高观点下的几何学练习题及参考答案(东师)

1、高观点下的几何学练习题参考答案一、填空题。1 .公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题和完备性问题。2 .公理法的结构是原始概念的列举、定义的表达、公理的表达和定理的表达和证明3 .仿射变换把矩形变成平行四边形4 .仿射变换把平行线变成平行线5 .仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。1 .试给一个罗氏几何的数学模型。答：罗氏几何的Cayley-F.kLein模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。罗氏平面几何的原始概念解释成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦两个端点除外，它们可称为无穷远点。结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上

2、三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。罗氏平行公理在罗氏平面上通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。2 .试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的F.KLein模型黎曼几何的原始概念解释成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面。黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。3 .简述公理法的基本思想。答：假设干个

3、原始概念包括元素和关系、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统一一逻辑结构，这就是公理法思想。4 .简述公理系统的独立性答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。5试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知，欧几里得几何原本是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学

4、演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对几何原本的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设表达的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。6简述公理系统的完备性。答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。7简述公理系统的相

5、容性。答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。任何一个公理系统都要满足无矛盾性。证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。三、选择题。1 三角形内角和等于180度与AA欧氏平行公理等价B罗氏平行公理等价C椭圆几何平行公设等价D不可判定2 欧氏几何与非欧几何的本质区别为AA平行公设不同B结合公理相同C绝对公设不同D结合公理不同3 .设点A,B,C共线，且在仿射变换下分别变成A',B',C',则A',B',C'三点AA.共线B.三角形顶点C.可能不共线D.可能重合4 正方形在仿射变换下变成BA正方形B.平行四边形C.菱形D.矩形

6、5 正方形的以下性质中哪些是仿射的(1，4)1对边平行；2四角相等；3四边相等；4对角线互相平分；5对角线互相垂直；6角被对角线平分；7对角线相等；8面积6 在仿射对应下，哪些量不变？C，DA长度B.角度C.单比D.交比四、计算与证明题。1求出将点(3,1)变成点(1,3)的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线y2x8y180上。解：设所求的旋转变换为x'xcosysiny'xsinycos则一2于是所求的旋转变换为x'y即xy'y'xyx将此变换用于所给的抛物线得.2_.一一x8x'y180。2.试确定仿射变换，使y轴、x轴的象分别为直线

7、x y 10和x y 1 0 ,且点(1,1)的象为原点。解：所求变换的公式为xX 1V' 1y2x'2y' 2则x 0变成直线1x' 1y' 1 0但由题设x 0变成x' y' 1 0可知，其中 110221x'1y' 1 0与x' y' 1 0表示同一直线。即y'2x' 0所以1111h因此hxx'y'1同理kyx'y'1此处h,k是参数。1,所以，所求变换的逆式为又因为点1,1的象为原点，于是h1,kxx'y'1y(x'y'

8、;1)由此得出所求的仿射变换为3.求出将点(2,3)变成点(0,1)的平移变换，在这个平移变换下，抛物线y2x8y180变成什么曲线?解：设所求的平移变换为x'xay'yb将已知对应点的坐标代入上式得02a13b于是a2,b4所以所求的平移变换为x'x2,xx'2即y'y4yy'4将此变换用于所给的抛物线上(y'4)2(x'2)8(y'4)1804.求仿射变换x' 7x y 1的二重直线。y' 4x 2y 4解：设所求的不变直线为Ax By C 0A,B不同时为0即在所给的变换下，Ax By C 0对应Ax

9、' By' C 0因为Ax' By' C A(7x y 1) B(4x 2y 4) C(7A 4B)x ( A 2B)y(A 4B C)7A 4B A所以A 2B B(2)A 4B C C (3)消去A,B,C得展开化简得(1)(7)(2) 4(1) 0解得 1,3,6由于当1时，A B 0,因此不对应不变直线，分别将3,6代入1，2，得.C八3cAB,C-B和A4B,C02所以不变直线为2x2y30和4xy05 .证明，直线AxByC0将两点国对,)与P2(x2,y2)的连线段分成的比是Ax1By1C,Ax2By2c6 .求证：相交于影消线的二直线必射影成两平

