含绝对值不等式与一元二次不等式的解法

1、第第2 2课时含绝对值不等式与一元二次不等式的解法课时含绝对值不等式与一元二次不等式的解法1 1绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法(1)(1)含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a|x|a|x|a的解集的解集(2)|ax(2)|axb|c(cb|c(c0)0)或或|ax|axb|c(cb|0)0)的解法的解法|ax|axb|cb|caxaxbcbc或或axaxbbc c；|ax|axb|cb|ccaxcaxbc.bc.(3)|f(x)|g(x(3)|f(x)|g(x|f(x)|g(x) )的解法的解法|f(x)|g(x|f(x)|g(x) )g(x)f(x)g(xg(x)f(x)g(x)|

2、f(x)|g(x)f(x)g(xf(x)g(x) )或或f(xf(x)010的解集是的解集是( () )A Ax|xx|x55或或x3x3B Bx|3x4x|3x00的解集为的解集为( () )A Ax|x|1x3 B1x3 Bx|xx|x 3x3C Cx|x|3x1 D3x1 Dx|xx|x 1x1解析：解析：3 32x2xx x2 200 x x2 22x2x3030(x(x1)(x1)(x3)03)01x3.1x0)0)f(x)af(x)a或或f(xf(x)a a；|f(x)|a(a|f(x)|a(a0)0)af(x)aaf(x)a. .3 3含两个以上的绝对值的不等式，欲去掉绝对值符号

3、，需先找出零含两个以上的绝对值的不等式，欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号点，划分区间，利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号解下列绝对值不等式：解下列绝对值不等式：(1)1(1)1|x|x2|32|3；(2)|2x(2)|2x1|1|x|x2|4.2|4.解析：解析： 变式训练变式训练 1.1.已知一次函数已知一次函数f(x)f(x)axax2.2.(1)(1)当当a a3 3时，解不等式时，解不等式|f(x)|4.|f(x)|4.(2)(2)解关于解关于x x的不等式的不等式|f(x)|4.|f(x)|4.解析：解析：(1)(1)若若a a3 3，

4、则，则f(x)f(x)3x3x2.2.|f(x)|4|f(x)|4|3x|3x2|42|443x43x2420(0(0)(a0)2 2一元二次不等式的解题步骤：一元二次不等式的解题步骤：(1)(1)将二次项系数化为正数；将二次项系数化为正数；(2)(2)看判别式看判别式的符号；的符号；(3)(3)求出相应一元二次方程的根求出相应一元二次方程的根( (若根存在若根存在) )；(4)(4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系，结根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系，结合不等号定解集合不等号定解集3 3有时通过因式分解，直接求出方程的根有时通过因式分解，直接求出方程的

5、根 解析：解析：(1)(1)4 42 24 42 23 31616242480.80.方程方程2x2x2 24x4x3 30 0没有实根没有实根解析：解析：(1)(1)两边都乘以两边都乘以3 3，得，得3x3x2 26x6x202030，这类问题主要是将一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二这类问题主要是将一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二次函数的图象结合起来，来解决问题即一元二次方程根的分布转化次函数的图象结合起来，来解决问题即一元二次方程根的分布转化为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题来求解

6、来求解 已知二次函数已知二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图象与的图象与x x轴相交于轴相交于(1,0)(1,0)与与(3,0)(3,0)两点，则不等式两点，则不等式axax2 2bxbxc c0 0的解集是否确定？若确定，求的解集是否确定？若确定，求其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集为确定的其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集为确定的解析：解析：由二次函数的图象及一元二次不等式的关系可知：由二次函数的图象及一元二次不等式的关系可知：当当a a0 0时，时，axax2 2bxbxc c0 0的解集为的解集为 x|xx|x1 1或或x x33；当当a a0 0时，时，ax

