第8章 气体动理论

1、1（The theory of molecular motion of gas) 2主要内容主要内容3热学热学: : 研究热现象及其规律的学科研究热现象及其规律的学科热力学系统以外的物体称为外界。热力学系统以外的物体称为外界。例：若汽缸内气体为系统，其它为外界。例：若汽缸内气体为系统，其它为外界。1.1.热学的研究对象及内容热学的研究对象及内容 对象：对象：宏观物体（大量分子原子的系统）宏观物体（大量分子原子的系统）或物体系或物体系 称为称为热力学系统热力学系统 。 8.1 热学的基本概念热学的基本概念宏观：热现象是与温度有关的现象宏观：热现象是与温度有关的现象微观：热现象是与分子热运动有关的

2、现象微观：热现象是与分子热运动有关的现象 8.1.1 热力学系统热力学系统 平衡态平衡态4孤立系统孤立系统和外界无质量、能量交换和外界无质量、能量交换封闭系统封闭系统和外界无质量交换、有能量交换和外界无质量交换、有能量交换开放系统开放系统和外界既有质量交换、也有能量交换和外界既有质量交换、也有能量交换2.2.热学的研究方法热学的研究方法 热力学热力学（thermodynamics）宏观基本实验规律宏观基本实验规律热现象规律热现象规律逻辑推理逻辑推理 统计力学统计力学（statistical mechanics）对微观结构提出对微观结构提出模型、假设模型、假设统计方法统计方法热现象规律热现象规律

3、热力学系统的分类热力学系统的分类: :5 系统状态的描述：系统状态的描述：（1 1）宏观描述法）宏观描述法 用一些可以直接测量的物理量（称为宏观量）用一些可以直接测量的物理量（称为宏观量）来描述系统的宏观性质来描述系统的宏观性质 例如：例如：p,V,T,等等（2）微观描述法微观描述法 给出系统中每个微观粒子的力学参量（称为宏给出系统中每个微观粒子的力学参量（称为宏观量）来描述系统观量）来描述系统例如：分子的质量例如：分子的质量、速度速度、直径、动量直径、动量微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。6 在不受外界影响的条件下在不受外界影响的条件下,热力学系统的宏观性热力学

4、系统的宏观性质不随时间改变的状态质不随时间改变的状态,称为平衡态。称为平衡态。平衡态平衡态：体系的温度、压强、密度等宏观量处处：体系的温度、压强、密度等宏观量处处相同，在相同，在p-V图上可用一点表示图上可用一点表示 3.3.平衡态平衡态（equilibrium state）处在平衡态的大量分子仍在作热运动处在平衡态的大量分子仍在作热运动,而且因为碰撞而且因为碰撞,每个分子的速度经常在变每个分子的速度经常在变-动态平衡动态平衡平衡态是热学中的一个理想化状态。平衡态是热学中的一个理想化状态。7一组状态参量一组状态参量一个平衡态一个平衡态描述描述对应对应状态参量之间的函数关系称为状态参量之间的函数

5、关系称为状态方程状态方程, ,记作记作: :0),(TVpf描写平衡态下系统宏观属性的一组独立宏观描写平衡态下系统宏观属性的一组独立宏观量，称为量，称为状态参量状态参量（state parameter）例如：气体系统的例如：气体系统的 p、V、T8 8.1.2 热力学第零定律热力学第零定律 如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也必处在热平衡们彼此也必处在热平衡cabcab处在同一热平衡状态下的热力学系统，具有一个处在同一热平衡状态下的热力学系统，具有一个共同的宏观性质，定义它为共同的宏观性质，定义它为系统的温度系统的温度。温度的测量：温度的

6、测量：温度计温度计9温度的标度（温标）温度的标度（温标）1 1）经验温标：以某物质的某一属性随冷热程度）经验温标：以某物质的某一属性随冷热程度的变化为依据而确定的温标称为经验温标。的变化为依据而确定的温标称为经验温标。经验温标除标准点外，其他温度并不完全一致。经验温标除标准点外，其他温度并不完全一致。如：水如：水 冰点冰点 沸点沸点摄氏温标：摄氏温标： 0 00C 100C 1000C C华氏温标：华氏温标： 32F 212F32F 212F2 2）理想气体温标：以理想气体作测温物质）理想气体温标：以理想气体作测温物质3 3）热力学温标：不依赖任何具体物质特性的温标）热力学温标：不依赖任何具体

