第七章参数估计

1、第七章第七章 参数估计参数估计7.1 点估计点估计7.2 区间估计区间估计一、点估计一、点估计（一）概念（一）概念 1.1.点估计点估计 设总体随机变量的分布函数已知，但它的一个或多设总体随机变量的分布函数已知，但它的一个或多个参数未知，若从总体中抽取一组样本观察值，以该个参数未知，若从总体中抽取一组样本观察值，以该组数据来估计总体参数，就称为参数的点估计组数据来估计总体参数，就称为参数的点估计例如，在全例如，在全部产品中，抽取部产品中，抽取100件进行仔细检件进行仔细检查，得到平均重量查，得到平均重量x=1002克，合格率克，合格率p=98%，我们直接推断全部产品的平均重量我们直接推断全部产

2、品的平均重量X=1002克，克，合格率合格率P=98%。一、点估计一、点估计（一）概念（一）概念 2.2.矩估计矩估计矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得总体有关参数的估计量的方法。矩是指以期望值为基础定义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等由于区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一由于区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一个绝对可靠的范围。就是说，推断全及指标在这个范个绝对可靠的范围。就是说，推断全及指标在这个范围内只有一定的把握程度。用数学的语言讲，就是有围内只有一定的把握程度。用数学的语言讲，就是有一定的概率。一定的概率。一、点估计一、

3、点估计（二）矩估计法的评价（二）矩估计法的评价 优点优点： 一、 计算简便直观，一般不考虑抽样误差和可靠程度 二、适用于对估计准确与可靠程度要求不高的情况 局限性局限性： 一、它要求总体矩存在 二、不能充分利用估计时已掌握的有关总体分布的信息（三）应用例题（三）应用例题 例例7-17-1 某厂对所生产的电子元件抽取5%进行抽样调查，计算出样本的平均耐用时间为4 340小时，样本合格率为98%。根据矩估计法原理，估计该厂所生产的电子元件的平均耐用时间和合格率。 解：解：点估计法是用样本指标直接作为总体指标的代表值，所以，全部电子元件的平均耐用时间即为4 340小时；总体合格率为98%7.2 区间

4、估计区间估计（一）区间估计的概念（一）区间估计的概念 根据样本统计量根据样本统计量以一定的可靠程度去估计总体参数估计总体参数值所在的范围值所在的范围或区间，是抽样估计的主要方法（二）抽样估计的置信度与精确度（二）抽样估计的置信度与精确度 1.1.置信度置信度：表示区间估计的可靠程度或把握程度区间估计的可靠程度或把握程度，也即所估计的区间包含总体参数真实值的可能性大小，一般以1- 表示。其中 表示显著性水平，即某一小概率事件发生的临界水平 置信度通常采用三个标准： （1）显著性水平=0.05，即1- =0.95 （2）显著性水平=0.01，即1- =0.99 （3）显著性水平=0.001，即1-

5、 =0.999（二）抽样估计的置信度与精确度（二）抽样估计的置信度与精确度* 2. 2.抽样估计的精确度抽样估计的精确度：用置信区间的大小置信区间的大小即抽样极抽样极限限/ /允许误差允许误差来表示 3.3.抽样估计的置信度置信度与精确度的矛盾关系精确度的矛盾关系 在样本容量和其他条件一定样本容量和其他条件一定的情况下， 若希望抽样估计有较高的可靠度较高的可靠度，则必须扩大置信区间，即必须降低估计的精确度必须降低估计的精确度 若希望抽样估计有较高的精确度较高的精确度，即置信区间范围缩小，则必须降低估计的把握度必须降低估计的把握度 即：抽样估计要求的把握度越高，则抽样允许误差越抽样估计要求的把握

6、度越高，则抽样允许误差越大，精确度越低大，精确度越低；反之则相反反之则相反 *思考：思考：在抽样调查中，如何同时提高抽样估计的精确度和把握度？区间估计的应用区间估计的应用（一）总体均值的区间估计（一）总体均值的区间估计 1.总体方差已知时总体方差已知时 当 ， )时，来自该总体的简单随机样本 的样本均值服从数学期望为 、方差 为的正态分布，将样本均值统计量 标准化，得到 统计量 根据区间估计的定义，在给定的显著性水平 下，总体均值 在 1- 的置信度下的置信区间为： （ ， ），即 其中， 即抽样平均误差 ， 即抽样允许误差 ( NX2nxxx,212x) 1 , 0(/NnxZZnZx2/n