10、行线。证明：设二直线11和12交于P点，P点在影消线上，11和12经射影对应，对应直线为11和12,则P点对应无穷远点。由于射影对应保持结合性不变，所以P的对应点是11和12的交点，即无穷远点，也就是11/、填空题。1 .设共线三点A0,2,B(2,0),C(1,1),则(ACB)22 .如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是共线或平行，夹角为0或。3 .空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面，空间中的四个向量一定线性相关4 .设a与b是两个非零向量，假设a与b线性相关，则ab0o5-已知向量ax1,x2,x3,b%,丫2,丫3,则a与b之间的内积ab收乂则2。二、选择题。1 .以下性质或量

11、中哪些是仿射的(1,3,4,8)1线段的中点；2角的平分线；3交比；4点偶的调和共轲性5角度6三角形的面积7两相交线段的比8两平行线段的比9对称轴10对称中心2 .设a与b是两个非零向量，假设ab0,则B。aa与b平行ba与b垂直ca与b线性相关da与b的夹角为3 .设a与b是两个非零向量，则以下结论正确的选项是a。AabiabBaba|bCab司bDab,卜4 .以下说法错误的选项是B,CA.平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B.平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C.平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行平面上的三个向量一定线性相关9A a与b平行5 .设a与b是两个非零向量，假

12、设a与b交角为锐角。C a与b线性相关a与b的夹角为三、计算与证明题。1.设平面上的点变换分别由2x2y5yy 一表不，求(1) 12；2一11；(3)21；解：1(x2(xy) 2(x2) 3y) 5(x 2) 13x7xy2y1112假设求1 ,只需从1中求出x,y即可。所以x y 2x 7y 5x 2y 17x2 1 :3(x 2y 3) (2x 5y 1)x2 1 :y (x 2y 3) 2 ，即yx 3y 4x 2y 51 x y 21_.2 :4假设求2 ,只需从2中求出x，y即可，所以 y x y 22 .求线坐标1,0,1所表示的直线方程。解：1,0,1表示直线 x 0或x 1

13、 03 .求线坐标1,1, 1所表示的直线方程。解：1,1,1表示直线x1 x2 x30或x y 1 04 .求线坐标 2,2, 2所表示的直线方程。解：2,2, 2表示直线x1x2x3 0或x y 1 05 .求线坐标0,1,1所表示的直线方程。解：0,1,1表不直线x2 x3 0或y 1 06 .试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。证明：设4 ABC为等腰三角形，记 AB a,AC b,则"BC b 1 ,并设中线 AD m ,见图一1 -m -a1b2上式两端同ba做内积，得22一一_1-121-2mba-abba5bl-|ai,根据已知条件所以mba0,即AD，BC。

14、7 .证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换。证明：设在使二向量内积不变的仿射变换下，点A变成点A，点B变成点B,则.2.2d2(A,B)ABABABABABABd2(A,B)所以d(A,B)d(A,B)d表示两点间的距离。由于这个变换保持两点间的距离不变，因此它是正交变换8 .试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。证明：设O为半圆的圆心，AB为直径，C为半圆上任意一点，见图,要证明/ACBOBa,设OC c,由于OA,OB,OC都是圆的半径，所以由图有BCa, AC c aBCAC(c a)(c a)c2所以即/ACB9 .假设存在，求以下各点的非齐次坐标(1)(旧55,3)(2).(0,1,0)。解：.存在，设区2以3)Q3，J53)，则这个点的非齐次坐标为(x,y)(-,-)(,X3X333(2).不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。10 .假设存在，求以下各点的非齐次坐标(1) (0,5,6),(2)(1,8,0)。xXc5解：(1).存在,设(X1,X2,X3)(0,5,6),则这个点的非齐次坐标为(X,y)(,)(0,),X3X36(2) .不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。11 .假设存在，求以下各点的非齐