位置时，就没有这些投影特性。这时，如能通过变换投影面的方法， 把它们由一般位置变换成为特殊位置，就可以使这些问题得以解决，换面法就是常用的一种方法。1.6.1基本概念如图1-29，在V/H两面体系中，AB为一般位置直线，其投影ab、ab均不反映实长与倾 角。现用平行于AB且垂直于H面的V1 面来替换V面，则使原V/H投影体系中的一般位置直 线，变换为新V1/H投影体系中的V1 面的平行线，在V1 面上的投影便反映了AB直线的实长及 其与水平面的

38、夹角。这种用V1 面替换V面的方法，称为换面法。如图1-29，有下列一些基本概念：图 1-29 换面法的投影关系1）原投影面体系V/H体系；2）原轴一一OX轴；3）新投影面体系Vi/H体系；4）新轴一一OiXi 轴；5）被替换投影面一一V面；6）保留投影面H面；7）新投影面一一Vi 面；8）被更换投影一一V面投影a b；9）保留投影一一H面投影ab;10）新投影一一Vi 面投影aibi。显然，新投影面是不能任意选取的，必须满足下列两个条件：（i）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。（2）新投影面必须垂直于一个不变投影面，以构成新的投影面体系。i.6.2点的一次换面点是最基本的几何元

39、素，因此，点的一次换面是一切换面法的基础。由于换面法是在两投影面体系基础上进行的，一次只更换一个投影面，所以有两种换法：更换V面或更换H面。下面仅讨论更换V面，更换H面的情形类似于更换V面。如图i-30（a），在V/H体系中，有一空间点A，其水平投影为a,正面投影为a。取一铅垂 面Vi 替换原正投影面V，形成一个新的投影体系Vi/H。过A点作Vi 面垂线，得到A点在Vi 面上的正投影ai。则a是被替换投影，a是保留投影，ai 是新投影。1(1)根据解题需要，在适当位置画出新投影轴O1X1；(2)自保留投影a作O1X1 的垂线(即新的投影连线)，交O1X1 于ax1;(3)在垂线延长线上量取a1ax1=a ax,即得到新投影a1。1.6.3换面法的应用换面法的一次换面可以把一般位置直线变换成新投影面的平行线，把投影面的垂直面变换成新投影面的平行面。下面讨论只需一次换面的应用实例：1.求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角如图1-29，求直线AB的实长及其对H面的倾角。由图可见，在V/H投影体系中，AB为一般位置直线，其两面投影均不反