结构力学 第5章 静定结构位移计算

1、第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第七章第七章 位移法位移法Chapter 7 Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1 1页页 第五章第五章 静定结构位移计算静定结构位移计算 Chapter5 Displacement Calculation 1 1、概述、概述 2 2、支座移动产生的位移计算、支座移动产生的位移计算 3 3、力的虚设方法、力的虚设方法 4 4、制造误差产生的位移计算、制造误差产生的位移计算 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface

2、to Steel Structure第七章第七章 位移法位移法Chapter 7 Displacement Method 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2 2页页 第六章第六章 静定结构位移计算静定结构位移计算 Chapter6 Displacement Calculation 5 5、温度作用时的计算、温度作用时的计算 6 6、荷载作用下的位移计算、荷载作用下的位移计算 7 7、图乘法、图乘法 8 8、线性变形体系的互等定理、线性变形体系的互等定理第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移

3、计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第3 3页页 1 1、概述、概述 结构位移结构位移结构上的任意点由于各种原因产生的移动。结构上的任意点由于各种原因产生的移动。例如：工程结构在荷载作用下就会产生变形，由于变形，结例如：工程结构在荷载作用下就会产生变形，由于变形，结构上各点的位置就会发生移动。构上各点的位置就会发生移动。 BCAqAYAXA线位移线位移 A角位移角位移 A点位移：点位移： AXAB相对水平位移：相对水平位移： AXBXCD相对转角：相对转角： ABBXCDAA,AAYAXC

4、DBAq第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4 4页页 1 1、概述、概述 除了荷载以外，温度改变、支座移动、制造误差和材料除了荷载以外，温度改变、支座移动、制造误差和材料收缩等因素，都能使结构产生位移。收缩等因素，都能使结构产生位移。 计算结构位移的目的：计算结构位移的目的： 为了校核结构的刚度，保证它在使用过程中不致于发生为了校核结构的刚度，保证它在使用过程中不致于发生过

5、大的变形。过大的变形。 在计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须在计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件，也就是说位移计算是超静定结构计算考虑结构的位移条件，也就是说位移计算是超静定结构计算的基础。的基础。 结构在制作、施工、架设和养护等过程中采取技术措施结构在制作、施工、架设和养护等过程中采取技术措施时，也需要知道结构的位移。时，也需要知道结构的位移。 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构

6、力学 Structural Mechanics第第5 5页页 计算所采用的理论计算所采用的理论虚功原理虚功原理 1 1）复习一下相关概念）复习一下相关概念 虚功虚功力在由其它原因产生的位移上所做的功。力在由其它原因产生的位移上所做的功。 其中：其中： 112PTF虚功虚功 虚功原理虚功原理刚体虚功原理刚体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理 1 1、概述、概述112212Fp1AB12Fp2第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结

7、构力学 Structural Mechanics第第6 6页页 刚体虚功原理：刚体虚功原理： 所有外力所做的虚功等于零，即：所有外力所做的虚功等于零，即： 0W外虚功原理：虚功原理： 虚力原理虚力原理 虚位移原理虚位移原理 虚力原理虚力原理位移是真的，力是虚设的。用虚设力的位移是真的，力是虚设的。用虚设力的 办法来求真实的位移。办法来求真实的位移。 虚位移原理虚位移原理力是真的，位移是虚设的。用虚设位力是真的，位移是虚设的。用虚设位 移的办法来求真实的力。移的办法来求真实的力。 变形体虚功原理：变形体虚功原理：所有外力做的虚功所有外力做的虚功= =所有内力做的虚功，即：所有内力做的虚功，即：

8、WW外内第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第7 7页页 显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。 显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形体的虚力原理计算。移应该

9、用变形体的虚力原理计算。 支座移动产生的位移支座移动产生的位移刚体位移刚体位移 制造误差产生的位移制造误差产生的位移刚体位移刚体位移 荷载作用产生的位移荷载作用产生的位移变形体位移变形体位移 温度改变产生的位移温度改变产生的位移变形体位移变形体位移 2 2）静定结构位移的类型）静定结构位移的类型第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第8 8页页 支座移动产生的位移应采用刚体的虚力

