三角形内外角平分线性质定理

1、玉林高中数学科玉林高中数学科 本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已节内容现在在初中课本中已“淡化淡化”，但是这几个，但是这几个结论在高中的结论在高中的“立体几何立体几何”和和“平面解析几何平面解析几何”中中有时会用到有时会用到.因此因此,在本节中首先把这几个定理内容介在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目然后利用这三个定理来解决一些题目.其其中对于中对于“平行线分线段成比例平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度介绍几条稍有难度的题目，而的题目，而“三角形内外角平分线性质定理三角形内外

2、角平分线性质定理” 的题的题目直接围绕定理展开，难度不大目直接围绕定理展开，难度不大.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 定理的基本图形：定理的基本图形：如图，因为如图，因为ADBECF， 所以所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF 也可以说也可以说AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF 推论的基本图形推论的基本图形:ABCDEFABCDEABCDEABCDE平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形

3、一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边 ( (或两边的延长线），所得的对应线段成比例或两边的延长线），所得的对应线段成比例 例例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例对应成比例.(文字语言文字语言)已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(符号语言).ADAEDEABACBCCBADEF(图形语言)分析分析：由平行线分线段：由平行线分线段成比例定理的推论可直成比例定理的推论可直接得到接得到AD:AB=AE:AC.为了

4、证明为了证明AE:AC=DE:BC，需要构造一组平行线，使需要构造一组平行线，使AE、AC、DE、BC成为成为由这组平行线截得的线段由这组平行线截得的线段.故作故作EF/AB.证明：过点证明：过点E作作EF/AB,交交BC于点于点F,DE/BC, AD:AB=AE:AC.EF/AB, BF:BC=AE:AC.且四边形且四边形DEFB为平行四边形为平行四边形.DE=BF. DE:BC=AE:AC.ADAEDEABACBCCBADEG已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：.ADAEDEABACBC(图形语言)ADDEABBC法2：为了证明 ，需用平行线分线段成比例定理.故作CG/

5、AB,且与DE的延长线交于点G.证明:过点C作CG/AB,且与DE的延长线交于点G.DE/BC, AD:AB=AE:ACCG/AB, DE:DG=AE:AC四边形DEFB为平行四边形， DG=BC.ADDEABDG.ADAEDEABACBC例例1：ABCDEF证明：证明：FDEDFAEDC如图， 是平行四边形ABCD边CD上一点，连结BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：ABCD四边形为平行四边形CD/ABAD/BC，DEEFAEEB（平行于三角形一边的直线截其他两边，平行于三角形一边的直线截其他两边， 所得的对应线段成比例）所得的对应线段成比例）同理可得同理可得 :EFDFEBDCDE

6、DFAEDC例例2 2：1,ABCAD,B ,2BACF.:AF=CFDEEEAEE如图 在中， 为中线上的一点，连结延长交于点 求证ABCDEFH证明：证明：DHAC,BFH作交于点DHBDCFBC（平行于三角形的一边，并且和其他两边（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。）角形三边对应成比例。） DBC是的中点12DHBDCFBC12DEAE12DHDEAFAE同理可得：DHDHAFCFAFCF例例3/111ABDCOE如图，已知：ABCD,AC,BD交于O,OEAB交BC于E.求证：证明：证明：/OE

7、AB(1)OECEABBC/OEDC(2)OEBEDCBC121OEOECEBEBCABDCBCBCBC（）（ ）得：111ABCDOE玉林高中数学科玉林高中数学科三角形内角平分线定理：三角形内角平分线定理：ABCDABCADBAC在中，若为的平分线，三角形外角平分线定理：三角形外角平分线定理：ABCDE.ABCADACAE在中，为的外角的平分线，ABBDACDC则：三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。角的外角平分线外分对边之比。三角形内角平分线定理：三角形两边之比等于其夹三角形内角平分线定理：三角形两边之比等于其

8、夹角的平分线内分对边之比。角的平分线内分对边之比。ABBDACDC则：三角形内心三角形内心性质：性质：三角形内心三角形内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）角平分线的交点（内切圆的圆心）1、角平分线上的任意点到角两边的距离相等；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边直角三角形的内心到边的距离等于两直角边 的和减去斜边的差的二分之一的和减去斜边的差的二分之一。三角形三角形重重心心：三角形的三条边的中线交于一点。三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。该点叫做三角形的重心。1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离重心到顶点的距离与重心到对边中点

9、的距离之比为之比为2 1；2、重心到三角形重心到三角形3个顶点距离的平方和最小个顶点距离的平方和最小；三角形三角形重重心心性质：性质：3、重心和三角形重心和三角形3个顶点组成的个顶点组成的3个三角形面积相个三角形面积相等等；4、重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即123123(,)33xxxyyyG三角形三角形旁旁心心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角三角形一内角平分线和另外两顶点处的外

10、角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心平分线交于一点，该点即为三角形的旁心；2、每个三角形都有三个旁心每个三角形都有三个旁心；三角形三角形旁旁心心性质：性质：3、旁心到三边的距离相等旁心到三边的距离相等；ABCDE三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。之比。已知：如图8-4甲所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明1：过C作CEDA与BA的延长线交于E。 则： BA/AE=BD/DC; BAD

11、=AEC；（两线平行，同位角相等） CAD=ACE；（两线平行，内错角相等） BAD=CAD；（已知） AEC=ACE；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。结论1：该证法具有普遍的意义。 思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-4乙所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DEAB于E，DFAC于F； BAD=CAD；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/SDAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/SABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/AC=BD/DC 结论2：遇到角平分

12、线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？ 三角形外角平分线定理：三角形三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。线外分对边之比。 三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例. 已知：如图8-5甲所示，AD是ABC中BAC的外角CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。 证明1：过C作CE

13、DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC DAF=CEA；（两线平行，同位角相等） DAC=ECA；（两线平行，内错角相等） DAF=DAC；（已知） CEA=ECA；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 角度看问题的方法了吗？思路2：利用面积法来证明。已知：如图8-5乙所示，AD是ABC内角BAC的外角CAF的平分线。求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D作DEAC于E，DFBA的延长线于F； DAC=DAF；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/AC=BD/DC结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看BAD和DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换内角平分线性质定理证明证明：证明：11,sin22ABDABChSBD hAB ADBAD设的高为则：11sin22DACSCD hDA ACDACsinsinABDDACSBD hAB ADBADSDC hAC ADDACADBACBACDAC 为的平分线ABBDACDCABDC外角平分线性质定