第八章第八节曲线与方程

1、曲线与方程曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系理理 要要 点点一、曲线与方程一、曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件看作满足某种条件的点的集合或轨迹的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做；这条曲线叫做 曲线的方程曲线的方程方程的曲

2、线方程的曲线二、求动点的轨迹方程的一般步骤二、求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建系建立适当的坐标系建立适当的坐标系(2)设点设点设轨迹上的任一点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列式列出动点列出动点P所满足的关系式所满足的关系式(4)代换代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式 等将其转化为等将其转化为x，y的方程式，并化简的方程式，并化简(5)证明证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程三、曲线的交点三、曲线的交点设曲线设曲线C1的方程为的方程为F1(x，y)0，曲线，曲线C2的方程为的方程为F2(x，y

3、)0，则，则C1，C2的交点坐标即为方程组的交点坐标即为方程组 的的实数解，若此方程组实数解，若此方程组 ，则两曲线无交点，则两曲线无交点无解无解究究 疑疑 点点 若曲线与方程的对应关系中只满足若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎样？条会怎样？提示：提示：若只满足若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点线上的点”， 则这个方程可能只是部分曲线的方程，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程而非整个曲线的方程题组自测题组自测1设设k1，则关于，则关于x，y的方程的方程(1k)x2y2k21表示表示的曲线是的曲线是 ()A长轴在长轴在y轴上的

4、椭圆轴上的椭圆B长轴在长轴在x轴上的椭圆轴上的椭圆C实轴在实轴在y轴上的双曲线轴上的双曲线D实轴在实轴在x轴上的双曲线轴上的双曲线答案：答案：C答案：答案：A答案：答案：半径为半径为2的圆的圆归纳领悟归纳领悟1直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法圆锥曲直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法圆锥曲线的标准方程都是由直接法求得的当轨迹易于列出线的标准方程都是由直接法求得的当轨迹易于列出动点动点(x，y)满足的方程时可用此法满足的方程时可用此法2求动点轨迹时应注意它的完备性化简过程破坏了方求动点轨迹时应注意它的完备性化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的程的同解性，要注意补上

5、遗漏的点或者挖去多余的点点“轨迹轨迹”与与“轨迹方程轨迹方程”是两个不同的概念，前是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包包括范围括范围).题组自测题组自测1动点动点P到点到点M(1,0)及点及点N(3,0)的距离之差为的距离之差为2，则点，则点P的轨迹是的轨迹是 ()A双曲线双曲线B双曲线的一支双曲线的一支 C两条射线两条射线 D一条射线一条射线解析：解析：|PM|PN|2，而，而|MN|2，P点在点在线段线段MN的延长线上的延长线上答案：答案：D答案：答案：D3已知圆的方程为已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点，若抛

6、物线过点A(1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是程是_解析：解析：设抛物线焦点为设抛物线焦点为F，过，过A、B、O作准线的垂线作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛，由抛物线定义得物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故，故F点的轨迹是以点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为为焦点，长轴长为4的椭圆的椭圆(去掉长轴两端点去掉长轴两端点)归纳领悟归纳领悟1运用解析几何中一些常用定义运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接

7、写出轨迹方程，或从曲线定义出可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程发建立关系式，从而求出轨迹方程2定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程利用条件把待定系数求出来，使程是什么形式的方程利用条件把待定系数求出来，使问题得解问题得解题组自测题组自测1已知定点已知定点A(2,0)，它与抛物线，它与抛物线y2x上的动点上的动点P连线的连线的中点中点M的轨迹方程为的轨迹方程为 ()Ay22(x1) By24(x1)Cy2x1 D y2(x1)122由抛物线由抛物线y22x上任意一点上任意一点

8、P向其准线向其准线l引垂线，垂足引垂线，垂足为为Q，连接顶点，连接顶点O与与P的直线和连接焦点的直线和连接焦点F与与Q的直线的直线交于点交于点R，求点，求点R的轨迹方程的轨迹方程归纳领悟归纳领悟 用代入法求轨迹方程的关系是寻求关系式用代入法求轨迹方程的关系是寻求关系式xf(x，y)，yg(x，y)，然后代入已知曲线，而求对称曲线，然后代入已知曲线，而求对称曲线(轴对称，中心对称等轴对称，中心对称等)方程实质上也是用代入法方程实质上也是用代入法(相关点相关点法法)解题解题 一、把脉考情一、把脉考情 从高考试题来看，求曲线的轨迹方程是解析几何的基从高考试题来看，求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题

9、之一，是高考中的一个热点题型，一般与平面向量本问题之一，是高考中的一个热点题型，一般与平面向量相结合，多考查直接法与定义法相结合，多考查直接法与定义法 从形式上看多为解答题，难度中等，注重逻辑思维能从形式上看多为解答题，难度中等，注重逻辑思维能力，运算能力的考查，预测力，运算能力的考查，预测2012年仍以直接法、定义法为年仍以直接法、定义法为主进行考查主进行考查二、考题诊断二、考题诊断1(2010重庆高考重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是轨迹是 ()

10、A直线直线B椭圆椭圆C抛物线抛物线 D双曲线双曲线解析：解析：在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中建立如图所示的空间直中建立如图所示的空间直角坐标系，角坐标系，易知直线易知直线AD与与D1C1是异面垂直是异面垂直的两条直线，的两条直线，过直线过直线AD与与D1C1平行的平面是平行的平面是面面ABCD，设在平面设在平面ABCD内动点内动点M(x，y)满足到直线满足到直线AD与与D1C1的距离的距离相等，作相等，作MM1AD于于M1，MNCD于于N，NPD1C1于于P，连结连结MP，易知，易知MN平面平面CDD1C1，MPD1C1，则有则有MM1MP，|y|2x2a2(其中其中a是异面直线是异面直线AD与与D1C1间的距离间的距离)，即有，即有y2x2a2，因此动点因此动点M的轨迹是双曲线的轨迹是双曲线答案：答案：D2(2010上海高考上海高考)若动点若动点P到点到点F(2,0)的距离与它到直线的距离与它到直线x 2