7、Zx2/xxxx)(xnnZ2/x1.1.总体方差已知时总体均值的区间估计总体方差已知时总体均值的区间估计 例题应用例题应用 例例7-3 7-3 某厂生产的零件长度服从正态分布，从该厂生产的零件中随机抽取25件，测得它们的平均长度为30.2厘米。已知总体标准差 =0.45厘米 要求：要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差 （2）估计零件平均长度的可能范围（ =0.05） 已知已知： ， )， =30.2， =25， 1- =0.95( NX245. 0 xn解题过程解题过程 （1）抽样平均误差 查标准正态分布表可知在 =0.05时， =1.96，所以，抽样允许误差 （2）总体均值的置信区间

8、为： （ ， ）= =（ ， ）= （30.02，30.38） 即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在30.02厘米到30.38厘米之间 09. 02545. 0)(nx2/Z1764. 009. 096. 12/nZxnZx2/nZx2/),(xxxx1764. 02 .301764. 02 .302.2.总体方差未知时总体均值的区间估计总体方差未知时总体均值的区间估计*总体方差 未知，可以以样本方差 代替，但新的统计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为 1的 分布 *给定置信度1 ，可查 分布表确定临界值 从而总体均值的置信区间为： （ ， ） 其中， 即为抽样平均误差 即为抽样

9、允许误差上式也可表示为： 22Sntt) 1(2/ntnStxn 12/nStxn 12/)(1xnSnnStn 12/xxxxx例题应用例题应用 例例7-4 7-4 从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取25名调查每周收看电视的时间，分组资料见下表： 要求：要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差 （2）估计该市全体高中生每周平均看电视时间的置信区间（给定的显著性水平为0.05）解题过程（一）解题过程（一）已知：已知： =25， =0.05样本均值 样本方差 =4.33（1）查 分布表知 =0.05时，临界值 = 2.063 9，因此， 抽样平均误差 抽样允许误差n)(5251987856

10、321小时x1-2515)-(98)5-7(8)5-5(6)5-3(25)-(1222222s) 1(2/nt ) 125(025. 0t416.02533.4)(1nSxn859.0416.00639.212/nStnxt解题过程（二）解题过程（二）（2）总体均值置信度为95%的置信区间为：（ ， ） = =（5-0.859，5+0.859） =（4.14，5.86） 即我们可以以95%的把握保证该市高中生每周平均看电视时间在4.14到5.86小时之间。 nStxn12/nStxn12/),(xxxx（二）总体比例的区间估计（二）总体比例的区间估计 *在大样本下，样本比例的分布趋近于均值为

11、、方差为 的正态分布。因此，给定置信度1- ，查正态分布 表得 ，则样本比例的抽样极限误差为： 所以，总体比例的置信度为1- 的置信区间为： PnPP)1 ( 2/Z)(2/pZppppPp例题分析例题分析 例例7-47-4 某厂对一批产成品按不重复抽样方法随机抽选200件进行质量检测，其中一等品160件，试以90%的概率估计一等品率的范围 已知已知： ，1- =90%， =200 查表知： =1.645 计算得样本比例的抽样平均误差为： 抽样极限误差为： 所以，该批产品的一等品比例的置信区间为： 即这批产品的一等品率在75.35% 到84.66% 之间。%80200160pn2/Z%83.2

12、200%)801 (%80)1 ()(nppp%655. 4%83. 2645. 1)(2/pZp%655. 4%80%655. 4%80P练习练习1 1： 某农场进行小麦产量的抽样调查，该农场小麦播某农场进行小麦产量的抽样调查，该农场小麦播种面积为种面积为10 00010 000亩，采用不重复的简单随机抽样从中亩，采用不重复的简单随机抽样从中选选100100亩作为样本，进行实割实测，得到样本的平均亩亩作为样本，进行实割实测，得到样本的平均亩产量为产量为400400千克，样本标准差为千克，样本标准差为1212千克。则：千克。则：)3.57( 40 100003)99.73%(t (3)2.38

13、(40 100002)95.45%(t 千克千克亩产量的可能范围为：亩产量的可能范围为：亩小麦的平均亩小麦的平均保证，该农场保证，该农场若以概率若以概率千克千克亩产量的可能范围为：亩产量的可能范围为：亩小麦的平均亩小麦的平均保证，该农场保证，该农场若以概率若以概率千克千克43.39619. 1340062.39719. 12400)2()(19. 1)100001001(100)1()1(1222 XxXNnnxx 练习练习2 2： 某机械厂日产某种产品某机械厂日产某种产品8 0008 000件，现采用纯随机不件，现采用纯随机不重复抽样方式重复抽样方式( (按重复抽样公式计算按重复抽样公式计算) )，从中抽取，从中抽取400400件件进行观察，其中有进行观察，其中有3803