10、原理来计算。支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 虚设一个力状态，即在结构虚设一个力状态，即在结构的的A点作用一单位力矩。运用刚点作用一单位力矩。运用刚体的虚功原理：虚设力状态上的体的虚功原理：虚设力状态上的所有外力在真实的位移状态上所所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有：做的虚功应该等于零，有： 110AALL 得：得： 2 2、支座移动产生的位移计算、支座移动产生的位移计算虚设的力状态虚设的力状态1/L1/LM = 1图示简支梁图示简支梁B支座往下位移了支座往下位移了 ，求由此产生的求由此产生的A点转角点转角 。 A真实的位移状态真实的位移状态 ABLA第一章第一章

11、 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第9 9页页 可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下： R c 其中：其中： R由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c 真实的支座位移真实的支座位移 解：（解：（1 1）求）求C点的竖向位移点的竖向位移 CY真实的位移状态真实的位移状态 LABCL/2L/2ab【例题【

12、例题1】图示三铰刚架图示三铰刚架A支座往下位移了支座往下位移了b，B支座往右位移支座往右位移 了了a，求，求C点的竖向位移点的竖向位移 ， 和和C点的相对转角点的相对转角 。 CYC第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1010页页 在在C点作用一个竖向单位力，求出点作用一个竖向单位力，求出FYA和和FXB。 11()2424CYbaba 2 2、支座移动产生的位移计算、支座移

13、动产生的位移计算虚设的力状态虚设的力状态ABCFP = 11/21/4真实的位移状态真实的位移状态 LABCL/2L/2ab第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1111页页 1()CaaLL 1XBFL0YAF虚设的力状态虚设的力状态ABCM = 101/L（2 2）求）求C点的相对转角点的相对转角 C真实的位移状态真实的位移状态 LABCL/2L/2ab第一章第一章 绪绪

14、论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1212页页 2 2、支座移动产生的位移计算、支座移动产生的位移计算【例题【例题2】图示结构发生了支座图示结构发生了支座 移动，求铰移动，求铰C的竖向位移的竖向位移 及其两侧截面的相对转角及其两侧截面的相对转角 。CYC4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真实的位移状态真实的位移状态 解：（解：（1 1）求）求C的竖向位移的竖向位移CY在在C点加竖

15、向单位荷载，求出虚设点加竖向单位荷载，求出虚设力状态的支座反力，如图所示。力状态的支座反力，如图所示。则：则：BADCFP = 102虚设的力状态虚设的力状态2 0.010 0.010.02CYm （）第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1313页页 虚设的力状态虚设的力状态M = 1BADC1/221=2 0.010.01 =0.0152Crad（）（） 在在C点的两侧截面

16、上加一对单位力矩，求出虚设力状态的点的两侧截面上加一对单位力矩，求出虚设力状态的支座反力，如图所示，则：支座反力，如图所示，则：（2 2）求铰）求铰C两侧截面的相对转角两侧截面的相对转角C4mBAD2m2m1mC0.01rad0.01m真实的位移状态真实的位移状态 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1414页页 力的大小力的大小 一般虚设单位力。一般虚设单位力。力的位置力的

17、位置 作用在需要求位移的点及方向上。作用在需要求位移的点及方向上。 力的方向力的方向 随意假设，若求出的位移是正的，说随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的，明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反说明与假设的方向相反 。力的性质力的性质 求线位移加单位集中力；求转角加单位求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转一对相反的单位集中力；求二点相对转 角加一对单位力矩。角加一对单位力矩。 3 3、力的虚设法、力的虚设法第一章第一章 绪绪 论论Chapter

18、 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1515页页 FP=1CAB求求C点竖向位移点竖向位移FP=1CAB求求B点水平位移点水平位移M = 1CAB求求C点转角位移点转角位移AB求求A、B两点相对竖向位移两点相对竖向位移FP=1FP=1AB求求A、B两点相对水平位移两点相对水平位移FP=1FP=1第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位

19、移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1616页页 M = 1C求求C点相对转角位移点相对转角位移 3 3、力的虚设法、力的虚设法FP=1/LFP=1/LCD求求C、D杆转角位移杆转角位移第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1717页页 制造误差产生的位移采用虚力原理计算。制造