7、物质特性的温标规定：水的三相点规定：水的三相点 T0=273.16K108.1.3 理想气体状态方程理想气体状态方程RTpV理想气体：理想气体：严格遵守四条定律严格遵守四条定律( (玻马定律、盖玻马定律、盖- -吕萨克定律、查理定律和阿伏伽德罗定律吕萨克定律、查理定律和阿伏伽德罗定律) )的的气体其状态方程为：气体其状态方程为：理想气体的理想气体的状态方程：状态方程：R=8.31J/molKT-KV-m3p-Pa设：设：m-单个分子质量单个分子质量; -摩尔质量；分子数摩尔质量；分子数为为，为体系内气体的总质量为体系内气体的总质量11ANNRTpV/, n -分子数密度分子数密度(单位体积中的

8、分子数单位体积中的分子数) k = R/NA = 1.38 10 23 J/K-玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数因为因为-理想气体状态方程理想气体状态方程 的另一形式的另一形式nkTP nkTTNRVNpA12主要内容主要内容138.2 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 8.2.1 理想气体的压强理想气体的压强 1.1.理想气体的微观模型和统计假设理想气体的微观模型和统计假设a.气体分子当作质点，不占体积；气体分子当作质点，不占体积；(1) 对单个分子个体力学性质的微观假设对单个分子个体力学性质的微观假设b.分子之间只在碰撞时有力作用分子之间只在碰撞时有力作用(忽略重力忽略重力)c. 分子之间

9、是完全弹性碰撞分子之间是完全弹性碰撞d. 分子的运动规律遵从牛顿力学分子的运动规律遵从牛顿力学14(2)统计规律统计规律 大量偶然事件从整体上反映出来的一种必然的大量偶然事件从整体上反映出来的一种必然的规律性。规律性。 定义定义: 某一事件某一事件 i 发生的概率为发生的概率为 PiNNPiNilim Ni事件事件 i 发生的发生的 次数；次数； N各种事件发生的总次数各种事件发生的总次数NxNxiii 统计平均值的计算：统计平均值的计算： iiixPNxNxiii 22 iiixP215统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点:a.只对大量偶然的事件才有意义只对大量偶然的事件才有意义b.

10、它是不同于个体规律的整体规律它是不同于个体规律的整体规律 (量变到质变量变到质变)c.总是伴随着涨落总是伴随着涨落伽耳顿板伽耳顿板 表演实验表演实验个体事件有偶然性，大量偶然事件整体遵守个体事件有偶然性，大量偶然事件整体遵守统计规律统计规律16单个粒子行单个粒子行为为- - 偶然偶然大量粒子行大量粒子行为为- - 必然必然17VNVNn dd dV-体积元体积元 (宏观小宏观小,微观大微观大)即：气体分子在空间的分布是均匀的，分子即：气体分子在空间的分布是均匀的，分子数密数密度度处处相同处处相同b.b.平衡态时分子的速度按方向的分布是各向等概平衡态时分子的速度按方向的分布是各向等概率的。率的。

11、a.a.平衡态时，在无外场的情况下，分子在各处出平衡态时，在无外场的情况下，分子在各处出现的概率相同，现的概率相同，(3) 对分子集体的统计规律假设对分子集体的统计规律假设, 0zyxvvv222zyxvvv18由矢量合成法则，分子速度的方均值为：由矢量合成法则，分子速度的方均值为：2222zyxvvvv则则322vvx23xv注意：注意：统计假设是对系统中大量分子平均而统计假设是对系统中大量分子平均而言的，若系统包含的分子数越多，假设就愈言的，若系统包含的分子数越多，假设就愈接近实际情况接近实际情况。即即32222vvvvzyx19前提：前提： 平衡态，平衡态， 忽略重力，忽略重力， 分子看

12、成质点分子看成质点（即只考虑分子的平动）；（即只考虑分子的平动）；讨论对象：讨论对象：同同 一种气体，每个分子质量为一种气体，每个分子质量为 m ， N 总分子数，总分子数， V体积，体积，2.2.理想气体压强公式推导理想气体压强公式推导 一个分子一次碰撞对器壁的冲一个分子一次碰撞对器壁的冲量量 利用压强的定义得到气体对器壁的压强利用压强的定义得到气体对器壁的压强 全部分子一次碰撞对器壁的冲量全部分子一次碰撞对器壁的冲量推导思路：推导思路：20iv(1) 如图考虑速度为如图考虑速度为 的第的第i个分子对个分子对A面的一次碰撞面的一次碰撞AAx0y0z0 xyzixmvixmv因为是因为是弹性碰

