第二章 角动量守恒定律

1、mxyzrLpO设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢r质点的动量质点的动量vm运动质点相对于参考点运动质点相对于参考点O O的的角动量角动量定义为定义为vmrprL单位：单位：Kg m2s-12-3-1 质点的角动量 sinsinvmrrpL rpo角动量与所取的惯性系有关；角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关。的位置有关。 如果质点绕参考点如果质点绕参考点O作圆周运动作圆周运动rmprLvvmO r角动量矢量的起点一般置于参考点上。角动量矢量的起点一般置于参考点上。OrO rvmrprL质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影质点对参考点的角动量在通

2、过点的任意轴线上的投影。 LOALA cosLLA 质点系的角动量质点系的角动量设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21 niniiii11)(prLL质点对轴线的角动量质点对轴线的角动量2-3-2 2-3-2 力矩力矩 tprptrtprtLdddddddd 1力对参考点的力矩力对参考点的力矩0dd pvptr式中式中Ftp ddFrtL dd 质点角动量的改变不仅与所受的作用力质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有有关，而且与参考点关，而且与参考点O到质点的位矢到质点的位矢 有关。有关。 rF定义：定义：外力外力 对参考点对参考点O

3、的力矩：的力矩：FFrMmNxyzrOMF力矩的大小：力矩的大小：sinrFM 力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于关系确定，垂直于 和和确定的平面。确定的平面。rFOxyz1rir2r1F2FiF iiFrMd质点系：质点系：对参考点的合力矩的大小为各力单独对参考点的合力矩的大小为各力单独存在时对该参考点力矩的矢量和。存在时对该参考点力矩的矢量和。2力对轴的矩力对轴的矩OAAMM力力 对点的力矩对点的力矩 在过点的在过点的任一轴线上的投影。任一轴线上的投影。FMcosMMAAOrFF/FMFrM 力力 对轴对轴OA的力矩：的力矩： F FrMA)(/ FFr FrFr/2

4、-3-3 角动量定理 角动量守恒定律 tLMdd1221LLtMttd-质点的角动量定理质点的角动量定理角动量定理的积分式：角动量定理的积分式：21tttMd称为称为“冲量矩冲量矩”tLFrdd 外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。质点系质点系的角动量：的角动量： niniiii11)(prLL两边对时间求导：两边对时间求导： tprptrtLiiiidddddd0dd iiptr上式中上式中 iiiiifFrtpr dd0 i

5、ifr上式中上式中 iiiifrFrtLdd合内力矩为零合内力矩为零tLFrMiidd 质点系角动量定理：质点系角动量定理： 质点系对质点系对z 轴的角动量定理：轴的角动量定理： tzzddLM 质点系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式： 2112dttLLtM如果如果0 M则则恒恒矢矢量量 L-质点或质点系的角动量守恒定律质点或质点系的角动量守恒定律 -质点系对质点系对z 轴的角动量守恒定律轴的角动量守恒定律恒量恒量 zL0 zM 角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。 应用：应用：1）天体运动：行星绕太阳转动，受到有心力，对太阳）天体运动：行星绕太阳转动，受到有

6、心力，对太阳 的角动量守恒；的角动量守恒； 2）带点微观粒子运动到质量较大的原子核附近，粒子）带点微观粒子运动到质量较大的原子核附近，粒子 受到的电场力也是有心力，角动量守恒。受到的电场力也是有心力，角动量守恒。例例1、证明开普勒第二定律：、证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等在相等时间内扫过的椭圆面积相等 。rrSd21drrdvrtrrtS21dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量恒矢量 tSdd有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 证毕证毕 证明证明例例2. 如图，两个质量相等的人分别抓住轻绳的两端。如图，两个质量相等

7、的人分别抓住轻绳的两端。设开始时两人在设开始时两人在同一高度同一高度上，此时左边的人从上，此时左边的人从静止静止开始往上爬，右边的人抓住绳子不动，如不计滑轮开始往上爬，右边的人抓住绳子不动，如不计滑轮的摩擦，问哪个人先到达滑轮？如果两人的质量不的摩擦，问哪个人先到达滑轮？如果两人的质量不等，情况又如何？等，情况又如何？ 解：解： 以以O点为参考点点为参考点两人质量相等时，系统的两人质量相等时，系统的0M00 LL021 RmRm21vv21mm 21vv 两人初始高度相同两人初始高度相同同时到达同时到达系统：人、绳子、滑轮系统：人、绳子、滑轮Om1m2Om1m2时时21mm gRmmM)(12 RmRmL21vv21 以垂直版面向内为正