20、误差产生的位移采用虚力原理计算。 【例题【例题3】图示桁架图示桁架AC杆比要求的短了杆比要求的短了2cm，求由此产生的，求由此产生的C 点水平位移点水平位移 。解：在解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的内力，杆的内力， 令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚力方程有令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚力方程有 ： 4 4、制造误差产生的位移计算、制造误差产生的位移计算2FP = 1-2cmBCA虚设的力状态虚设的力状态-2cmbBCbA真实的位移状态真实的位移状态 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Str

21、ucture第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1818页页 1(2) ( 2)CH 利用虚功方程有：利用虚功方程有：abaBCA啊啊得：得：2 2CHcm【例题【例题4】图示悬臂梁图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角点由于制造误差有一转角 ，求由，求由 此引起的此引起的B点竖向位移点竖向位移 。 BYabaBCA啊啊M C= bFP = 1解：虚设一力状态：在解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出点加一竖向单位力，求出C点的点的 弯矩，并把弯矩，并把C点的抗弯连系

22、去掉，用弯矩点的抗弯连系去掉，用弯矩MC表示。表示。第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第六章第六章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第1919页页 利用虚功方程有：利用虚功方程有： 10BYCM得：得： BYCM 由制造误差引起的位移计算公式如下：由制造误差引起的位移计算公式如下： NQFMF 其中：其中： NFQFM虚设单位力作用下产生的轴力、虚设单位力作用下产生的轴力、 剪力和弯矩。剪力和弯矩。 正负号规定：虚内力与

23、变形方向一致为正，方向相反为负。正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负。 由制造产生的轴向变形、弯曲由制造产生的轴向变形、弯曲 变形和剪切变形。变形和剪切变形。第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2020页页 【例题【例题5】图示桁架图示桁架DC杆短了杆短了2cm,FE杆长了杆长了3cm,求求C点的点的 竖向位移。竖向位移。 解：在解：在C点作用一竖向单位力，求出

24、点作用一竖向单位力，求出DC杆、杆、FE杆的轴力：杆的轴力： 14NDCF516NFEF运用位移计算公式得：运用位移计算公式得： 1572341616CY -2+334=12m4mBFECDABFECDAFP=12022-3-3121dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虚功方程：虚功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQsin1Q01dQQdQQ 例、例、悬臂梁在截面悬臂梁在截面B B处由于某种原因产处由于某种原因产生相对转角生相对转角d d ，试求，试求A A点在点在i ii i方向的位方向的位移移 。m 例、例、悬臂梁在截面悬臂梁在截面B B处由于某种原因处由于某种

25、原因产生相对剪位移产生相对剪位移d d ，试求试求A A点在点在i ii i方向方向的位移的位移 。Q第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2222页页 2022-3-3122 例、悬臂梁在截面例、悬臂梁在截面B B处由于某种原因产生轴向位移处由于某种原因产生轴向位移d d 试求试求A A点在点在方向的位移方向的位移 。NBABAii NNBA 1NN由平衡条件：由平衡条件：c

26、os1N虚功方程：虚功方程：01dNNdNN 当截面当截面B B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在i ii i方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：dNdQdMNQMd第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2323页页 2022-3-31235、结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式变形体的位移计算变形体的位移计算一

27、、局部变形时的位移计算公式一、局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsddRdsR1（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段d ds s设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移所引起的位移。第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2424页页 2022-3-3124dsRdsddsddsddsdddRi

28、iddsddsddRds 1Q,N,M（2）微段两端相对位移微段两端相对位移：续基本思路：设续基本思路：设,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面B B左右两端的相对位移的左右两端的相对位移的形式出现，形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移应用刚体虚功原理求位移d d 即前例的结论即前例的结论。dQdNdMdQNM或或ds)QNM(d第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Ca

29、lculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2525页页 2022-3-3125二、结构位移计算的一般公式二、结构位移计算的一般公式iids)QNM(d一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：()dMNQds 如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：ds)QNM(若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：kkcRds)QNM(第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章