13、撞弹性碰撞，分子碰到分子碰到A面后速度分量面后速度分量由由vix变为变为vix( mvix) mvix= 2mvix 分子受的冲量为分子受的冲量为 2mvix A面受到的冲量为面受到的冲量为 2mvix分子的动量增量为分子的动量增量为21(2)第第i个分子个分子与与A面碰撞一次所需时间为面碰撞一次所需时间为: AAx0y0z0 xyzixmvixmvixvx /20(3) 时间内第时间内第i个分子与个分子与A面碰撞的次数面碰撞的次数: t02/ xtvix(4) 时间内时间内A面受到第面受到第i个个分子的冲量为分子的冲量为 t02022xtmvxtvmvIixixixi(5) 时间内时间内A面

14、受面受到所有分子的冲量为到所有分子的冲量为 t201201xNiixNiivxtNmNvxtNmII22由压强的定义由压强的定义: : 001zytIStISFpAAAx0y0z0 xyzixmvixmv22000 xxvnmvzyxNmp231vnmP -理想气体压强公式理想气体压强公式定义分子定义分子平均平动动能：平均平动动能：2t21vm压强公式又可表示为：压强公式又可表示为：t32np 231. .压强公式是一个统计规律；压强公式是一个统计规律；2. .压强是由于压强是由于大量大量气体分子碰撞器壁产生的，它气体分子碰撞器壁产生的，它是对是对大量分子统计平均大量分子统计平均的结果。对单个

15、分子无压的结果。对单个分子无压强的概念。强的概念。说明：说明：宏观量宏观量 p 微观量的微观量的 统计平均值统计平均值 t 压强公式压强公式压强只有统计意义压强只有统计意义3.上述压强公式适用于任意形状的容器上述压强公式适用于任意形状的容器4.无法用实验直接验证无法用实验直接验证24 将将 p = nkT 代入压强公式得代入压强公式得tnnkT 32 kTt231.1.表示宏观量温度表示宏观量温度T与微观量的统计平均值之间与微观量的统计平均值之间的关系的关系-温度的统计意义温度的统计意义。2.2.温度是大量气体分子热运动剧烈程度的量度温度是大量气体分子热运动剧烈程度的量度与气体种类无关与气体种

16、类无关-温度的微观实质温度的微观实质。8.2.2 理想气体的温度理想气体的温度3.3.分子的平均平动动能只与分子的平均平动动能只与T有关，与气体性有关，与气体性质无关质无关, ,与整体定向运动速度无关。与整体定向运动速度无关。25kT23t221tvmmkTv32RT3称为称为方均根速率方均根速率5.5.成立条件成立条件：理想气体平衡态。：理想气体平衡态。4.4.运动是绝对的运动是绝对的, ,因而因而绝对零度不可能达到绝对零度不可能达到26例例 . 在在273K时：时：m/s.183610022273318332 vm/s.4611032273318332 vH2分子分子 O2分子分子 J10

17、65. 52321 kTt eV1053. 32 27例题例题 一容器体积一容器体积V=1m3,有有N1=11025个个氧分子，氧分子， N2=41025氮分子，混合气体的压强氮分子，混合气体的压强p=2.76 105pa, 求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。解解: 由压强公式由压强公式tnp32tVNN2132所以所以)(2321NNpVt=8.26 10-21JkTt23又又混合气体的的温度：混合气体的的温度：kTt32=400K28例题例题 两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，但两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，但体积不同，则体积不同，则相

18、同。相同。(2)(2)它们单位体积中的气体质量它们单位体积中的气体质量 不相同。不相同。(3)(3)它们单位体积中的分子平均平动动能的总和它们单位体积中的分子平均平动动能的总和( (p=nkT) )( =mn) )相同。相同。(1)它们单位体积中的分子数它们单位体积中的分子数pnkTnt232329主要内容主要内容30 自由度自由度确定一个物体的空间位置所需要的独确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数，用立坐标数，用i 表示表示 。i = t =3t 平动自由度平动自由度8.3 能量均分原理能量均分原理1.单原子分子（单原子分子（如如He, Ne, Ar等等 ）可视为质点可视为质点,确定它在

19、空间的位置需确定它在空间的位置需3个独立个独立坐标，故有坐标，故有3个自由度，称为平动自由度。个自由度，称为平动自由度。8.3.1 自由度自由度31r = 2 （ ， ）r 转动自由度，转动自由度，总自由度：总自由度：i=t+r=52. 2. 刚性双原子分子刚性双原子分子（如（如 O2 ，H2 ，CO ）两原子之间成细杆哑铃似的结构两原子之间成细杆哑铃似的结构, ,C确定质心确定质心C, C, 需知要需知要3 3个平动个平动自由度，自由度， t =3 （x，y，z）确定轴的取向，需要确定轴的取向，需要2个转个转动自由度动自由度（ ， ）；0zx y轴轴 C (x, y, z) l32r = 3