7、ax2 2bxbxc c0 0的解集为的解集为x|1x|1x x33故只需要给故只需要给a a一个具体值或给定一个具体值或给定a a的符号，的符号，则不等式则不等式axax2 2bxbxc c0 0的解集就是确定的的解集就是确定的 变式训练变式训练 3.3.不等式不等式axax2 2x xc0c0的解集为的解集为x|x|2x12x1，则函数，则函数y yaxax2 2x xc c的图象大致为的图象大致为( () ) 解析：解析：原函数可化为原函数可化为y yx x2 2x x2 2，其图象为选项，其图象为选项C.C.答案：答案：C C1 1解含有绝对值不等式的关键，就是依据绝对值概念和等价不等

8、式，将解含有绝对值不等式的关键，就是依据绝对值概念和等价不等式，将其转化为不含绝对值的整式不等式其转化为不含绝对值的整式不等式( (或不等式组或不等式组) )来解来解2 2解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程，根据二次项系数的解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小，当符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小，当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形3 3解含参数的一元二次不等式步骤：解含参数的一元二次不等式步骤：(1)(1)二

9、次项若含有参数应讨论是等于二次项若含有参数应讨论是等于0 0、小于、小于0 0、还是大于、还是大于0 0，然后将，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式不等式转化为二次项系数为正的形式(2)(2)判断方程的根的个数，讨论判别式判断方程的根的个数，讨论判别式与与0 0的关系的关系(3)(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式的大小关系，从而确定解集的形式 解含绝对值不等式和一元二次不等式是每年高考必考的内容，通过对解含绝对值不等式和一元二次不等式是每年高考必考的内容，通过对近三年高考试题的

10、统计分析，整个命题有以下的规律：近三年高考试题的统计分析，整个命题有以下的规律：1 1考查热点：解两种类型的不等式考查热点：解两种类型的不等式2 2考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现，作为工具在解考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现，作为工具在解答题中经常出现答题中经常出现3 3考查角度：考查角度：一是对各类不等式的解法的考查求函数的定义域，判断集合间的关一是对各类不等式的解法的考查求函数的定义域，判断集合间的关系或解不等式时，往往几个不等式综合在一起考查系或解不等式时，往往几个不等式综合在一起考查二是对含参数的不等式的解法的考查二是对含参数的不等式的解法的考查4 4命题趋势：不

11、等式同集合相结合仍是高考的热点命题趋势：不等式同集合相结合仍是高考的热点(2010(2010天津卷天津卷) )设集合设集合A Ax|xx|xa|1a|2b|2，xRxR若若A AB B，则实数，则实数a a，b b必满足必满足( () )A A|a|ab|3 Bb|3 B|a|ab|3b|3C C|a|ab|3 Db|3 D|a|ab|3b|3解析：解析：方法一：由绝对值的几何意义可知方法一：由绝对值的几何意义可知A Ax|xx|xa|a|11表示数轴上到表示数轴上到x xa a的距离小于的距离小于1 1的点集的点集B Bx|xx|xb|b|22表示数轴上到表示数轴上到x xb b的距离大于的

12、距离大于2 2的点集的点集若若A AB B，则，则|a|ab|3b|3方法二：方法二：A Ax|ax|a1 1x xa a11B Bx|xx|xb b2 2或或x xb b22AAB Baa1b1b2 2或或a a1b1b2 2aabb3 3或或a ab3b3|a|ab|3.b|3.答案：答案：D D 阅后报告阅后报告 本题考查了绝对值不等式和集合间的关系，方法一是几本题考查了绝对值不等式和集合间的关系，方法一是几何法，把绝对值问题转化为距离，方法二是利用计算法，若何法，把绝对值问题转化为距离，方法二是利用计算法，若A AB B，a a，b b存存在吗？在吗？1 1(2009(2009山东卷山东卷) )在在R R上定义运算上定义运算：abababab2a2ab b，则满足，则满足x(xx(x2)2)0 0的实数的实数x x的取值范围为的取值范围为( () )A A(0,2) B(0,2) B( (2,1)2,1)C C( (，2)(12)(1，) D) D( (1,2)1,2)解析：解析：x(xx(x2)2)x(xx(x2)2)2x2xx