30、第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2626页页 2022-3-3126kkcRds)QNM(适用范围与特点：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1 1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2 2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。（3 3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。（4 4）材料种类：各种

31、变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2727页页 2022-3-3127位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。kkcRds)QNM(1c2cdsds1t2tKK 11R2RdsddsdddsdsdsMdsNdsQ外虚功外虚功：

32、kkecR1W内虚功：内虚功：dsQNMWi变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和W Wi i ，等于荷载在位等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和W We e 。即：即：dsQNMcRkk1第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2828页页 2022-3

33、-3128ds)QNM(重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。、（1）在荷载作用下建立在荷载作用下建立 的方程的方程，可经由荷载可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式过程推导应变表达式。PPPQ.N.M（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知GAQkEANEIMPPPk-为截面形状系数为截面形状系数1.29101AA(3) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPP第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel S

34、tructure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第2929页页 【例题【例题7】求图示简支梁中点求图示简支梁中点C的竖向位移的竖向位移 。CY解：（解：（1）取虚力状态如图所示：）取虚力状态如图所示： （2）写出弯矩、剪力方程：）写出弯矩、剪力方程：02Lx当当时：时：1122QMxF（3）计算）计算 CY21222PQPqqMLxxFqLqxFP=1C虚设的力状态虚设的力状态 CL/2L/2ABq真实的位移状态真实的位移状态 第一章第一章 绪绪 论论Chapter

35、1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第3030页页 22200112222222LLCYqqqLxLxxqLdxdxEIGA4253848qLqLEIGA（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响）比较弯曲变形与剪切变形的影响 弯曲变形：弯曲变形： 45384MqLEI剪切变形：剪切变形： 28QqLGA两者的比值：两者的比值： 2211.522.56QMEIhGALL若高跨比为：若高跨比为： 110hL2.56%QM则：则

36、：（3）计算）计算 CY第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第3131页页 结论：结论： 在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件 的长度，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。的长度，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。 【例题【例题8】计算图示刚架计算图示刚架C点的水平位移点的水平位移 和转角和转角 ，各，各 杆的杆的EI为常数

37、。为常数。 CXC解：（解：（1）求）求 CX取虚力状态如图所示：取虚力状态如图所示： FP = 1ACBEIEI虚设的力状态虚设的力状态1 LLqACBEIEI真实的位移状态真实的位移状态 2012PMMqx BC杆：杆： BA杆：杆： Mx212PMqL 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第3232页页 240124LCXqL xqLdxEIEI （2）求）求 C2230

38、011112223LLCqxqLqLdxEIEIEIFP = 1ACBEIEI虚设的力状态虚设的力状态1 ACBEIEIM = 1虚设的力状态虚设的力状态2 取虚力状态如图所示：取虚力状态如图所示： BC杆：杆： 1M 212PMqx BA杆：杆： 1M 212PMqL 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第3333页页 各种静定结构位移的计算公式如下各种静定结构位移的计算公式

39、如下: （1）梁、刚架）梁、刚架 只考虑弯曲变形只考虑弯曲变形 0LPM MdsEI （2）桁架）桁架 只有轴向变形只有轴向变形 0LNPNNPNF FF FdsLEAEA （3）组合结构）组合结构受弯构件只考虑弯曲变形受弯构件只考虑弯曲变形 0LNPNPF FM MdsLEIEA 6 6、荷载作用下的位移计算、荷载作用下的位移计算第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第3434

40、页页 （4）三铰拱）三铰拱 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形, 拉杆只有轴向变形拉杆只有轴向变形 。001LLNPNNPNPF FF FM MdsdsLEIEAEA 曲杆的积分计算可用数值计算代替曲杆的积分计算可用数值计算代替: 1NPNNPNPF FF FM MSSLEIEAEA 其中其中: PNPNMM FFEI EAS都应取都应取段上中点的值。段上中点的值。 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构

41、力学 Structural Mechanics第第3535页页 FPFPdddddDECAB【例题【例题9】计算图示桁架结计算图示桁架结C的竖向位移的竖向位移 ，各杆，各杆EA相等。相等。CY解：（解：（1）求出桁架在荷载作）求出桁架在荷载作 用下各杆的内力。用下各杆的内力。（2）求出桁架在单位力）求出桁架在单位力 作用下各杆的内力。作用下各杆的内力。DECABFPFPFP2PF00FP-FP2PFFP图图DECAB1/2/ 22- 1/ 221/2/ 22/ 22FP = 1F图图第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位