20、 （ ， ， ）t =3 （质心坐标（质心坐标 x，y，z）i = t + r总自由度：总自由度： 3. 3. 刚性多原子分子刚性多原子分子( (可看作刚体可看作刚体) )质心质心, , 要要3 3个平动自由度；个平动自由度；确定过质心的轴的方位需确定过质心的轴的方位需个转动自由度个转动自由度（ ， ）；）；确定分子确定分子绕轴转动绕轴转动需要个需要个转动自由度转动自由度 ； xzy 33一个平动自由度对应的平均动能为一个平动自由度对应的平均动能为2/kTkTmmmzyx21212121222 vvv即：即：能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配由于分子碰

21、撞频繁，平均地说，能量分配没有没有任何自由度占优势。任何自由度占优势。即：即：在温度为在温度为T 的平衡态下，的平衡态下，分子热运动的每一分子热运动的每一个自由度所对应的平均动能都等于个自由度所对应的平均动能都等于kT21 23 tkT ， 3 t由由及及我们可以得知：我们可以得知：8.3.2 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理34 由此可知，如果一个分子有由此可知，如果一个分子有i个自由度，其个自由度，其平均动能平均动能kTi2所以，根据所以，根据 能量均分原理，能量均分原理， 每个刚性每个刚性分子热运动的平均动能为分子热运动的平均动能为kTrtkTi22（多）（双）（单）kTkTkT

22、26252335内能：内能：系统内所有分子的动能和势能总和。系统内所有分子的动能和势能总和。 8.3.3. 理想气体内能理想气体内能对理想气体：对理想气体： 分子有动能，它与气体温度有关。分子有动能，它与气体温度有关。 分子间无相互作用，则无相互作用势能分子间无相互作用，则无相互作用势能所以：内能所以：内能=所有分子动能之和所有分子动能之和设理想气体有设理想气体有N个分子，个分子，NkTiNE236NkTiE 2AANTNRi 2RTiE 2则内能公式：则内能公式：与过程无关TRiE2)2(PViE2说明：说明：(1)(1)理想气体的内能是温度的单值函数理想气体的内能是温度的单值函数)(2PV

23、iE(3)(3)利用理想气体的状态方程可得利用理想气体的状态方程可得37(1)kT/2-分子的一个自由度平均分配的动能分子的一个自由度平均分配的动能(2)3kT/2-分子的平均平动动能分子的平均平动动能(3)ikT/2-分子的平均动能分子的平均动能(4)3RT/2 -1摩尔分子的平均平动动能的总和摩尔分子的平均平动动能的总和(5)MiRT/2-质量为质量为M，摩尔质量为，摩尔质量为 的的分子的平均动能的总和分子的平均动能的总和1 1 molmol单原子单原子理想气体的内能理想气体的内能E Emolmol mol mol理想气体的内能理想气体的内能E E例：例：说明下列各式的物理意义说明下列各式

24、的物理意义38例例: 一容器内装有某一理想气体，其温度为一容器内装有某一理想气体，其温度为00C，压力为，压力为1.010-2大气压，密度为大气压，密度为1.2410-2Kg/m3。求：。求： （1）气体）气体的摩尔质量，（的摩尔质量，（2）气体分子的平均平动动能和转动动能，）气体分子的平均平动动能和转动动能，（3）容器单位体积内分子的总平动动能，（）容器单位体积内分子的总平动动能，（4）若该气体）若该气体有有0.3mol，求其内能。，求其内能。JkTrJkTtrt2121107.32106.5233)2( JkTnnkTpnt3105 .123)3( JRTiE3107 .1227331.8

25、53 .02)4( )(/1028)1(:23CONmolkgpRTRTMpV或或解解 39主要内容主要内容40 8.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律8.4.1 速率分布函数速率分布函数麦克斯韦麦克斯韦（Maxwell s law of distribution of speeds） 气体中个别分子的速度具有气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的在一定的条件下，气体分子的速率分布也遵从一定的统计规速率分布也遵从一定的统计规律。律。这个规律也叫这个规律也叫麦克斯韦速麦克

26、斯韦速率分布律。率分布律。41设：设：一定量理想气体，一定量理想气体，dNv 为速率为速率vv+dv区间区间内的分子数，内的分子数，N 为总分子数为总分子数, ,则易知则易知， vvddNN 即即vvdd NN由于由于dNv / N 是速率是速率v附近附近dv区间的分子数与总分子区间的分子数与总分子数之比，所以它应与数之比，所以它应与v 的大小有关，的大小有关， vvvd)(dfNN 可以可以写成：写成：即即vvvdd)(NNf f(v)称为称为速率分布函速率分布函数数（function of distribution of Speeds）42vvvdd)(NNf f (v)的物理意义：的物理

27、意义：速率在速率在v 附近、单位速率区间内的分子数占总分附近、单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，子数的百分比，或单位速率区间内分子出现的概或单位速率区间内分子出现的概率，即概率密度率，即概率密度因为因为 01d vvNN 所以所以 01d)(vvf这称为速率分布函数这称为速率分布函数的的归一化条件归一化条件。， vv 0dNN即即 43应用速率分布函数，可以求出一些统计平均值，如：应用速率分布函数，可以求出一些统计平均值，如：平均速率，速率平方的平均值等。平均速率，速率平方的平均值等。NvNvii分立：分立：连续：连续：NNvvNv0d NNvvNd00f(v)dvv平均速率平均速率:

28、 所有分子速率的平均值。所有分子速率的平均值。同理，可得速率平方的平均值：同理，可得速率平方的平均值：022f(v)dvvv448.4.2 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（年麦克斯韦（Maxwell）导出了理想气体在）导出了理想气体在无外场的平衡态（无外场的平衡态（T）下，分子速率分布函数为：）下，分子速率分布函数为：22/2/32)2(4)(vvv kTmekTmf f(v)0v v +dvNNfvvvdd)( T，m 一定一定v图中曲线下的面积图中曲线下的面积为该速率区间内分为该速率区间内分子出现的概率。子出现的概率。45 f(v)0v v +dvNNfvvv

29、dd)( T，m 一定一定v曲线包围的面积总各为曲线包围的面积总各为1。可知：可知： 01dvvf由归一化条件由归一化条件应用麦克斯韦速率分布函数，可以求得应用麦克斯韦速率分布函数，可以求得理想气理想气体分子的一些统计平均值体分子的一些统计平均值。如：平均速率，方。如：平均速率，方均根速率和最概然速率。均根速率和最概然速率。46 1.理想气体分子的理想气体分子的最概然速率最概然速率 f f( (v v) )0 0v vp pT T，m m 一定一定v vTRTmkTvp22由图可知，由图可知，vp的物理意义是的物理意义是vp附近单位速率区间的分子附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比最大。

30、数占总分子数的百分比最大。如图示，如图示，相应于速率分布函数相应于速率分布函数 f(v)的极大值的速率的极大值的速率称为最概然速率，记作称为最概然速率，记作v p 。， 0d)(d P vvvvf由由有：有：4712/18)( ekTmfpv 当分子质量当分子质量 m 一定时，一定时， )(ppfTvv速率大的分子数比例越大，速率大的分子数比例越大， f(v)0 0v vp1p1m 一定一定v vvp2T T1 1T2 T1思考思考: : T 一定，一定，m2 m1 1，速率分布曲线如何？，速率分布曲线如何？ mkT2pv气体分子的热运动越激烈。气体分子的热运动越激烈。左图表明：左图表明：温度

31、越高，温度越高，48代入麦氏速率分布函数，经计算可得：代入麦氏速率分布函数，经计算可得：RTmkTv88,0f(v)dvvv 理想气体分子的理想气体分子的平均速率平均速率利用利用理想气体分子的方均根速率理想气体分子的方均根速率022f(v)dvvvRTmkTv33249 主要在讨论分子平均平动动能时用主要在讨论分子平均平动动能时用 主要在讨论分子碰撞问题时用主要在讨论分子碰撞问题时用 主要在讨论分子的速率分布时用主要在讨论分子的速率分布时用pvv2v73. 1:60. 1:41. 13:8:2:2p v v v 比较可得：比较可得：50例：例：试说明下列各式的物理意义。试说明下列各式的物理意义。dvvNf)() 1 (表示在速率表示在速率v附近，附近，dv速率区间内分子的个数。速率区间内分子的个数。表示在速率表示在速率v1 v2速率区间内，分子出现的概率。速率区间内，分子出现的概率。21)()2(vvdvvf21)()3( vvdvvNf表示在速率表示在速率v1 v2速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。dN NN / N dvvfNv)()4(0dNv0分子速率的