42、移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第3636页页 6 6、荷载作用下的位移计算、荷载作用下的位移计算（3）计算）计算C点的竖向位移点的竖向位移 CY 112222222211242 26.83NPCYPPPPPFF LEAFdFdEAFdEAF dF dEAEA 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Struct

43、ural Mechanics第第3737页页 2022-3-31372P2PPm/NqP4qlP 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5N2P2P例例2 计算屋架顶点的竖向位移计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB2022-3-31381111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5NEAlNNPCADDCDE材料杆件PNNlAEAlNNPEAlNNP钢筋砼钢CEAEEGccAEPl97. 1ccAEP

44、l81. 3ssAEPl63. 0ssAEPl13. 1ssccCEAEAPl13. 181. 32ABCDEFGP74. 458. 1l263. 0P42. 458. 1l263. 0cAcAccAEPl84. 1P95. 00l088. 0cA75. 00P50. 10l278. 0sA0P50. 450. 1l278. 0sA3P00. 350. 1l222. 0sA2ssAEPl50. 0第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构

45、力学结构力学 Structural Mechanics第第3939页页 【例题【例题10】求图示半径为求图示半径为R的圆弧形曲梁的圆弧形曲梁B点的竖向位移点的竖向位移 ， BY已知已知EI为常数。为常数。 为求为求 PMM取取kB隔离体如下：隔离体如下： PPMFRSin20PBYFRSinRSinRdEIACRddsFPROBABAFP=1BA虚设力状态虚设力状态 FPFQPFNPMPOB1MRSin 由：由： 0kM 解：取虚力状态如图所示。解：取虚力状态如图所示。 34PF REI第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章

46、 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4040页页 受弯构件位移计算公式：受弯构件位移计算公式： 若若EI为常数，上式变为：为常数，上式变为： 01LPM MdsEI 若若MP 、M中有一个是直中有一个是直线图，如右图所示，有线图，如右图所示，有 ：01LPMtgxdxEI tg是常数可提到积分号外面。是常数可提到积分号外面。 7 7、图乘法、图乘法1 1）计算公式推导）计算公式推导 0LPM MdsEI yxABABMP 图图M 图图Mtgx将将 代入式中：代入式中： x第一章第一

47、章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4141页页 是是图的形心到图的形心到 y轴的距离轴的距离 0 xPM是是图的面积图的面积 PM有：有： 01tgxEI 令：令：00tgxy是是图形心位置所对图形心位置所对图中的竖标图中的竖标 应的应的0yMPM得：得：01yEI 0LPtgMxdxEI 0LPMxdx 0 x是是图对图对y轴的面积矩，可写成：轴的面积矩，可写成：其中：其中： PM

48、dxdyxABABMP 图图M 图图xy0 x0形心形心 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4242页页 2 2）图乘法应用的前提）图乘法应用的前提（1 1）杆件的杆件的EI是常数；是常数；（2 2）杆件是直杆；）杆件是直杆；（3 3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形。）两个弯矩图中至少有一个是直线图形。 01yEI 图乘公式图乘公式按图乘公式计算结构位移的步骤如下：按图乘

49、公式计算结构位移的步骤如下： （1 1）画出结构在荷载及虚设力作用下的弯矩图；画出结构在荷载及虚设力作用下的弯矩图； （2 2）逐杆计算出荷载作用下的弯矩图面积，以及与该弯矩图逐杆计算出荷载作用下的弯矩图面积，以及与该弯矩图 形心所对应的虚设力弯矩图的竖标，然后把两者相乘；形心所对应的虚设力弯矩图的竖标，然后把两者相乘； （3 3）把所有杆的把所有杆的 累加起来，并除以累加起来，并除以EI，即为所求位移。，即为所求位移。 0y第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement

50、 Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4343页页 acdy1y212bABL(22)6LacbdadbcEI 3 3）两个直线图形的图乘公式两个直线图形的图乘公式 正负号确定：同边为正，异边为负。正负号确定：同边为正，异边为负。 11221212()2222233(22)6aLbLyyyydcLLdcaybya cb cLacbdadbcEI 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力

51、学结构力学 Structural Mechanics第第4444页页 上述图乘公式适用所有直线图形相乘的情况：上述图乘公式适用所有直线图形相乘的情况： 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4545页页 S = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649

52、（4）2369第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4646页页 h5L/8(L+b)/3(L+a)/3bLahL/43L/4h三角形三角形A=hL/2二次抛物线二次抛物线A=hL/3L/2L/2L/54L/5h3L/8h二次抛物线二次抛物线A=2hL/3三次抛物线三次抛物线A=hL/4二次抛物线二次抛物线A=2hL/3 4 4）几种图形的面积及形心几种图形的面积及形心顶点顶点

53、 顶点顶点 顶点顶点 顶点顶点 第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4747页页 如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项 计算后再进行叠加。计算后再进行叠加。 5 5）复杂图形的处理方法复杂图形的处理方法 一个图形是曲线，另一个图一个图形是曲线，另一个图 形是折线，则应分段后加辅形是折线，则应分段后加辅 助线再进行

54、图乘。助线再进行图乘。MP 图图M 图图BMAABMBMAABMBABABMBMAABMBA第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4848页页 作作MP图如图（图如图（b）所示。）所示。5111300300 60.002()231.5 10AradEI 在在A端作用一单位力矩，端作用一单位力矩，其其M图如图（图如图（c）所示。）所示。 【例题【例题11】计算图（计算图（a）所示

55、梁）所示梁A端的转角端的转角 和和 。ACY解解：（：（1）求）求A6m6mB10kN/m20kNAC（a）AMA=1BC1（c） M 图图AB300kN.m45kN.mC（b）MP 图图第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第4949页页 112126660(300 6)62(45 6) 34.44233CYcmEIEIEI （2）计算）计算C端的竖向位移端的竖向位移CY作作M

56、P图如图（图如图（b）所示。）所示。在在C端作用一单位竖向力，端作用一单位竖向力，其其M图如图（图如图（d）所示。）所示。6m6mB10kN/m20kNAC（a）AB300kN.m45kN.mC（b）MP 图图ACB6（d）M 图图1第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第5050页页 P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求求B点的竖向位移。点的竖向位移。EIq

57、l256174lllqlEI25 .023232212lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122EIqlllqlEIB843231142ylqlEIB283312102Lq？ql2/8l/2？ql2/32y0第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第5151页页 CABF=1L2L（c） M 图图MC=qL2/2EIBqCF

58、QC=qL（d）【例题【例题12】求图示变截面梁求图示变截面梁B点的点的 竖向位移竖向位移 。 BY2EIEILLCqAB（a）解：（解：（1 1）做出）做出MP图见图（图见图（b b）。）。 （2 2）在）在B端加单位荷载后端加单位荷载后 求出求出M图见图（图见图（c c）。）。 （3 3）先将梁）先将梁AB分成分成AC和和 CB两段，两段，再将再将AC段按图（段按图（b） 化分。求化分。求C点的弯矩，取隔离体点的弯矩，取隔离体 见（见（d）图。）图。qL2/22qL23124qL2/8CAB（b）MP 图图第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Str

59、ucture第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第5252页页 23122qLqLL1322LLyL（5） B点的竖向位移点的竖向位移4411223333334112131335317642224312216BYyyyyEIEIqLqLLqLLqLLqLLEIEI（4）各部分的面积及形心位置对应的）各部分的面积及形心位置对应的M图竖坐标分别为图竖坐标分别为:2322132224qLqLqLL22533LLyL23323812qLqLL3322LLyL434Ly 23413

60、26qLqLL第一章第一章 绪绪 论论Chapter 1 Preface to Steel Structure第五章第五章 位移计算位移计算Chapter 6 Displacement Calculation 结构力学结构力学 Structural Mechanics第第5353页页 E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2例：例： 预应力钢筋混凝土墙板预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。单点起吊过程中的计算简图。已